áAñy = áy||yñ.
Постулат V. Результатом измерения наблюдаемой A в любом состоянии может быть только одно из значений, принадлежащих спектру оператора .
Важную роль играет понятие дисперсии наблюдаемой A в состоянии y:
Dy(A) º á(DA)2ñy = áy|(- áñ)2|yñ = á2ñy - áñ2y.
Если Dy(A) = 0, то говорят, что в этом состоянии наблюдаемая имеет определенное значение. Физический смысл собственных векторов: они и только они описывают состояния с определенными значениями данной наблюдаемой.
Вероятность получить при измерении наблюдаемой A в состоянии y значение An или A из ее спектра равна
|cn|2 или |c(A)|2,
где cn и c(A) - коэффициенты разложения |yñ по {|jA ñ}:
cn = áj nUyñ, с(A) = ác AUy ñ.
Уточнение: для точек непрерывного спектра |c(A)|2 есть не вероятность, а плотность вероятности получения значения A. Величина же |c(A)|2dA есть вероятность получить при измерении какое-то значение из малого интервала (A, A+dA).
Набор независимых наблюдаемых называется полным, если все операторы этих наблюдаемых взаимно коммутируют, и если набор не может быть расширен. У операторов 1,...,N полного набора имеются общие собственные векторы:
1= ,... = ,
образующие базис в H. Совокупный спектр операторов полного наборявляется простым: совокупности собственных значений ,...,(индексов n1,...nN) отвечает только один общий собственный вектор.
Если = An Uj nñ и Uc Añ = Uc Añ, т.е. оператор имеет смешанный спектр, то функция от этого оператора определяется так:
= UjnñájnU + òdAF(A)Uc Añá c AU.
При = получаем разложение единицы:
= .
Операторы Pn = UjnñájnU, PA = Uc Añá c AU суть проекторы на базисные ортыUjnñ, Uc Añ.