РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ СОСУДА С ЖИДКОСТЬЮ

Возьмем открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему постоянную угловую скорость w враще­ния вокруг вертикальной оси. Жидкость постепенно приобретет ту же угловую скорость, что и сосуд, а свободная по­верхность ее видоизменится: в централь­ной части уровень жидкости понизится, у стенок – повысится, и вся свободная поверхность жидкости станет некоторой поверхностью вращения (рис. 2.11).

На жидкость в этом случае будут действовать две массовые силы, сила тяжести и центробежная сила, которые, будучи отнесенными к единице массы, соответственно равны gи w²r. Равнодействующая массовая сила j увеличивается с увеличением радиуса за счет второй составляющей, а угол наклона ее к горизонту уменьшается. Эта сила нормальна к свободной поверхности жидкости, поэтому угол наклона поверхности к горизонту возрастает с увеличением радиуса. Найдем уравнение положения свободной поверхности.

Рис. 2.11

 

Учитывая, что сила jнормальна к свободной поверхности, получим

отсюда

или после интегрирования

В точке пересечения свободной поверхности с осью вращения C =h, поэтому окончательно будем иметь

(2.10)

т. е. свободная поверхность жидкости является параболоидом вращения.

Максимальную высоту подъема жидкости можно определить исходя из равенства объемов неподвижной жидкости и жидкости во время вращения.

На практике очень часто при­ходится иметь дело с вращением со­суда, за­полнен­ного жидкостью, вокруг гори­зон­тальной оси. При этом угловая ско­рость w столь ве­лика, что сила тя­жести на порядок меньше центро­бежных сил, и ее действие можно не учитывать. За­кон измене­ния давле­ния в жидкости для этого случая получим из рассмотрения уравнения равнове­сия элементар­ного объема с площадью основания dS и высотой dr, взя­той вдоль радиуса (рис. 2.12). На выделенный элемент жидкости действуют силы давле­ния и центро­бежная сила.

Обозначив давление в центре площадки dS, расположенной на радиусе r, через p, а в центре другого основания объема (на радиусе r + dr) через p + dp, получим следующее уравнение равновесия выделенного объема в направлении радиуса

или

 

Рис. 2.12

 

После интегрирования

Постоянную C найдем из условия, что при r = r₀ p = p₀.

Следовательно

Подставив ее значение в предыдущее уравнение, получим связь между p и r в следующем виде:

(2.11)

Очевидно, что поверхностями уровня в данном случае будут цилиндрические поверхности с общей осью – осью вращения жидкости.

Часто бывает необходимо определить силу давления вращающейся вместе с сосудом жидкости на его стенку, нормальную к его оси вращения. Для этого определим силу давления, приходящуюся на элементарную кольцевую площадку радиусом r и шириной dr. Используя формулу (2.11), получим

а затем следует выполнить интегрирование в требуемых пределах.

При большой скорости вращения жидкости получается значительная суммарная сила давления на стенку. Это используется в некоторых фрикционных муфтах, где для сцепления двух валов требуется создание больших сил давления.