Обработка косвенных измерений

Косвенные измерения в практике электрических измерений встречаются довольно часто. Вопрос оценки погрешности резуль­тата измерения один из важнейших в таких экспериментах. Имея подробную исходную информацию о применяемых средствах из­мерения, измеряемых величинах и условиях проведения экспери­мента, можно достаточно строго решить задачу оценки суммарной погрешности результата измерения. Правда, требуется четко ого­варивать все допущения. Возможны два подхода к решению этой задачи: детерминированный и вероятностный, рассмотрим пер­вый подход.

Детерминированный подход (иногда называемый методом наи­худшего случая) более характерен для обычных технических изме­рений и экспресс-измерений с их обычно упрощенными моделя­ми процессов и подходами. Перед рассмотрением этого подхода оговорим необходимые допущения:

а) инструменты исправны, имеют реальные погрешности, соот­ветствующие своим классам точности. Причем их погрешности только систематические, т.е. не меняющиеся в течение данного эксперимента. Случайных погрешностей нет;

б) исходные измеряемые величины характеризуются неизмен­ными (в течение данного эксперимента) значениями основных параметров;

в) условия работы СИ нормальные или рабочие;

г) функциональная зависимость искомой величины Y от исходных величин Хi, известна достаточно точно;

д) оператор имеет достаточную квалификацию.

Если интересующая нас величина Y связана с исходными вели­чинами Хi, известной функциональной зависимостью F:

Y =F(X1, X2,, Xn )

и предельные значения абсолютных погрешностей Δi определения каждой исходной величины Хi известны, то предельное значение абсолютной погрешности ΔY результата измерения искомой вели­чины Y в общем случае можно определить по так называемой фор­муле накопления частных погрешностей:

ΔY =

где dF/dXi частные производные функционала F по каждой исходной величине в точках, соответствующих найденным значениям величин Xi; Δi предельные значения абсолютных погрешностей определения исходных величин Хi.

Рассмотрим два частных, но довольно распространенных, слу­чая функциональной зависимости F.

Первый частный случай – функционал F имеет вид суммы. Если функциональная зависимость имеет вид

Y =,

где ai коэффициенты функциональной зависимости, то пре­дельное значение абсолютной погрешности ΔY определяется по формуле

ΔY =.

Относительная погрешность δY, %, при этом может быть найдена обычным образом:

δY = ΔY /Y´ 100 .

Например, если Y= 5Х1 + 2 + Хъ, то ΔY = 1 + 2Δ2 + Δ3.

Второй частный случай – функционал F имеет вид произведе­ния. Если функциональная зависимость имеет вид

Y =,

где П знак произведения п сомножителей; αi коэффициенты показатели степени исходных величин Xi, то предельное значение относительной погрешности δY определяется по формуле

= ,

где δi предельные значения относительных погрешностей опре­деления исходных величин Xi.

Предельное значение абсолютной погрешности ΔY затем находится обычным образом:

ΔY = δYY/100.

Например, если функционал Y имеет вид

Y = X12 X23/X35,

то значение относительной погрешности

δY = 1 + 2 + 3.

И хотя формально третье слагаемое должно входить в сумму со знаком минус, но, поскольку предельные значения отдельных погрешностей практически всегда симметричны (±), то в худшем случае (самое неблагоприятное сочетание значений и знаков всех составляющих) предел общей погрешности есть сумма модулей отдельных составляющих.