История развития компьютерной техники

История развития компьютерной техники

Нулевое поколение — механические компьютеры (1642-1945)   Первым человеком, создавшим счетную машину, был французский ученый Блез Паскаль (1623-1662), в честь которого назван…

Принципы сформулированные в 1945 г. американским ученым Джоном фон Нейманом.

1. Принцип программного управления. Из него следует, что программа состоит из набора команд, которые выполняются… Выборка программы из памяти осуществляется с помощью счетчика команд. Этот регистр процессора последовательно…

Арифметические основы компьютеров

Что такое система счисления?

В непозиционных системах счисления вес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позициив записи числа. Так, в… В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от… Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

Как порождаются целые числа в позиционных системах счисления?

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в… Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно… Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110,…

Какие системы счисления используют

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: 10-я 2-я 8-я 16-я …   10-я 2-я 8-я 16-я …  

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

А компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ… Недостаток двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.

Почему в компьютерах используются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления?

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако, чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться… Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют… Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить…

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Ответ: 7510 = 1 001 0112 = 1138 = 4B16.

Как пеpевести пpавильную десятичную дpобь в любую другую позиционную систему счисления?

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную: Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется…

Как пеpевести число из двоичной (восьмеpичной, шестнадцатеpичной) системы в десятичную?

x10 = an qn + an-1 qn-1 + ... + a0 q0 + a-1 q -1 + a-2 q-2 + ... + a-m q-m средствами десятичной арифметики. Примеpы:

Как представляются в компьютере целые числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без знака.

Целые числа без знака

Обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 00000000₂ до 11111111₂. В двубайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

Диапазоны значений целых чисел без знака

а) число 7210 = 10010002 в однобайтовом формате: б) это же число в двубайтовом формате:

Диапазоны значений целых чисел со знаком

В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например: … Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение и вычитание

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая: 1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая… 2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А. Например: Получен правильный результат…

Умножение и деление

Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число… Для иллюстрации умножим 1100112 на 1011012.

Как представляются в компьютере вещественные числа?

Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. В следствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.

При написании вещественных чисел в программах вместо привычной запятой принято ставить точку. Для отображения вещественных чисел, которые могут быть как очень маленькими, так и очень большими, используется форма записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так:

1.25 ^. 10⁰ = 0.125 ^. 10¹ = 0.0125 ^. 10² = ...

или так:

12.5 ^. 10^-1 = 125.0 ^. 10^-2 = 1250.0 ^. 10^-3 = ... .

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N = M . qp, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

Если "плавающая" точка расположена в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в машине. Из этого следует:

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.12 <= |M| < 1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления:

Десятичная система Двоичная система
753.15 = 0.75315 ^. 10³; —101.01 = —0.10101 ^. 2¹¹ (порядок 11₂ = 3₁₀)
— 0.000034 = — 0.34 ^. 10^-4; 0.000011 = 0.11 ^. 2^-100 (порядок —100₂ = —4₁₀).

Вещественные числа в компьютерах различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2^k-1 — 1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255.

Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над беззнаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел.

Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от наименьшего отличного от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате.

Стандартные форматы представления вещественных чисел:

1) одинарный — 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).

2) двойной — 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).

3) расширенный — 80-разрядное число со знаком, 15-разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат.

Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?

К началу выполнения арифметического действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности… В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются… Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111 . 2-1 и 0.11011 . 210. Разность порядков слагаемых здесь…

Умножение

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101 ^. 2¹⁰¹) ^. (0.1001 ^. 2¹¹) = (0.11101 ^. 0.1001) ^. 2^(101+11) = 0.100000101 ^. 2¹⁰⁰⁰.

Деление

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел: 0.1111 . 2100 : 0.101 . 211 = (0.1111 : 0.101) . 2(100-11) = 1.1 . 21 = 0.11 .… Использование представления чисел с плавающей точкой существенно усложняет схему арифметико-логического устройства.

Цифровой логический уровень

 

Вентили

Описание принципов работы вентилей не является темой этой книги, поскольку относится к уровню физических устройств, который находится ниже уровня 0.…  

Булева алгебра

Как и в обычной алгебре (то есть в той, которую изучают в школе), в булевой алгебре есть свои функции. Булева функция на входе получает одну или… Так как булева функция от n переменных имеет только 2n возможных комбинаций… Если мы договоримся всегда располагать строки таблицы истинности по порядку номеров, то есть для двух переменных в…