Особое значение в квантовой механике имеют стационарные состояния. Это такие состояния, в которых все наблюдаемые физические параметры не меняются с течением времени. Сама волновая функция принципиально не наблюдаема, но с ее помощью определяются по определенным правилам значения физически наблюдаемых величин. Оказывается, что в стационарных состояниях
,
где w - постоянная, а не зависит от времени.
В стационарных состояниях плотность вероятности
от времени не зависит и является функцией только координат. Дифференцируя волновую функцию стационарных состояний по времени и подставляя результат в основное уравнение Шредингера запишем
.
Это уравнение не содержит времени и называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.
Решения этого уравнения зависят от вида потенциальной функции и существуют, вообще говоря, не при любых значениях величины Е. Избранные значения параметра Е, для которых имеются решения уравнения, называются собственными значениями величины Е, и соответствующие им волновые функции называются собственными функциями этого уравнения. Собственные значения Е принимаются за возможные значения энергии в стационарных состояниях.
Собственные значения энергии могут быть дискретными (если ) и их можно пронумеровать в порядке возрастания Е1, Е2, Е3, ..., а могут непрерывно заполнять конечный или бесконечный интервал (если Е < U()). В первом случае говорят, что энергетический спектр дискретный, а во втором - непрерывный.
Квантование энергии возникает потому, что на волновые функции, являющиеся решениями уравнения Шредингера, накладываются определенные естественные ограничения. Они заключаются в том, что волновая функция и ее первые производные должны быть конечны, однозначны и непрерывны даже в точках разрыва потенциальной функции . Эти требования получили название стандартных условий.
Требование однозначности волновой функции означает, что при обходе по любому замкнутому контуру (в том числе при обходе особых точек уравнения) волновая функция должна возвращаться к своему прежнему значению. В противном случае для одной и той же точки будут иметься две или больше вероятностей , что лишено всякого физического смысла.
Требование конечности волновой функции обусловлено тем, что вероятность нахождения микрочастицы в окрестности любой точки пространства должна быть конечной.
Требование непрерывности это естественное требование, предъявляемое к любой волновой функции (волна должна быть непрерывна в окрестности любой точки пространства).
Собственные функции должны удовлетворять условию нормировки
,
Это означает, что вероятность обнаружения микрочастицы во всей области движения равна единице (вероятность достоверного события). Кроме того, волновые функции удовлетворяют условию ортогональности
,
которое означает, что интеграл от произведения различных волновых функций по всей области движения равен нулю.