Трехмерная потенциальная яма. Яма конечной глубины

1. В случае трехмерной потенциальной ямы решение уравнения Шредингера

,

то есть уравнение

,

где

можно искать в виде

.

Подстановка этого решения в уравнение приводит к выражению

.

В левой части сумма трех независимых функций от x, y и z, а в правой константа. Это возможно только в том случае, когда каждое слагаемое в левой части также будет постоянной величиной. Обозначим эти константы: , , и получим три уравнения вида (84)

решения которых записываются аналогично (85)

, , .

Таким образом,

,

где - целые положительные числа.

В трехмерной потенциальной яме микрочастица имеет три степени свободы, поэтому ее состояние определяется тремя квантовыми числами, и собственные значения энергии также зависят от трех квантовых чисел

. (13)

В последнее время в связи с разработкой гетероструктур появилась возможность создания квантовых объектов с пониженной размерностью: квантовых поверхностей, квантовых проволок и квантовых точек.

Представление о квантовой плоскости мы получим, если представим, что один из размеров квантовой ямы существенно меньше остальных . В этом случае уровни энергии при изменении изменяются на величину

.

Аналогичные изменения энергии при изменении квантовых чисел и будут равны соответственно

, .

Из-за различия размеров соответствующие кванты энергии будут также сильно отличаться

.

Это значит, что вблизи уровня с энергией

Будет располагаться полоса энергетических уровней близко расположенных друг к другу (фактически возле каждого уровня будет образована энергетическая зона). Движение по оси является квантованным, а в плоскости его можно считать классическим.

Точно также если два размера существенно меньше третьего , то мы получаем модель квантовой проволоки. Движение по оси можно считать классическим а в плоскости квантованным. Возле энергетических уровней

.

будут располагаться системы близко расположенных энергетических уровней, создаваемые квантами малой энергии

.

4. В реальных ситуациях потенциальная яма не является бесконечно глубокой, а имеет конечную величину U0 (рис. 41). В этом случае волновая функция под потенциальным барьером отлична от нуля, характеризуется глубиной проникновения

и убывает по экспоненциальному закону. На границах ямы накладываются стандартные граничные условия, т.е. условия непрерывности волновой функции и ее первой производной. В целом решение задачи значительно сложнее, чем для бесконечно глубокой потенциальной ямы. Поэтому ограничимся только обсуждением результатов. Волновые функции внутри ямы представляют отрезки синусоид, а за пределами ямы являются экспонентами. Число узлов волновой функции на единицу меньше квантового числа n. Так для n = 1 волновая функция нигде не обращается в нуль, для n = 2 волновая функция имеет узел в центре ямы (рис. 42).

Число энергетических уровней теперь уже конечно. Оно уменьшается при уменьшении U0. Аналитического выражения для собственных значений получить нельзя.

При существует только одно собственное значение, соответствующее нулевой энергии.

При E > U0 энергетический спектр является сплошным (энергия может принимать любые значения).