1. Согласно классическому определению моментом импульса частицы относительно начала координат О называется величина, равная векторному произведению радиус-вектора материальной точки и ее импульса
.
В квантовой механике не существует состояния, в котором оба вектора и имеют определенные значения. Это накладывает отпечаток на свойства оператора момента импульса
.
Используя представление операторов и в декартовых и сферических координатах
,
,
и соблюдая порядок расположения операторов и координат и проекций импульса, с помощью записи векторного произведения в форме определителя
можно получить разложение оператора на составляющие
;
.
Оператор вектора момента импульса выражается через свои проекции формулой
.
Произвольной волновой функции соответствует вектор, определяемый выражением
.
Возникает, однако, вопрос, существует ли такая волновая функция , для которой все три проекции этого вектора имеют определенные значения, т.е. одновременно выполняются все три равенства:
, , .
Для ответа на этот вопрос необходимо найти правила коммутации операторов .
2. Коммутационные соотношения проверяются непосредственным перемножением операторов
,
.
Таким образом,
.
Аналогично получаются и два других правила коммутации.
Итак,
, , .
Любые две проекции оператора момента не коммутируют между собой. Поэтому не существует состояния, в котором бы все три и даже какие либо две из трех проекций имели определенные значения. Исключением является только случай, когда все три проекции одновременно равны нулю. Значит, не существует состояния, в котором бы и сам вектор момента импульса имел определенное значение, т.е. был бы определен полностью как по величине, так и по направлению.
Другими словами оператор момента импульса не имеет собственных значений и собственных функций.
В квантовой механике используются операторы проекций момента импульса на оси координат и квадрата момента импульса .
Можно убедиться проверкой, что операторы проекций момента импульса коммутируют с оператором квадрата момента
, , .
Таким образом, в состоянии, в котором имеет определенное значение, две другие проекции не имеют определенного значения, но квадрат момента импульса имеет определенное значение. Поэтому и могут быть измерены одновременно.
3. В дальнейшем понадобятся выражения для оператора проекции момента импульса на ось z , записанные в сферических координатах
,
и квадрата момента импульса в сферических координатах
где - оператор Лапласа на сфере.
Оператор момента импульса от выбора начала координат не зависит, а зависит только от направления координатных осей. Поэтому в квантовой механике его называют оператором углового или вращательного момента микрочастицы. Не зависят от выбора начала системы отсчета и собственные значения операторов проекций и квадрата углового момента.