Выбрав за ось некоторое произвольное направление в пространстве, определим собственные функции и собственные значения оператора проекции момента импульса на это направление, т.е. найдем решение уравнения
.
Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение можно найти обычным методом разделения переменных
.
Интегрируя последнее уравнение, получим
.
При изменении циклической переменной на мы возвращаемся в исходную точку пространства, поэтому в силу требования однозначности волновой функции должна быть выполнено равенство
,
или
.
Отсюда следует, что
, , , . . .
Таким образом, получается, что проекция момента импульса на ось принимает дискретный ряд значений
и волновая функция принимает вид
Число называется магнитным квантовым числом. Так как ось не выделена в пространстве какими-либо физическими условиями, такой же результат получается и для двух других проекций и . При определенном значении проекции , две другие проекции не могут иметь определенных значений, т.е. в состоянии с определенным значением при измерении для них может получиться любое возможное значение.
Из условия нормировки волновых функций
следует
.