1. Если силы, действующие на частицу в разных точках пространства, направлены вдоль прямых, проходящих через одну и ту же точку, называемую центром, и зависят только от расстояния до него
,
то такое силовое поле называется центральным. Оно обладает сферической симметрией.
Помимо силовой характеристики поля существует еще энергетическая характеристика – потенциальная энергия. В центральном поле она зависит только от
.
Законы движения в поле центральной силы образуют фундамент атомной физики. Решение общей задачи о движении электронов в атоме опирается в той или иной мере на результаты движения одной квазичастицы с приведенной массой в силовом поле относительно неподвижного центра масс. Для системы электрон – ядро (в атоме водорода или в водородоподобных ионах), . Поэтому упрощенно можно считать, что квазичастица тождественна электрону, движущемуся возле неподвижного тяжелого ядра в силовом поле (в кулоновском поле).
Частным случаем центрального поля является кулоновское поле в водородоподобных атомах
.
В общем случае в центральном поле зависимость потенциальной энергии от является более сложной, чем в кулоновском поле.
Замечательной особенностью центрального поля является сферическая симметрия энергии взаимодействия, т.е. ее независимость от угловых координат. Поэтому уравнения Шредингера для центрального взаимодействия проще всего решать в сферических координатах.
2. Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид
.
Выражение в фигурных скобках называется оператором Лапласа на сфере
.
Таким образом, для оператора кинетической энергии в сферических координатах получаем выражение
.
Оно состоит из двух слагаемых
,
где есть оператор квадрата момента импульса, а есть
.
Оператор может рассматриваться как оператор кинетической энергии, соответствующий радиальному движению, а оператор - как оператор кинетической энергии трансверсального движения.
3. Задача заключается в нахождении стационарных состояний частицы, движущейся в поле , т.е. в отыскании решений уравнения Шредингера для стационарных состояний
. (1)
Так как операторы полной энергии и квадрата момента импульса коммутируют, то волновые функции у них должны быть общими.
Если положить
,
то, во-первых, автоматически будет выполняться уравнение
,
во-вторых, учитывая, что собственные значения оператора равны
можно получить уравнение
.
Это уравнение содержит явно только одну переменную . Поделив его на , получим уравнение для радиальной функции
. (2)
Его называют уравнением Шредингера для радиальной функции .
Вид радиальной волновой функции определяется энергией взаимодействия и потенциальной энергии электрона в поле центробежной силы. Следовательно, орбитальное квантовое число влияет на вид радиальной функции.
Возможные значения энергии определяются из уравнения (2) и зависят от вида . Они могут зависеть от величины момента импульса (через ), но не могут зависеть от проекции момента импульса . Причиной этого является сферическая симметрия силового поля, когда все направления в пространстве равноправны, и поэтому энергия не может зависеть от ориентации в пространстве момента импульса.