7. Радиальные собственные функции , зависят от главного и орбитального квантовых чисел и выражаются через произведение экспоненты и полинома степени (). Здесь и - радиус первой орбиты в теории Бора.
Вероятность обнаружения электрона в шаровом слое между и определяется формулой
. (4)
Плотность радиального распределения вероятности обладает следующими особенностями.
1) Вблизи центра эта функция равна нулю и увеличивается примерно по параболическому закону, что определяется вторым ее сомножителем.
2) Старшая степень функции равна . Поэтому на больших расстояниях от центра радиальные волновые функции приближенно определяются первым слагаемым в выражении
и очень быстро убывают с увеличением расстояния. Уменьшение плотности вероятности в основном определяется экспонентой. Величина определяет размер атома , так как при плотность вероятности практически равна нулю.
Для основного состояния , из формулы (13) получаем
,
Из условия нормировки вероятности находим нормировочный множитель
.
Отсюда
.
Таким образом,
.
Радиальная плотность вероятности
Эта функция имеет экстремум при . Для водорода совпадает с радиусом первой орбиты в теории Бора.
3) Радиальные волновые функции обращаются в нуль в узловых точках . Число узлов радиальной функции . При этом мы имеем не узлы в точках, а узловые поверхности с радиусами
.
Всего в состоянии с квантовыми числами и получается () узловых поверхностей. Для состояния с заданным значением главного квантового числа наибольшее число сферических узловых поверхностей получается при .
С увеличением главного квантового числа при одинаковых орбитальных числах увеличивается число узловых поверхностей, и максимальная плотность вероятности отодвигается от силового центра.
С увеличении значения орбитального квантового числа при одинаковых главных квантовых числах число узловых поверхностей уменьшается, и положение максимальной плотности вероятности приближается к ядру.