Атом водню у квантовій механіці

 

У квантовій механіці задача про атом водню (крім його простої структури) є однією із основних ще і тому, що задача про рух електрона у полі центральних сил може бути поширена і на воднеподібні системи, які складаються з ядра із зарядом Ze і одного електрону (наприклад, іони Не+, Li2+ та інші). Потенціальна енергія взаємодії електрона із ядром воднеподібного атома має вигляд:

де r – відстань від електрона до ядра атома, Z – порядковий номер елемента в таблиці Менделєєва. Відповідно, стаціонарне рівняння Шредінгера для тривимірного руху електрона на-

вколо ядра воднеподібного атома має вигляд:

Оскільки електричне поле воднеподібного атома має сферичну симетрією, вирішувати таке рівняння поцільно у сферичних координатах (r,q,j) методом роз-

ділення змінних. Це досить складна задача, але якісні її результати такі.

1) Таке рівняння має кінцеві, однозначні і безперервні рішення не завжди, а лише при певних значеннях параметрів, які входять у нього. Одним із цих параметрів є повна енергія електрона Е. Рух електрона у атомі, що задовольняє цьому рівнянню, може відбуватись тільки при певних (дискретних) негативних значен-

нях енергії: Це - власні значення енергії електрона в атомі, які відповідають власним хвильовим функціям yn, одержаним із рі-

шення рівняння. Тут n=1,2,3,…- головне квантове число. Рівень енергії Е1, відповідний мінімальному значенню енергії (n=1), називають основним, а всі інші Еn (n=2,3,4,…) – збудженими. Якщо енергія електрона Е<0, його рух називається зв'язаним, оскільки він знаходиться усередині гіперболічної потенціальної ями. При зростанні n, збуджені енергетичні рівні розташовуються щільніше. Коли повна енергія електрона Е стає позитивною (тобто, його кінетична енергія перевищує потенціальну енергію тяжіння до ядра), то електрон стає вільним, а його енергетичний спектр стає суцільним – енергія електрона може набувати довільних значень.

2) Із рівняння Шредінгера виходить, що кожен стаціонарний стан електрона в атомі характеризується трьома квантовими числами: n – головним, l – орбітальним, m – магнітним. Ці квантові числа визначаються властивостями хвильових функцій – їх неперервністю, однозначністю і скінченністю у всьому об'ємі. Орбітальнеквантове число l визначає модуль орбітального моменту імпульсу елект-

рона, який може набувати лише дискретних значень, тобто квантується згідно із формулою: При певному значенні n орбітальне квантове число l може на-

бувати значень 0, 1, 2,…, (n-1) (тобто, всього n-значень). Магнітне квантове число m визначає проекції орбітального моменту імпульсу на деякий довільно вибраний напрямок зовнішнього магнітного поля, які також можуть набувати лише дискретних значень, тобто квантуються згідно формулі: Lz=ħ×m. При певному значенні l, магнітне квантове число може набувати значення m=0, ±1, ±2,…, ±l, (всього (2l+1) - значення). Орбітальним гіромагнітним відношенням електрона називають відношення магнітного моменту електрона pm до його механічного моменту імпульсу L. Підставивши відповідні значення, для орбітального руху елект-

рона одержимо: де е – заряд електрона, m0 – його маса. Підставивши значення L, отримаємо ви-

раз длявизначення дозволених значень орбітального магнітного моменту:

де величину e×ћ/2m0 називають магнетоном Бора і позначають μВ. Отже, магнітні моменти електрона при його орбітальному

русі навколо ядра також набувають дискретних значень. Для проекції орбітального магнітного моменту електрона на напрямок зовнішнього магнітного поля має-

мо: де m – магнітне квантове число, яке може набувати позитивних і негативних значень.

Таким чином, рух електрона в атомі є «строго регламентованим». Енергія електрона залежить від головного квантового числа, що визначає розміри орбіти, орбітального квантового числа, що визначає форму орбіти, і магнітного квантового числа, що визначає її орієнтацію у просторі. Кожному власному значенню енергії Еn (окрім Е1) відповідає декілька власних хвильових функцій ynlm, відмінних значеннями l і m. Тому атом може мати одне і те ж значення енергії, знаходячись при цьому у різних станах, званих виродженими. Кількість станів із однаковою енергією, або кратність виродження енергетичних рівнів може бути

визначена формулою: Вірогідність виявлення електрона в різних частинах атома різна. Електрон при своєму русі неначе «розмазаний» по всьому об'єму атома, утво-рюючи електронну хмару, густина якої характе-

ризує вірогідність знаходження електрона в різних точках об'єму. Квантові числа n і l характеризують розмір і форму електронної хмари, а квантове число m характеризує її орієнтацію у просторі.

Голландські фізики Уленбек і Гаудсміт у 1925 році висунули гіпотезу, згідно якої електрон володіє не тільки орбітальним, але і власним механічним моментом імпульсу, названому спіном. Для наочності, наявність у електрона спіну можна уявити його обертанням навколо своєї осі (по-англійськи «to spin» – обертатись, вертітись). Поняття спіну електрона (і інших мікрочастинок) введене для пояснення результатів дослідів Штерна і Герлаха, які спостерігали розщеплювання вузького пучка атомів водню у неоднорідному магнітному полі на дві частини. Спін – чисто квантова величина, у неї немає класичного аналогу: це внутрішня, невід'ємна властивість електрона, як його заряд або маса. Згідно висновкам квантової механіки, спін електрона, і його проекція на напрям зовнішнього магнітного поля квантуються. По аналогії із орбітальним рухом, спін і його проекція можуть

набувати значень: де S – спінове квантове число, ms - спінове магнітне квантове число. Оскільки ms може приймати всього

(2S+1)-значення, а розщеплення пучка відбувалось на 2 компоненти (можливі дві орієнтації спина у магнітному полі), із умови (2S+1)=2 визначили значення спінового квантового числа S=1/2. Спінове магнітне квантове число ms може набувати два значення ms=±1/2. Дослідним шляхом було встановлено, що гіромагнітне від-

ношеннядля спінових моментів у два рази більше, ніж для орбітальних моментів електрона, а саме: Звідки, спіновий магнітний момент електрона складає:
де mB - магнетон Бора, який є одиницею виміру магнітних моментів. Про- екція спінового магнітного моменту на вісь z може набувати значень: Спінові механічний та магнітний мо-менти електрона виявляються не тіль
     

ки у магнітних властивостях речовини, але і в інших явищах, тому можна говорити про спінове магнітне квантове число ms, як про четвертий тип квантового числа, що визначає поведінку електронів у атомах.

Якщо при перестановці частинок місцями хвильова функція не змінює знак, вона називається симетричною, а якщо змінює – антисиметричною. Симетрія хвильових функцій визначається спіном частинок. Частинки із нульовими або цілими спінами (p-мезони, фотони) описуються симетричними хвильовими функціями, підлягають статистиці Бозе-Ейнштейна і називаються бозонами. А частинки із напівцілими спінами (електрони, протони) описуються антисиметричними хвильовими функціями, підлягають статистиці Фермі-Дірака і називаються ферміонами. Залежність характеру симетрії хвильових функцій системи тотожних частинок від їх спину теоретично обгрунтована швейцарським фізиком Паулі. Узагальнюючи дослідні дані, він сформулював принцип (принцип Паулі). Оскільки стан електрона у атомі однозначно визначається чотирма квантовими числами, то згідно принципу Паулі, два електрони у одному і тому ж атомі повинні розрізнятися значеннями, принаймні, одного квантового числа, тобто Z(n, l, m, ms)=0 або 1. Максимальна кількість електронів, які знаходяться у станах, визначених головним квантовим числом n (кратність виродження енергетичного рівня Еn із урахуванням спіну електрона) визначається формулою:

Сукупність електронів у багатоелектрон-ному атомі, які мають однакове головне квантове число n, називають електрон-ним шаром. Сукупність електронів у кожному шарі, відповідних певному значен-

ню орбітального квантового числа l,називають електронною оболонкою. Кількість електронів у оболонках визначається магнітним m і спіновим ms квантовими числами. Позначення електронних шарів і оболонок взяті із спектроскопії, а наповнення їх електронами приведене у таблиці:

 

Головне кван- тове число n  
Символ элект- ронного шару K L M N O  
Число электро- нів в шарі  
  Орбітальне ква-нтове число l
  Символ электронної оболонки 1S 2S 2p 3S 3p 3d 4S 4p 4d 4f 5S 5p 5d 5f 5g
  Число электро-нів у оболонці
                                             

 

Принцип Паулі, який лежить у основі систематики заповнення електронних станів в атомах, дозволяє пояснити Періодичну систему елементів Д.І.Менделєєва – фундаментального закону природи, що є основою сучасної хімії, атомної і ядерної фізики. Оскільки хімічні і деякі фізичні властивості пояснюються зовнішніми (валентними) електронами у атомах, то періодичність властивостей елементів мусить бути зв'язана із певною періодичністю у розташуванні електронів в атомах, яка відповідає принципу Паулі і стає цілком зрозумілою.

 

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З РОЗДІЛУ “ЕЛЕМЕНТИ КВАНТОВОЇ МЕХАНІКИ”

 

Хвилі де Бройля

 

85. Визначте довжину хвилі де Бройля для кулі, масою 7 г, яка рухається зі швидкістю V=400 м/с.

 

А) 6,7×10-23 нм. Б) 2,4×10-25 нм. В) 5,2×10-24 нм. Г) 4,7×10-26 нм. Д) 8,1×10-25 нм.

 

86. Визначити дебройлівську довжину хвилі, яка відповідає кульці масою 10 г, яка рухається зі швидкістю 500 м/с. (h=6,63×10-34 Дж×с).

 

А)4,5×10-23 нм. Б) 2,4×10-27 нм. В) 6,8×10-24 нм. Г) 8,7×10-26 нм. Д) 1,3×10-25 нм.

 

87. Визначте довжину хвилі де Бройля для протону, швидкість руху якого становить 103 км/с. (mр=1,67×10-27 кг).

 

А) 7×10-14 м. Б) 5×10-15 м. В) 2×10-12 м. Г) 4×10-13 м. Д) 8×10-11 м.

 

88. Визначити довжину хвилі де-Бройля a-частинки, яка рухається зі швидкістю V=106 м/с, якщо її маса m дорівнює 6,68×10-27 кг.

 

А) 9,9×10-14 м. Б) 1,8×10-12 м. В) 3,6×10-11 м. Г) 2,4×10-15 м. Д) 7,2×10-13 м.

 

89. Із якою швидкістю рухається електрон, якщо відповідна йому довжина хвилі де-Бройля становить 0,73 нм ? (me=9,1×10-31 кг).

 

А) 4×104 м/с. Б) 2×105 м/с. В) 6×107 м/с. Г) 8×108 м/с. Д) 1×106 м/с.

 

90. Визначити довжину хвилі де-Бройля для релятивістського протона, який рухається зі швидкістю V=0,6×c, де с – швидкість поширення світла у вакуумі. (Маса спокою протона m0=1,67×10-27 кг).

 

А) 5,9×10-12 м. Б) 6,2×10-13 м. В) 1,8×10-15 м. Г) 3,6×10-14 м. Д) 8,4×10-16 м.

 

91. Електрон рухається зі швидкістю V=200000 км/с. Враховуючи релятивістську зміну маси електрона від швидкості руху, визначте довжину хвилі де-Бройля l, яка йому відповідає. (Маса спокою електрона m0=9,1×10-31 кг).

 

А) 1,6×10-11 м. Б) 6,4×10-14 м. В) 3,5×10-13 м. Г) 8,1×10-15 м. Д) 2,7×10-12 м.

 

92. Яке співвідношення визначає зв¢язок кінетичної енергії частинки та її хвилею де Бройля (у нерелятивістському випадку):

 

А) Б) В) Г) Д)

 

93. Визначте довжину хвилі де Бройля l, що відповідає електрону з енергією Е=100 еВ. (1 еВ=1,6×10-19 Дж).

 

А) 62 пм. Б) 185 пм. В) 208 пм. Г) 123 пм. Д) 246 пм.

 

94. Визначте довжину хвилі де-Бройля l для електрона, якщо його кінетична енергія Е дорівнює 1 кеВ. (me=9,1×10-31 кг, 1 кеВ=1,6×10-16 Дж).

 

А) 39 пм. Б) 17 пм. В) 112 пм. Г) 23 пм. Д) 94 пм.

 

95. Визначте довжину хвилі де-Бройля l для електрона, якщо його кінетична енергія Е дорівнює 5 кеВ. (me=9,1×10-31 кг, 1 кеВ=1,6×10-16 Дж).

 

А) 23 пм. Б) 48 пм. В) 112 пм. Г) 84 пм. Д) 17 пм.

 

96. Визначте довжину хвилі де-Бройля l, що відповідає електрону з енергією Е=15 кеВ. (me=9,1×10-31 кг, 1 кеВ=1,6×10-16 Дж).

 

А) 42 пм. Б) 56 пм. В) 10 нм. Г) 21 нм. Д) 84 нм.

 

97. Рухомий протон має енергію Е=25 еВ. Визначте довжину хвилі де Бройля l, яка йому відповідає. (mр=1,67×10-27 кг).

 

А) 9,3 пм. Б) 5,7 пм. В) 1,8 пм. Г) 3,6 пм. Д) 7,9 пм.

 

98. Визначте довжину хвилі де Бройля l, що відповідає електрону з енергією Е=60 кеВ. (1 кеВ=1,6×10-16 Дж).

 

А) 15 пм. Б) 20 пм. В) 10 пм. Г) 5 пм. Д) 25 пм.

 

99. Якою кінетичною енергією повинен володіти електрон, щоб довжина хвилі де Бройля електрона l дорівнювала його комптонівській довжині хвилі L=2,44 пм ? (1 МеВ=1,6×10-13 Дж).

А) 0,08 МеВ. Б) 0,14 МеВ. В) 0,67 МеВ. Г) 1,02 МеВ. Д) 0,25 МеВ.

 

100. Яку енергію Е має протон, якщо відповідна йому дебройлівська довжина хвилі l становить 1 пм ? (1 кеВ=1,6×10-16 Дж, mР=1,67×10-27 кг).

 

А) 2,6 кеВ. Б) 11,5 кеВ. В) 5,4 кеВ. Г) 8,2 кеВ. Д) 9,8 кеВ.

 

101. Кінетична енергія електрона дорівнює подвійному значенню його енергії спокою (Е=2E0=2m0с2). Релятивістський імпульс . Визначте довжину хвилі де-Бройля l для такого електрона. (Маса спокою електрона m0=9,1×10-31 кг).

 

А) 0,86 пм. Б) 1,21 пм. В) 0,43 пм. Г) 0,61 пм. Д) 2,43 пм.

 

102. Довжина хвилі де Бройля електрона l дорівнює 10-10 м. Яку енергію DЕ потрібно надати йому додатково, щоб відповідна йому хвиля де Бройля l зменшиласьвдвічі ? (1 кеВ=1,6×10-16 Дж).

 

А) 0,94 кеВ. Б) 1,82 кеВ. В) 0,45 кеВ. Г) 0,13 кеВ. Д) 2,16 кеВ.

 

103. Протон має кінетичну енергію Е=1 кеВ. Визначити додатковуенергію DЕ, яку йому потрібно надати для того, щоб відповідна довжина хвилі де-Бройля l зменшилась втричі.

А) 12 кеВ. Б) 8 кеВ. В) 9 кеВ. Г) 4 кеВ. Д) 3 кеВ.

 

104. Визначте довжину хвилі де Бройля для протона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U=1 кВ. (mр=1,67×10-27 кг).

 

А) 0,24 пм. Б) 0,02 пм. В) 0,58 пм. Г) 1,67 пм. Д) 0,90 пм.

 

105. Електрон пройшов прискорюючу різницю потенціалів U=51 В. Визначити довжину хвилі де-Бройля, яка відповідає йому у цьому випадку. (me=9,1×10-31 кг, е=1,6×10-19 Кл).

А) 0,51 нм. Б) 0,27 нм. В) 0,09 нм. Г) 0,17 нм. Д) 0,34 нм.

 

106. Визначте довжину хвилі де Бройля для a-частинки, яка пройшла прискорюючу різницю потенціалів U=1 кВ. (qa=3,2×10-19 Кл, ma=6,64×10-27 кг).

 

А) 1,44 пм. Б) 0,48 пм. В) 0, 32 пм. Г) 0, 96 пм. Д) 0,18 пм.

 

107. Визначте довжину хвилі де Бройля для протона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U=100 В. (mр=1,67×10-27 кг).

 

А) 6,19 пм. Б) 0,94 пм. В) 4,48 пм. Г) 1,67 пм. Д) 2,87 пм.

 

108. Визначте довжину хвилі де Бройля для протона, який пройшов прискорюючу різницю потенціалів U=10 кВ. (mр=1,67×10-27 кг).

 

А) 0,29 пм. Б) 1,24 пм. В) 0,62 пм. Г) 2,17 пм. Д) 0,98 пм.

 

109. Порівняйте довжину хвилі де Бройля електрона і протона lел/lпр, які пройшли однакову прискорюючу різницю потенціалів U. Розглянути нерелятивістський випадок (маса частинок не залежить від швидкостей їхнього руху). (mр=1,67×10-27 кг, mе=9,1×10-31 кг).

 

А) 1835. Б) 6,8. В) 0,023. Г) 43. Д) 5×10-4.

 

110. Порівняйте довжину хвилі де Бройля протона і електрона lпр/lел, які пройшли однакову прискорюючу різницю потенціалів U для нерелятивістського випадку. (mр=1,67×10-27 кг, mе=9,1×10-31 кг).

 

А) 0,096. Б) 0,008. В) 0,023. Г) 0,27. Д) 1,4×10-3.

 

111. Яку прискорюючу різницю потенціалів мусить пройти електрон, щоб відповідна йому довжина хвилі де-Бройля становила 0,1 нм ? (е=1,6×10-19 Кл, me=9,1×10-31 кг).

 

А) 212 В. Б) 151 В. В) 78 В. Г) 124 В. Д) 42 В.

 

112. Яку прискорюючу різницю потенціалів повинен пройти електрон, щоб відповідна йому довжина хвилі де-Бройля дорівнювала 2×10-10 м ? (mе=9,1×10-31 кг, е=1,6×10-19 Кл).

 

А) 38 В. Б) 89 В. В) 24 В. Г) 51 В. Д) 46 В.

 

113. Яку прискорюючу різницю потенціалів повинен пройти протон, щоб відповідна йому довжина хвилі де Бройля становила 1 пм ? (qP=1,6×10-19 Кл, mP=1,67×10-27 кг).

 

А) 451 В. Б) 904 В. В) 316 В. Г) 822 В. Д) 638 В.

 

114. В межах нерелятивістських швидкостей прискорююча різниця потенціалів, яку пройшла заряджена частинка, збільшилась у 4 рази. Як при цьому зміниться довжина хвилі де-Бройля, що відповідає цій частинці ?

 

А) Збільшиться у 2 рази. Б) Зменшиться у 2 рази. В) Зменшиться у разів.

Г) Зменшиться у 4 рази. Д) Збільшиться у 4 рази.