министерство образования и науки рф
ФГАОУ ВПО «Уральский федеральный университет
имени первого президента россии Б.Н. Ельцина»
К. А. Некрасов
физическая теория реакторов
Курс лекций
Екатеринбург
Содержание
Введение. 5
Глава 1 Основные понятия теории реакторов.. 9
Простейший ядерный реактор. 9
Топливо ядерных реакторов. 12
Коэффициент воспроизводства. 13
Классификация ядерных реакторов. 14
Глава 2 Ядерные процессы в реакторах.. 16
Механизм ядерных реакций. 16
Ядерные уровни энергии. 17
Резонансное поглощение. 18
Рассеяние нейтронов. 21
Рассеяние и замедление нейтронов. 22
нейтронные поперечные сечения. 23
Выход нейтронных реакций. 26
Глава 3 Основные свойства реакции деления.. 27
испускание нейтронов. 27
Механизм деления ядер. 29
Продукты деления. 31
Баланс освобождающейся энергии. 31
Глава 4 Условия поддержания стационарного течения реакции деления ядер. 32
Цепная реакция деления. 32
Коэффициент размножения реактора бесконечных размеров. 32
Величина обогащения, необходимая для поддержания стационарной цепной реакции. 34
Глава 5 Возможность расширенного воспроизводства делящихся изотопов.. 36
Утечка нейтронов. 38
Действие запаздывающих нейтронов. 39
Распределение нейтронов в реакторе. 40
Замедление нейтронов в бесконечных средах. 42
Упругое рассеяние нейтронов. 42
Глава 6 Логарифмический декремент энергии.. 49
Глава 7 Летаргия.. 50
Глава 8 Энергетический спектр замедляемых нейтронов.. 51
Замедление в водороде без поглощения. 51
Плотность замедления. 54
Замедление без поглощения в неводородных средах. 54
Замедление в бесконечных средах при наличии поглощения. 56
Вероятность избежать резонансного захвата в средах с массовым числом больше единицы.. 58
Эффективный резонансный интеграл. 60
Эффект Доплера. 61
Глава 9 Диффузия нейтронов.. 62
Введение. 62
Плотность тока нейтронов. Закон Фика. 63
Уравнение диффузии. 67
Граничные условия: 68
Глава 10 Точечный источник в бесконечной среде. 71
Глава 11 Бесконечный плоский источник.. 73
Длина диффузии. 74
Альбедо. 76
Глава 12 односкоростной реактор без отражателя.. 78
Глава 13 теория возраста.. 81
Модель непрерывного замедления. 81
Уравнение диффузии с учетом замедления. 81
Предположения и ограничения теории возраста. 83
Точечный источник быстрых нейтронов в бесконечной среде. 83
Физический смысл возраста. 84
Время диффузии и время замедления. 86
Глава 14 Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах.. 86
Условие критичности. Геометрический и материальный параметр. 92
Вероятность избежать утечки. 93
Геометрические параметры для реакторов, имеющих размеры и форму в виде сферы и цилиндра. 93
Глава 15 Большие реакторы.. 95
Экспериментальное определение критического размера реактора. 96
Глава 16 Гомогенный реактор с отражателем.. 97
Свойства отражателя. 97
Распределение нейтронов и критические размеры реактора с отражателем. 98
Эффективная добавка отражателя. 102
Временной режим работы реактора без отражателя на тепловых нейтронах.. 104
Период реактора. 104
Уравнение диффузии с учётом запаздывающих нейтронов. 105
Малые реактивности. 110
Большие реактивности. 111
Тепловой взрыв. 112
Вес. 112
Глава 17 УПРАВЛЕНИЕ РЕАКТОРОМ.. 114
Нарушение нейтронного баланса. 114
Регулирующие стержни. 114
Изменение изотопического состава ядерного горючего. 120
Отравление реактора продуктами деления. 120
Зашлаковывание. 123
Последовательное поглощение нейтронов. 126
Изменение реактивности при выгорании горючего и его воспроизводстве. 127
Глубина выгорания топлива. 129
Об атомной бомбе. 129
Глава 18 Температурный коэффициент реактивности.. 131
Измерение запаса горючего по мере выгорания горючего. 133
Глава 19 Теория возмущений.. 134
Теория возмущений в одногрупповом эффективном приближении. 134
Эффективность регулятора в зависимости от глубины погружения для цилиндрического реактора. 137
Глава 20 Гетерогенные реакторы Введение. 138
Введение. 138
Особенности гетерогенного реактора. 139
Главные эффекты размещения урана в виде блоков. 140
Вычисление коэффициента размножения для гетерогенных систем. 141
Коэффициент размножения на быстрых нейтронах. 146
Вероятность избежать резонансного захвата. 148
Введение
Курс называется " Физическая теория реакторов". Ядерный реактор - это установка для производства энергии. Что значит произвести энергию? Это значит создать запас потенциальной энергии взаимодействия в таком виде, который был бы удобен для превращения этого запаса в кинетическую энергию работающих машин и кинетическую энергию движения атомов и молекул, иначе говоря – в тепло. Какой запас энергии взаимодействия имеют окружающие нас тела, и каковы способы его высвобождения, превращения в кинетическую энергию?
(1) Любое количество вещества массой m связано с энергией покоя E = mc2. Полное превращение этой энергии в кинетическую энергию излучения возможно только путем аннигиляции вещества и антивещества. Но антивещество мы не научились производить в необходимых количествах.
(2) За счет сил гравитации при образовании нейтронной звезды в энергию излучения переходит до 10% массы звезды. Это превращение люди тоже не умеют использовать.
(3) Поступательная энергия ядерного взаимодействия (энергия связи двух нуклонов) составляет 1% от полной энергии E = mc2.
(4) Потенциальная энергия химического взаимодействия двух атомов, имеющая электромагнитное происхождение, составляет 10-6 % от E.
Последние два вида потенциальной энергии человечество научилось использовать и превращать в кинетическую энергию машин и в тепло. В настоящее время 16% производимой энергии в мире вырабатывается ядерной энергетикой, а 80% вырабатывается на обычных тепловых электростанциях, использующих сжигание органического топлива. С физической точки зрения преимущество ядерного способа получения энергии очевидно. Энергоотдача 1 г. вещества в миллион раз больше. Ядерная энергия может быть высвобождена при синтезе лёгких ядер или при делении тяжёлых. Дело в том, что ядра средней массы наиболее плотно упакованы, в них энергия связи на 1 нуклон достигает максимального значения. Синтез лёгких ядер, разделение тяжёлых приводит к образованию наиболее плотно упакованных ядер средней массы. Технически освоен только способ, связанный с делением тяжёлых ядер.
Перспективы развития ядерной энергетики
Потребление энергии во всем мире в 1975 г. составило почти 0,3Q (Q = 1021Дж). За всю историю существования человечества израсходовано 10Q, причем 4Q за последнее столетие. С учетом роста народонаселения предполагается, что потребление энергии в мире в середине XXI стабилизируется (около 8¸10 Q в год).
Какими же ресурсами располагает Земля?
| Возобновляемый источник энергии | Ежегодное поступление энергии, Q (Q =1021 Дж.) |
| Солнце | |
| Температурный градиент морей | |
| Гидроэнергия | 0.2 |
| Фотосинтез | 0.1 |
| Геотермический | 0.02 |
| Приливы | 0.002 |
| Ветер | 0.0002 |
| Не возобновляемый источник энергии | Запас энергии (с учетом стоимости добычи), Q (1021 Дж.) |
| Химическое топливо | |
| Уголь | |
| Нефть | |
| Газ | |
| Ядерное топливо (не дороже 250 $/кг.) | |
| Уран (с учетом размножения) | 5*106 |
| Торий | 6*106 |
| Дейтерий | 109 |
| Литий (тритий) | 13*106 |
Как следует из таблицы, солнце выдает на Землю достаточное количество энергии, однако ее рассеянность не позволяет эффективно ее использовать. Ресурсы гидроэнергии ограничены по количеству и в пространстве.
Запасы химического топлива, как источника энергии последних столетий, ограничены. Кроме того, сжигание топлива требует большого количества кислорода, а продукты сжигания химического топлива в виде золы, сажи и токсичных веществ к настоящему времени приближаются к вулканической деятельности на Земле, которая оценивается 1¸2 млрд. тонн/год. Сами по себе такие выбросы уже влияют на климат (например, "Шатл" за время одного полета рассеивает в атмосфере в виде аэрозоли 300 тонн Al2O3; решение комиссии конгресса : не более 20 вылетов в год). Наиболее распространенный источник энергии в настоящее время сжигание органического топлива. Но его запасы 150 Q. Его хватит на 300 лет. Очевидно, нужны другие источники энергии. Таким источником может служить уран, на котором возможно осуществление цепной незатухающей ядерной реакции. Его запасы составляют 1500 Q, что в 10 раз превышает запасы органического топлива.
Уран интересен также своей огромной теплотворной способностью, которая в 10000000 раз больше теплотворной способностью угля. С потока энергии в 1015 раз больше чем при взрыве тротила. Еще более значительными являются запасы лития, необходимые для проведения термоядерных реакций 15000 Q.
Ядерную энергию можно высвобождать при делении тяжелых изотопов урана, тория, плутония под воздействием нейтронов и при слиянии (синтезе) легких D (дейтерия), Т (трития).
Сравнение источников энергии по запасам и степени возможной локализации потоков энергии по стоимости преобразования в электрическую энергию показывает неоспоримые преимущества ядерного топлива. В результате время удвоения мощностей АЭС в течение последних десятилетий держатся на уровне 5 - 7 лет. Такие невиданные для других отраслей темпы развития ядерной энергетики связаны со следующими преимуществами АЭС:
· независимость от источников сырья, благодаря компактности ядерного горючего. Отпадает необходимость подвоза огромных количеств топлива. Вместо состава вагонов с углем, потребляемым за сутки ТЭС, необходим 1 кг U235 для блока на 103 МВт.
· меньшее загрязнение окружающей среды. В номинальном режиме выбросы радиоактивности практически невозможно измерить, ввиду того, что фоновое излучение увеличивается при этом не более чем на 5%. Отсутствие химического загрязнения, свойственного ТЭС.
· стоимость одного киловатт - часа электроэнергии стала дешевле, чем на ТЭС на 20¸30%. запасы урана, при правильном их использовании могут обеспечить человечество электроэнергией на несколько тысячелетий.
· уран достаточно рассеян, и его производство можно наладить почти в каждой стране (уран можно добывать, например, из морской воды). Благодаря этому, ликвидируются некоторые причины возможных военных конфликтов между странами.
Однако авария на Чернобыльской АЭС по-новому осветила проблемы перспективы развития ядерной энергетики. Масштабы аварии оказались огромными. Работы по локализации аварии потребовали затрат на сумму 10 млрд. рублей при стоимости взорвавшегося 4-го энергоблока 2 млрд. рублей. Рассеяно 10000000 кюри активности, из-за этого пришлось переселить сотни тысяч человек, тысячи квадратных километров земель выведены из пользования, ожидается порядка 150000 дополнительных смертей, обусловленных облучением населения. Затраты на восстановление оцениваются в сотни миллиардов рублей.
Главный вывод по результатам этого события - необходимость поставить вопросы безопасности АЭС на совершенно новый уровень, качественно отличающийся от уровня безопасности другой техники. Изменяется идеология подхода к вопросам безопасности. Ядерные реакторы теперь конструируют так, чтобы сами конструкции приводили к локализации последствий отказов различных узлов и единиц оборудования, чтобы локализация не требовала вмешательства обслуживающего персонала. Это так называемая внутренняя безопасность. Конструкции АЭС, системы управления реактором стараются делать так, чтобы аварии стали невозможными даже в случае преступных намерений у операторов. Только после решения проблем безопасности в этом новом ключе развитие атомной энергетики должно пойти на значительное расширение ее доли в общем энергетическом балансе. Такое расширение неизбежно, так как альтернатив ядерной энергетики в настоящее время нет.
Об истории создания ядерных реакторов
Теория ядерных реакторов является наукой, которая достигла полного расцвета практически мгновенно. Всего четыре года разделяют дату открытия деления ядер урана под действием нейтронов и дату запуска первого реактора. В декабре 1942 года физики Чикагского университета, возглавляемые Э.Ферми, построили первый в мире ядерный реактор мощностью 200 Вт. А в 1943 г. работали уже действительно мощные реакторы в Хэнфорде. Созданию ядерных реакторов предшествовала огромная работа физиков по изучению ядра. В течение десятилетия физики штурмовали атомное ядро без особых надежд, практического применения своих исследований. Эта работа лучшая демонстрация поразительной рентабельности затрат на развитие науки.
История развития теории и техники ядерных реакторов тесно связана с историей создания атомной бомбы. В ядерном реакторе можно получать горючее для этой бомбы. Работы в этой области велись сначала в США в обстановке строжайшей секретности и с максимально возможными темпами. Президент Рузвельт выделял все необходимые средства. Стояла задача сделать атомную бомбу быстрее Германии и спасти мир от фашизма. В 1945 году необходимое количество плутония 239 было получено. Ввиду очень напряженного темпа работ физики определяли критическую массу путем сближения вручную двух кусков Pu239. Это была игра со смертью. В том же темпе вынуждены были работать и советские физики под руководством И.В. Курчатова. В 1949 году была готова первая атомная бомба в СССР. Для сооружения первой установки потребовалось менее 24 часов. Чтобы построить реактор в наше время требуется 24 месяца и годы предварительных разработок. Только в 1955 году были рассекречены основные работы по теории ядерных реакторов. Большой вклад в теорию внесли советские физики под руководством Марчука Г. И., они разработали методику машинного расчёта ядерных реакторов.
Глава 1 Основные понятия теории реакторов
В 1938 году была открыта реакция деления урана с выделением энергии. Но практически применение этой энергии стало возможным лишь путем осуществления цепной ядерной реакции в широких масштабах.
Ядерным реактором называется установка, в которой в большом масштабе осуществляется реакция деления ядер под воздействием нейтронов. В результате этой реакции выделяется энергия.
Теория ядерных реакторов распадается на две части:
1. Теория ядерных процессов, которые происходят в реакторе. Эта теория связана с расчетом сечения ядерных реакций, иначе говоря, с расчетом вероятности взаимодействия нейтронов с ядрами среды реактора. Эта теория широко использует квантовую механику.
2. Теория распространения и размножения нейтронов в среде. Эта теория носит классический характер и может быть изложена без ссылок на существо ядерных реакций.
Необходимо знать только сечения взаимодействия, которые определяются экспериментально и содержатся в справочниках. Движение нейтрона от ядра к ядру можно представить классическим, а что происходит при взаимодействии нейтрона и ядра пока не важно, надо только знать вероятности различных временных реакций нейтрона с ядром и вероятности приобрести после столкновения некоторую скорость V.
Классификация ядерных реакторов
Все существующие ядерные реакторы можно классифицировать по нескольким признакам:
I. По энергии нейтронов, при которой происходит основная часть реакций деления:
1. реакторы на быстрых нейтронах En > 0,1МэВ
2. реакторы на промежуточных нейтронах 1 эВ < En < 0,1 МэВ
3. реакторы на тепловых нейтронах En < 1 эВ
(средняя энергия ядер при комнатной температуре E » 0,025 эВ)
II. По назначению:
1. энергетический реактор – используется на АЭС, АСТ, подлодках, в космосе.
2. реакторы для производства стабильных и радиоактивных изотопов (Pu239, Co60, U233 и др.) - Челябинск,65, Сибирская АЭС.
3. реакторы двухцелевого назначения (комбинированные).
4. исследовательские реакторы – служат источником нейтронов, b- и g-излучений, которые используются в научных целях. Один из таких реакторов есть в Заречном. Одна из разновидностей – импульсные реакторы.
5. Экспериментальные реакторы – для исследования работы ядерных реакторов, строится перед тем, как построить промышленный реактор нового типа, многие из них рассчитаны на нулевую мощность.
III. По ядерному горючему:
1. реакторы на природном уране
2. реакторы на слабо обогащенном уране U235 (1-10)%
3. реакторы на высоко обогащенном уране U235 (>10%)
4. реакторы на Pu239
5. реакторы на U233
IV. По структуре активной зоны:
1. гомогенные реакторы — т.е. все составляющие материалы равномерно размешаны по активной зоне (раствор урановой соли в воде; но более реален реактор в виде расплава некоторых солей урана, теплосъем в этом случае может быть организован пропусканием «душа» из свинца).
2. гетерогенные реакторы – неоднородные, состав активной зоны меняется от точки к точке. Наиболее распространенный тип.
Схема реактора
Рис. 1.4.1. 1- отражатель; 2- горючее; 3- замедлитель.
V. По теплоносителю:
1. реакторы на тяжёлой воде (D2O)
2. реакторы на жидких металлах (Na, K)
3. реакторы на газах (CO2, He)
VI. По отражению:
Отражатель — это оболочка, цель которой — возврат части утекших из активной зоны нейтронов. При этом отражателем, в какой-то степени, является любое вещество за пределами активной зоны. В качестве отражателей используются:
a) для тепловых нейтронов – графит, бериллий, окись бериллия;
b) для реакторов на быстрых нейтронах – сталь, U238.
VII. По замедлителю:
Замедлитель применяется только в тепловых реакторах. Основное назначение – замедлить нейтроны до тепловых энергий, при которых велико сечение захвата нейтронов изотопом U235. В качестве замедлителя служат: H2O, D2O, Be, BeO, графит.
В реакторах на быстрых нейтронах, наоборот, всячески избегают наличия замедлителей. В качестве теплоносителей в быстрых реакторах приходится применять жидкие металлы, которые меньше замедляют нейтроны, чем вода. Весь реактор окружается бетоном.
Глава 2 Ядерные процессы в реакторах
Глава 3 Основные свойства реакции деления
Продукты деления
При делении образуются осколки произвольной массы. Вероятность образования осколка с массовым числом А называется выходом данного изотопа (рис. 3.3.1.). Очевидно, что вероятность выхода изотопов (для U236, например) 236-А и А одинакова.
Вероятность образования осколка с массовым числом А
рис 3.3.1.
Видно, что вероятность симметричного деления мала.
Глава 4 Условия поддержания стационарного течения реакции деления ядер
Глава 5 Возможность расширенного воспроизводства делящихся изотопов
Коэффициент воспроизводства – это отношение количества образующихся делящихся ядер к числу выгоревших делящихся ядер за тот же промежуток времени. Воспроизводство называется расширенным, если коэффициент воспроизводства (КВ) больше 1. Такие реакторы называются размножителями или бридерами.
Оценим возможности осуществления расширенного воспроизводства на тепловых и быстрых реакторах. Для этого рассмотрим судьбу нейтронного поколения.
| Хр |
Пусть один нейтрон поглощается в U235 (а не во всем горючем), тогда на каждый нейтрон рождается h* нейтронов
.
Эти нейтроны могут размножиться на U238. В незатухающей цепной реакции как минимум один нейтрон должен поглощаться в U235. КВ нейтронов может поглотиться в U238, что приводит к образованию ядра Pu239 (при Е < 1,4 МэВ). Остальные нейтроны уходят на утечку и непроизвольное поглощение. Отсюда
,
где ХР – плутониевый коэффициент, т. е. количество ядер Pu239, образовавшихся при выгорании 1 ядра U235; - сумма нейтронов, ушедших на непроизвольное поглощение и на утечку нейтронов из реактора.
Каким же будет плутониевый коэффициент? Требуется все непроизводительные потери понизить до минимума. ХР определяется т. о.
.
Если потери малы, то КВ£h.e - 1. Поэтому для оценки возможности расширенного воспроизводства необходимо оценить величину (h.e - 1).
| hтепл | hбыстр | ηεбыстр | |
| U233 | 2,28 | 2,45 | 3,00 (2,94) |
| Pu239 | 2,09 | 2,7 | 3,24 |
| U235 | 2,07 | 2,3 | 2,76 |
| ε | 1,03 | 1,2 |
В реакторе на тепловых нейтронах e близко к 1 и мало меняется, h.~2.07 и КВ~1.07 (для U235). Если учесть утечки нейтронов, то КВ для U235 нельзя сделать больше 1. Аналогичная картина и для Pu239. Только U233 может обеспечить КВ>1, но этот изотоп в природе не встречается, он получается в реакторах из Th232 в очень малых количествах.
В реакторах на быстрых нейтронах h довольно велики для всех изотопов, а eбыстр.заметно превышает единицу, так как спектр нейтронов жесткий и много нейтронов с E>1.4МэВ.. КВ для Pu239 может стать больше 2. Обычно для быстрых реакторов КВ~1.4¸1.7.
Для полного использования сырьевых изотопов, что необходимо для достаточно долгого использования естественных запасов горючего, требуется КВ>1.
Глава 6 Логарифмический декремент энергии
Удобной величиной является среднее уменьшение натурального логарифма кинетической энергии нейтрона при одном столкновении. Эта величина не зависит от энергий нейтрона. Если усреднить ее по J, то получим универсальную характеристику столкновения нейтрона с ядром данного типа. Такая величина называется средним логарифмическим декрементом энергии при одном столкновении:
Итак
При A>>1, , тогда . Если A=1 (водород), тогда x=1.
Т.к. x не зависит от Е нейтрона, при которой произошло столкновение, то можно сосчитать среднее число столкновений нейтронов при замедлении от одной энергии до другой. В частности, для замедления от энергии рождения до тепловой энергии, число столкновений:
и для А=1 (на ядрах водорода) ξ=1 Þ в воде в среднем для замедления нейтрона требуется 18 столкновений.
Очевидно, для максимального эффекта замедления необходимо x как можно большее (А мало) и большее сечение рассеяния. Вводят величину xSs - замедляющая способность замедлителя.
С другой стороны, замедлитель должен иметь малое сечение поглощения, поэтому вводят - коэффициент замедления (максимален для тяжелой воды, т. е. это – лучший замедлитель).
Потеря энергии пропорциональна энергии нейтрона при столкновении. Отношение энергий до и после столкновений не будет зависеть от энергии, при которой нейтрон сталкивается. Поэтому ввели средний логарифмический декремент энергии x. Этим фактом мы обязаны летаргии.
Глава 7 Летаргия
Летаргией называется энергетический масштаб, обладающий тем свойством, что средние энергетические потери на одно столкновение постоянны. Его введение связано также с независимостью E2/E1 от энергий. Обозначается летаргия:
где E0 – энергия рождения нейтрона (2МэВ), E – текущая энергия.
Средние энергетические потери
,
т.е. среднее изменение летаргии на одно столкновение есть средний логарифмический декремент энергии.
Число столкновений, необходимое для увеличения летаргии на величину DU равно
Рассмотрим зависимость E(U)=E0e-u. При одном столкновений среднее изменение летаргии DU=x.
Зависимость E(U)=E0e-u
Рис.7.1.
Видно, что DE сильно зависит от участка энергий, на котором происходит столкновение, т. е. не является константой.
Глава 8 Энергетический спектр замедляемых нейтронов
Нахождение спектра нейтронов – наша основная задача. Основные предположения:
1) среда бесконечна и однородна; нет зависимости от координат и направления полёта;
2) замедление идет только за счет упругих столкновений;
3) источники нейтронов моноэнергетические с энергией 2МэВ, они равномерно распределены по пространству.
В этих предположениях спектр, который мы найдем, будет близок к спектру в тепловых реакторах.
Глава 9 Диффузия нейтронов
Введение
Мы учли ранее замедление нейтронов в бесконечных средах. Однако и это описание неполно: рождающиеся нейтроны с E=2 МэВ за время замедления смещаются от точки рождения. Именно это смещение приведет к утечке нейтронов в конечных по размерам системах. Задача теории диффузии состоит в описании распределения нейтронов по пространству и нахождении вероятности избежать утечки из реактора. Строго эта задача может быть решена с помощью уравнения Больцмана. Для упрощения задачи освободимся от аргументов E и Ω в функции распределения , т.е. допустим, что все нейтроны обладают одной энергией (рождаются и поглощаются при тепловой энергии, моноэнергетические нейтроны). Для освобождения от
,
будем рассматривать плотность
и поток
В тепловых реакторах находятся в основном тепловые нейтроны, по этому к ним наиболее применима теория диффузии, т. к. тепловые нейтроны не меняют энергию. Диффузию замедляющихся нейтронов приходится рассматривать, разбивая весь энергетический интервал на отдельные части. В каждой такой части считают, что нейтрон является моноэнергетическим и диффузию нейтронов в каждой группе приходится рассматривать как диффузию моноэнергетических нейтронов. Можно взять всего одну группу. Усреднив значения сечений взаимодействия нейтронов с ядрами, можно решать уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов для какой-то средней энергии. Между теорией газов и теорией диффузии нейтронов имеется существенное отличие. Если молекулы газа сталкиваются друг с другом, то нейтроны сталкиваются только с ядрами среды. Плотность нейтронов намного порядков меньше, чем плотность ядер среды. Столкновение нейтрон - нейтрон не влияет на распределение нейтронов по пространству. Нейтроны диффундируют независимо друг от друга. Уравнение Больцмана для нейтронов является линейным и в этом плане решение линейного уравнения намного проще решения нелинейного уравнения для газовых систем. Даже в быстрых реакторах возможно рассмотрение с помощью энергетической группы, для каждой из которых записывают моноэнергетическое уравнение диффузии.
Глава 10 Точечный источник в бесконечной среде
Пусть имеется бесконечная, однородная, изотропная среда, в которой находится точечный изотропный источник. Очевидно, такая задача имеет сферическую симметрию.
Сферическая симметрия
Рис. 10.1.1.
Начало сферической системы координат совместим с точкой, где находится источник. Тогда поток Ф не будет зависеть от углов θ и φ. В связи с этим лапласиан можно записать в следующем виде
.
Уравнение диффузии имеет вид
.
Если рассматривать точки r ≠ 0, то источник можно опустить (S = 0), так как он находится только в точке r = 0. Тогда имеем
,
где характеризует интенсивность спада потока Ф в зависимости от расстояния r. Граничным условие является то, что поток во всех точках должен быть конечным и неотрицательным, кроме точки с источником.
Если рассмотрим сферу с источником в центре, то количество нейтронов, проходящих через эту сферу, будет стремиться к мощности источника при стремлении радиуса сферы к нулю, то есть
.
Решение этого уравнения будем искать в виде
.
Тогда для U получим уравнение
,
решением которого будет следующая запись
.
С учётом этого можно записать решение уравнения для потока Ф от расстояния r
.
Из условия конечности потока Ф при r → ∞ получаем, что постоянная C = 0. Найдем вторую постоянную A.
A=Q/4pD
Итак
здесь Ф(r)-поток для точечного источника.
Зависимость Ф(r) для
Рис. 10.1.2.
Пусть Q=1, среда – Н2О.
χ – характерная величина, на которой поток спадает в е раз (без учёта знаменателя).
Глава 11 Бесконечный плоский источник
Пусть в бесконечной однородной среде помещен бесконечный плоский источник, излучающий равномерно нейтроны, мощностью Q,
.
Поместим начало координат в плоскость источника х=0. Задача имеет плоскую симметрию, и решение зависит от координаты, перпендикулярной источнику (не зависит от y и z).
Плоская симметрия
Рис. 11.1.1.
Уравнение диффузии
,
где
Граничные условия:
1) D³0 Ф<¥
2) Поток всюду конечен, кроме плоскости источника
Из-за однородности среды потоки нейтронов слева направо и справа налево (см. рис. 11.1.1.) компенсируют друг друга, поэтому ГУ 2) сохраняет вид. Тогда решение
.
С=0 из-за условия ограниченности потока.
Из-за ГУ 1) имеет ГУ 2):
Итак ,
где величина играет роль расстояния, на котором поток Ф уменьшается в e раз. Чтобы поток уменьшился плавно необходимо, чтобы D возрастал, а значение Σa уменьшалось.
| Ф(х) |
| х |
Глава 12 односкоростной реактор без отражателя
Рассмотрим вопрос о критической массе горючего. Надо решить уравнение диффузии для размножающей среды конечных размеров. Считаем, что нейтроны в этой среде рождаются, диффундируют и поглощаются при одной и той же энергии. Можно сначала найти распределение нейтронов по энергиям в реакторе бесконечных размеров, усреднить все сечения по найденному спектру нейтронов и далее решать одностороннюю задачу для моноэнергетических нейтронов.
Пусть размножающая среда - плоская бесконечная пластинка, плоскость симметрии которой совпадает с плоскостью x=0.
Плоская размножающая среда
| х |
Рис. 12.1.1.
d - длина экстраполяции, d=0.71ltr.
Необходимо, чтобы был задан состав среды .
Будем искать распределение стационарного потока нейтронов в пластине, т.е. когда в единицу времени рождение = утечка + поглощение.
Если задан состав активной зоны, то для организации стационарного потока необходимо подобрать размер пластины. Будем считать, что размер подобран так, что поток стационарный и найдем его распределение. Стационарное уравнение диффузии:
Источник нейтронов распределен по объему пластины
Sf - число делений в единицу времени;
gSf - число нейтронов, рождающихся в единицу времени в единице объема.
Тогда ,
Обозначим
материальный параметр (характеристика активной зоны).
Здесь K∞=hfer=hf= , т.к. e,r=1 (нейтроны моноэнергетические, и их энергия меньше пороговой).
Итак, имеем решение
Граничные условия:
1)
2) поток Ф симметричен относительно пл. x=0
3) на границе среды с вакуумом Ф(а)=0
Из ГУ 1). и 2). имеем С=0, а из 3). получим
Последнее выражение означает условие периодичности, оно определяет связь материального параметра с геометрическими размерами системы. Возможность стационарного потока или условие критичности реактора определяется этим условием. Оно позволяет при заданном составе активной зоны определять критические размеры реактора
и решать обратную задачу. Из условия следует.
где, - геометрический параметр.
Значит условие критичности
Иначе
это также условие критичности.
Известно, что Кэфф=К∞Р=1. Отсюда можно получить
где Р - вероятность избежать утечки. Вероятность избежать утечки определяется размером среды и квадратом длины диффузии. Почему эти параметры определяющие?
Область В
Рис.12.1.2.
Нейтроны за время жизни смещаются от точки рождения до точки поглощения на расстоянии L. Следовательно, вероятность утечки для нейтронов, рождающихся в области В велика, а в области С она приблизительно равна 0. Очевидно, вероятность утечки определяется отношением размеров областей В и С, т.е. отношением .
Тогда коэффициент размножения в конечной среде
При Кэфф=1 получим условие критичности.
Мы решили задачу для моноэнергетических нейтронов. Однако, после рождения нейтрон замедляется, а его энергия уменьшается. Это можно учесть с помощью теории возраста.
Глава 13 теория возраста
Глава 14 Гомогенный реактор без отражателя на тепловых нейтронах
Рассмотрим распространение нейтронов в пространстве и во времени и учтем влияние источников на работу реактора. Пусть в реакторе имеется внешний источник. Для реакторов на тепловых нейтронах имеют место следующие процессы:
¨ нейтроны поглощаются в U235;
¨ происходят реакции деления и рождаются быстрые нейтроны с Е2 МэВ;
¨ быстрые нейтроны вступают в процесс замедления и при замедлении до пороговой энергии деления в U238 возможно некоторое дополнительное размножение нейтронов;
¨ после замедления до энергии резонансного захвата на U238 нейтроны замедляются практически без поглощения.
¨ Нейтроны, не поглотившиеся в резонансах, замедляются до тепловой энергии и могут снова вызвать деление U235.
В реакторе с внешним источником нейтроны будут распределены стационарно, если только реактор подкритический. Распределение нейтронов будет описываться системой 2-х уравнений уравнением диффузии для тепловых нейтронов и уравнением возраста для замедляющихся нейтронов. Возьмем общую постановку задачи. Пусть поток нейтронов может зависеть от времени (стационарная и нестационарная задачи).
где p - вероятность избежать резонансного захвата; Т- тепловой возраст.
Второе уравнение стационарное, а первое – может быть нестационарным, тогда решение будет очень сложным. (нанесколько порядков) для тепловых нейтронов. Можно считать, что замедление нейтронов происходит мгновенно, тогда зависимость q(t) будет обусловлена только тепловыми нейтронами. Второе уравнение описывает распределение нейтронов по пространству от точки рождения в зависимости от замедления. Необходимо дать граничные условия для системы и уравнения связи между плотностью замедления и потоком тепловых нейтронов. Плотность через нулевой возраст тесно связана с потоком тепловых нейтронов, и он, для простоты будем считать, даст нейтрон с энергией 2МэВ. Энергия нейтронов деления и нейтронов источника одинакова. Чтобы найти число нейтронов деления, нужно проследить за процессами поглощения и деления. Произведение fηε – количество нейтронов, рождающихся на одно поглощение нейтронов в среде.
Добавим условие:
где первое слагаемое в правой части определяет число быстрых нейтронов, рождающихся в единицу времени в единице объема, а второе - внешние источники. Но , значит, нейтроны поглощаются в U235;
Граничные условия:
1) Ф и q ограничены и неотрицательны в области определения;
2) Ф и q обращаются в 0 на экстраполированной границе, т.е. на расстоянии d=0,71trот физической границы. Здесь ttrявляется функцией энергии, поэтому положение экстраполированной границы не определено. Мы будем этим пренебрегать.
Итак, будем решать систему. Рассмотрим сначала уравнение возраста (его частное решение). Будем искать решение в виде:
q(r,, t)=R(r)()T(t)
тогда
т.к. слева - функция только от r, справа только от . В – действительное число.
R+В2R=0 - волновое уравнение
отсюда
Для решения волнового уравнения рассмотрим реактор в виде плоской бесконечной пластины.
Плоская бесконечная пластина
Рис.14.1.
- волновое уравнение.
Нетривиальное решение волнового уравнения существует лишь при определенных Вn:
X(x)=AncosВnx
На границе имеем или , где n=1,3,5...
Значение параметра В, при которых существует нетривиальное решение, называются собственными значениями, а соответствующие им решения - собственными функциями. Частное решение уравнения возраста, следовательно, имеет вид:
qn=An cosВnxTn(t)
Общее же решение:
q= cosВnxTn(t)
Т.о. решение q представлено в виде ряда Фурье по cos. Аналогично представим и другие величины в уравнении диффузии через ряды Фурье:
S(r)=S(x)=S(x)= cosВnx, где
Рассмотрим связь между потоком нейтронов и q(r,0,t), тогда
Ф(x, t)=(q(x,0, t) - S(x))=
Здесь неизвестна функция Tn(t). Найдем ее из уравнения диффузии, подставив в последнее эти выражения:
или
Каждое слагаемое этой суммы независимо, т.к. функции независимы, поэтому каждый коэффициент этого ряда должен быть равен 0, т.е.
Или иначе
где - среднее время жизни тепловых нейтронов, - квадрат длины диффузии.
Введем
Тогда уравнение для Tn(t) примет вид:
Решение этого уравнения:
Подставим Tn(t) в выражение для потока, получим:
В отсутствие внешнего источника Sn=0, тогда:
а – толщина пластины.
Для выяснения поведения этого решения рассмотрим величины Kn
при n, Вn, а Kn (n-целое нечетное), т.е. K1>K3>K5
Очевидно, Knзависит от геометрических размеров: при достаточно малых размерах Knмало и наоборот. Если все Kn<1, то все члены суммы Ф будут убывать с течением времени, и Ф0. Увеличивая размеры реактора можно добиться Kn1. В этом случае первый член ряда Ф не будет зависеть от t, а остальные члены с течением времени будут затухать, т.к. для них Kn<1. Т.о. через определенное время будем иметь стационарный поток в реакторе без внешнего источника
Условие стационарности, т.е. и условие критичности реактора, когда K1=1, имеет вид
Поток распределения по cos
| Ф(х) |
| а |
Рис. 14.2.
Важно учесть внешний источник, т.е. Sn0. Пусть все Kn<1, тогда первый и последующие члены суммы угасают во времени, и
Если K11, то первый член при этом будет неограниченно расти, т. е. становится определяющим и остальными членами можно пренебречь. Первый член будет равен
Характерное поведение потока Ф(x) используется при запуске ядерного реактора.
Для определения критической загрузки реактора нужно определить плотность замедления как функцию времени и координат. Связь между плотностью замедления и потоком:
Для критического реактора T1=1, Tn0 , тогда
Т.е. q Ф(x) в стационарном случае.
Ранее имели уравнение диффузии в виде:
Подставим в это уравнение q Ф, получим:
Ф+В2Ф=0
Т.о. для реактора в виде пластины (и для реактора любой формы) в стационарном случае с учетом замедления уравнение диффузии сводится к волновому уравнению.
Глава 15 Большие реакторы
Для большого реактора
В этой формуле пренебрегаем квадратом малого члена:
Эта величина называется площадью миграции.
Для воды возраст 25 см. Реальные реакторы имеют активные зоны порядка нескольких метров, это тепловые реакторы.
Материальный параметр определяется как корень из условия критичности.
Глава 16 Гомогенный реактор с отражателем
Временной режим работы реактора без отражателя на тепловых нейтронах
Вес
Пусть имеем реактор из 400 стержней Æ1см. и длиной 1м., помещенных в бак с водой на расстоянии 2-3см. друг от друга. Если изъять один стержень из середины зоны в точно критическом реакторе, то реактор станет подкритическим, если поместить один лишний стержень, то реактор станет надкритичным с определенным установившимся периодом, который можно измерить.
Реактивность, появившаяся при внесении уранового стержня в точно критический реактор, называется весом стержня в данном реакторе. Т.е. вес-это вклад одного стержня в коэффициент размножения.
Если из данного реактора извлечь один стержень из центра активной зоны, то для того, чтобы реактор снова стал критическим, нужно поставить 4-5 стержней на периферии активной зоны. Значит, вес стержня зависит от его места в реакторе.
Весом обладают не только урановые, но и поглощающие, и регулирующие стержни - вообще любая часть реактора и каждый прибор, вносимый в реактор, т.к. при этом изменяются ядерные характеристики в данном месте, и изменяется соотношение между поглощением, утечкой и генерацией нейтронов. Таким образом, любое действие в реакторе или вблизи него может привести к появлению реактивности. Может оказаться, что приближение человека к реактору может привести к изменению реактивности реактора, особенно когда реактор имеет недостаточно хороший отражатель. Вода, входящая в состав человеческого организма, является хорошим отражателем. Это может осуществляться на критических сборках. Особенно строго нужно следить за коэффициентом размножения, за реактивностью в энергетических реакторах. Работа идёт в напряжённом режиме. Температура близка к температуре плавления. Может быть скачок температуры, что повлечёт за собой расплав ТВЭЛа. Любое действие оператора на реакторе может привести к изменению реактивности (изменение температуры, расхода теплоносителя, особенно чувствительна реактивность к плотности теплоносителя). Нужно учитывать возможные случаи распределения нейтронов, чтобы не расплавить активную зону. Почему увеличение периода чувствительности является неприятным фактом? Казалось бы, изменение чувствительности может повлечь достаточно малое изменение реактивности. Имеем
Поток, как функция времени
Кизб можно сделать таким, чтобы период Т был достаточно большим
DКизб~10-4 и если l будет достаточно мало, то следить за потоком в реакторе очень сложно. Запаздывающие нейтроны обезопасили управление ядерным реактором.
Глава 17 УПРАВЛЕНИЕ РЕАКТОРОМ
Изменение изотопического состава ядерного горючего
Причины изменения состава горючего:
1) выгорание топлива из-за деления и радиоактивного захвата;
2) возникновение осколков деления. При этом особенно важны ядра-осколки, имеющие большое сечение захвата (коротко- и долгоживущие, стабильные изотопы).
Поглощение нейтронов короткоживущими изотопами называется отравлением, а долгоживущими - шлакованием.
Глава 18 Температурный коэффициент реактивности
Изменение температуры приводит к изменению коэффициента реактивности по двум главным причинам:
Изменение температуры приводит к изменению нейтронного газа, а значит, к изменению средней энергии нейтронов. Сечение взаимодействия зависит от энергии нейтронов, а поэтому от температуры среды.
Изменение температуры приводит к изменению плотности ядер среды. Все характеристики ядерного горючего выражаются через Σ=Nσ.
Вводят температурный коэффициент реактивности. Это относительное изменение коэффициента размножения при изменении температуры на 1 градус.
В зависимости от компоновки и состава активной зоны α может быть положительным и отрицательным. При положительных α увеличение температуры будет приводить к увеличению радиоактивности, что вызовет увеличение потока нейтронов, возрастет мощность, повысится температура. Работа реактора при положительном коэффициенте реактивности получится неустойчивой. Колебания температуры приводят к увеличению мощности. Реактор может пойти в разгон. Если α отрицательно, то повышение температуры приведет к уменьшению радиоактивности, к понижению мощности, к понижению температуры, т. е. при отрицательных α реактор становится саморегулирующимся. Температура должна понижаться до уровня соответствующего критическому состоянию. При проектировании стремятся к тому, чтобы α было отрицательным. Необходимо пользоваться условием критичности и смотреть, отчего будет зависеть производная.
В любой из компонентов определяющих коэффициент размножения входит N. Плотность войдет в числитель и в делитель. В тепловой области энергий.
Зависимость К∞ от температуры будет слабая, можно сказать, что К∞ от температуры не зависит. Площадь миграции в основном определяется процессом замедления. Процесс замедления не зависит от температуры среды. Площадь миграции
Изменениями L2 от температуры мы можем пренебречь. Площадь миграции будет зависеть от температуры только через зависимости N от температуры.
NV – остается постоянной.
b - коэффициент теплового расширения среды из которой состоит АЗ.
Для вычисления производной от геометрического параметра возьмем простейший случай реактор в виде сферы.
Член, связанный с площадью миграции, а другой член положительный вклад, поэтому α отрицательно.
Какой вклад дает температура при выходе реактора на мощность?
Для уран-водных реакторов нужно иметь такой запас реактивности, чтобы выйти на заданную мощность. Особенно большим α является для водно-водяных кипящих реакторов. Отсюда вытекают трудности, нужен большой запас реактивности реактора. Следить за таким реактором сложно.
Глава 19 Теория возмущений
Возмущениями будем называть малое изменение свойств реактора. Основная задача определить общее изменение реактивности, возникающее в результате изменения рассеивающих, поглощающих, или размножающихся свойств в каком либо малом объеме. Примером может служить внесение в объем V1 некоторого поглощающего вещества. Прямой расчет коэффициента размножения очень сложен и более удобным будет метод, который основан на расчете невозмущенного реактора.
Эффективность регулятора в зависимости от глубины погружения для цилиндрического реактора
Рис. 20.2.1.
r1 - реактивность стержня, погруженного на всю длину.
;
При
Рис. 20.2.2.
Опускание стержня в начале не приводит к изменению реактивности, но уже в середине стержень опасно перемещать.
Глава 20 Гетерогенные реакторы Введение
Введение
Большинство работающих реакторов - гетерогенные, т.е. когда горючее и замедлитель являются пространственно разделёнными.
Схема распределения горючего и замедлителя
| горючее |
| замедлитель |
Рис. 21.1.
Существуют 2 причины применения гетерогенных реакторов:
1) При одной и той же концентрации горючего a коэффициент размножения К∞ в гетерогенном реакторе больше, чем в гомогенном.
2) Задача организации теплообмена требует гетерогенного строения.
Теплоноситель омывает активную зону либо изнутри, либо снаружи. На естественных материалах невозможно построить ядерный реактор с коэффициентом размножения > 1. (Например, на природном уране и на природном графите). Нужно брать либо D2О в качестве замедлителя, либо обогащать . Так или иначе, требуется разделять изотопы. Постановка задачи о гетерогенном реакторе оказалась удачной, т. к. . Это и есть преимущество гетерогенного реактора.
Пример: для уран-графитового реактора на природном сырье =0,85 для гомогенного и =1,08 для гетерогенного реактора.
Вероятность избежать резонансного захвата
Она особенно велика для гетерогенного реактора. При значении ε мы считаем, что все нейтроны быстрые. Для расчета f принимаем тепловую область. Вероятность P определяется в существенной степени от энергии нейтронов в промежуточной области.
Задача для одного блока ¥ размеров.
,
где V - объём горячего, V1 – объём ячейки, xSS - замедляющая способность замедлителя.