Упругое рассеяние-главный процесс в тепловых реакторах. Его рассмотрение позволяет найти энергетический спектр замедляющихся нейтронов. Пусть нейтроны рассеиваются на неподвижных свободных ядрах (реально ядра связаны и подвижны, однако, энергия рождающихся нейтронов 2 Мэв много больше энергии колеблющихся ядер 0.025 эв и энергии связи ядра, которая меньше 1 эв). При замедлении нейтроны должны достичь энергий Е<1эв, когда уже нельзя пренебрегать связанностью и подвижностью ядер, но этот учет очень сложен и не очень нужен, так как влияние его невелико.
Обычно считают, что процесс замедлится учет на свободных не подвижных ядрах до некоторой граничной энергии, которая больше энергии связи. При энергии нейтронов меньше этой граничной энергии считают, что нейтроны достигли теплового равновесия со средой.
Итак, пусть на неподвижное свободное ядро массы А налетает нейтрон массы 1 со скоростью .
| mн=1 |
| mя=А |
Рис.5.5.1.
После столкновения нейтрон рассеивается под углом со скоростью . Для решения задачи перейдем в систему центра инерции, то есть начало координат совпадает с центром инерции сталкивающихся частиц. Радиус вектор центра инерции
где , .
Тогда скорость системы центра инерции
Отсюда скорость нейтрона в системе центра инерции до столкновения
аналогично для ядра
Из этих выражений видно, что в системе центра инерции сумма импульсов равна 0. Действительно
.
По закону сохранения импульса, сумма импульсов после столкновения в системе центра инерции также равна 0. Это означает, что в этой системе скорости нейтрона и ядра после столкновения лежат на одной прямой, не равны по модулю и направлены в разные стороны.
Рис.5.5.2.
Согласно законам сохранения импульса и энергии, имеем
Подставим в эту систему выражение штрихованных скоростей через не штрихованные скорости до столкновения и найдем скорости после столкновения
Видно, что скорости ядра и нейтрона после столкновения равны по модулю их скоростям до столкновения.
Найдем теперь угол рассеяния q в системе центра инерции. Для нахождения вероятности рассеяния под определенным углом нужно решать квантово-механическую задачу. Однако, для ЕН<2Мэв рассеяние на ядрах сферически симметрично в системе центра инерции для ядер любой массы. Это опытный факт. Вернемся в лабораторную систему координат.
Рис.5.5.3
По правилу косинусов, имеем
Значит
Введем , тогда имеем
Рассмотрим характерные случаи
1. J=0, скользящее соударение Þ , то есть E2=E1 – энергия нейтрона не изменяется.
2. J=p, лобовое соударение Þ , то есть
aE1=E2min
Здесь E2min – минимально возможная энергия нейтрона после столкновения (a определяется массой ядра).
Если mя=1 (ядро водорода), то a=0 Þ E2=0.
,
Для больших А величину a можно разложить в ряд
Тогда
Воспользуемся сферической симметричностью рассеяния в системе центра инерции.
.
Из этого выражения следует, что угол J определяет вероятность приобретения энергии E2после столкновения. Вероятность рассеяния не зависит от азимутального угла. Введем p(J)dJ -вероятность рассеяния вблизи угла J. Из-за сферической симметрии рассеяния
Сферическая симметрия рассеяния
Рис.5.5.4.
Телесный угол изменяется в зависимости от угла dJ, поэтому можно записать:
;
Вероятность приобретения энергии вблизи E2
,
,
но ,
тогда
Это означает, что распределение по энергиям после столкновения p(E2) не зависит от E2.
Минимальная энергия после столкновения равна aЕ1.
Значит
Вероятность приобретения энергии вблизи E2
Рис.5.5.5.
Вероятность попасть в интервал Е1¸aЕ1 есть величина постоянная. Ниже уровня aЕ1 нейтрон попасть не может.
Найдем угол рассеяния нейтронов в лабораторной системе координат.
| Θ |
| ψ |
Угол рассеяния нейтронов в лабораторной системе координат:
Выражая V2Н через V1Н, получим
Для больших А, когда А>>1, cosy≈cosq, то есть в этом случае распределение по q сферически симметричное.
Для тяжелых ядер (при больших массовых числах) сферическая симметрия рассеяния в системе центра инерции приводит к сферически симметричному рассеянию в лабораторной системе координат. Для легких ядер распределение в ЛСО несферическое, и наблюдается преимущественное рассеяние вперед. Отклонение от сферической симметрии характеризуется средним косинусом угла рассеяния. Найдем этот угол в системе центра инерции.
,
т.е. при сферической симметрии .
В лабораторной системе
,
где - характеризует несферичность рассеяния в лабораторной системе координат. Эта неоднородность достигает максимума на ядрах водорода. Для тяжёлых ядер, как было уже сказано выше, рассеяние почти сферически симметрично (при А>>1 - сферическая симметрия, ).
Распределение нейтронов по направлению после столкновения можно изобразить в виде поверхности, расстояние до каждой точки которой от начала координат пропорционально вероятности рассеяния нейтрона в данном направлении.
| dΩ |
| dΩ |
| P(Ω) |
Рис.5.5.7.