Пусть есть среда с заданным распределением нейтронов по пространству (задан F(r)) и сечением рассеяния Ss (при этом Sa=0). Найдем плотность тока через единичную площадку dS, лежащую в плоскости z=0.
Плотность тока через единичную площадку .
Рис. 9.2.1.
Рассмотрим плотность тока сверху вниз:
- число нейтронов, пересекающих в единицу времени единичную площадку перпендикулярную Z (плотность тока нейтронов) в направлении, обратном направлению Z.
Рассчитаем число нейтронов, пересекающих dS после рассеяния в dV. В элементе dV происходит столкновение нейтронов с ядрами. Нейтроны могут двигаться в направлении площадки dS. Надо найти число столкновений, происходящих в элементе dV и ввести предположение о сферической симметрии распределения в лабораторной системе координат.
dΩ – это телесный угол, который опирается на площадку dS;
r – расстояние от элемента объёма до площадки dS.
Вероятность избежать рассеяния на пути r определяется
Число рассеяний за единицу в dV
F(r)SS dV.
В предположении сферической симметрии рассеяния в ЛСО вероятность для нейтрона полететь в направлении площадки
,
где d - телесный угол с вершиной на dV, опирающийся на dS.
На самом деле сферическая симметричность справедлива в системе центра инерции. В ЛСО она близка к распределению для тяжелых ядер, т.е.
Итак, после рассеяния в пространстве через dS пройдет поток нейтронов
,
т.к. . Интегрируем по всему верхнему полупространству.
Разложим Ф(r) в ряд Тейлора и ограничимся линейными членами
Это разложение справедливо, когда Ф слабо зависит от r.
Подставим это разложение в выражение для Jz.
Итак,
Интегрирование по углам даёт нулевой вклад. Очевидно, что можно рассматривать поток нейронов и в положительном направлении оси z, интегрируя по нижнему полупространству
Тогда результирующий поток
Последняя формула отражает тот факт, что неравномерность распределения нейтронов по пространству приводит к различию в числе столкновений их с ядрами по разным сторонам dS, что и приводит к диффузии.
Замечания:
1) При выведении выражения для Jz мы пользовались стационарностью потока. Если учесть нестационарность, то необходимо учесть запаздывание нейтрона на время прохождения пути r со скоростью v
Тогда
2) Разложение Ф(r) в ряд справедливо, если неоднородность Ф(r) мала по сравнению со средней длиной свободного пробега нейтрона, т.е. Ф(r) должен быть представим в виде линейной функции координат.
Если расположить dS в других плоскостях, то сложно найти
Тогда в общем виде закон Фика:
где - коэффициент диффузии, [D] = см.
Коэффициент D в нейтронной физике отличается от коэффициента диффузии, принятого в молекулярной физике по размерности:
в мол. физике J=-DÑn, D=1/3lv, n – плотность;
в нейтр. физике J=-DÑФ=-DvÑn, D=1/3lS.
Замечания: закон Фика выведен в предположениях:
¨ нейтроны моноэнергетичны,
¨ рассеяние нейтронов сферически симметрично в ЛСО,
¨ поток Ф(r) можно аппроксимировать линейной зависимостью в области размерами в несколько длин свободного пробега нейтронов.
Наиболее жесткими являются предположения о сферической симметрии рассеяния. В действительности рассеяния в ЛСО несимметрично и характеризуются средним косинусом рассеяния m=0¸2/3А.С учетом m коэффициент D может сильно измениться
,
где - полное сечение взаимодействия,
-транспортное сечение рассеяния. Т. о., при выведении закона Фика мы считали m=0, .