Обозначим
Ф(r, u) - сумма путей, проходимых нейтронами с летаргией в единичном интервале вблизи летаргии u и в единице объема вблизи r за единицу времени;
q(r,u) - плотность замедления, т.e. число нейтронов, пересекающих значение летаргии u в единицу времени единице объема вблизи r ;
Из всех нейтронов в dV выбираем только те нейтроны, которые имеют летаргию в интервале от u до u+du. Считаем, что Sа и источники нейтронов в интервале du отсутствуют.
Элемент объема
Рис.13.2.1.
Рассмотрим q(r, u) в dV. В общем случае (в случае утечки)
Изменение числа нейтронов в единице объема при замедлении от u до u+du равно числу утекших нейтронов:
Разделив это уравнение на du, получим
Рис.13.2.2.
При непрерывном замещении за время dt значение летаргии u пересекут qdt нейтронов. Все они окажутся в интервале от u до du. Тогда имеем
С другой стороны, нейтроны должны оказаться в интервале летаргии du, таком что du соответствует dt.
Отсюда
это давление для замедляющих нейтронов, т.е. уравнение диффузии или теплопроводности. Э. Ферми считал, что это уравнение должно полностью совпадать с уравнением теплопроводности, где коэффициент перед не зависит от u.
Вводят возраст dt, причем
тогда в новых переменных
Последнее уравнение представляет собой уравнение теплопроводности в чистом виде и называется уравнением возраста (τ - возраст).
Из определения dt имеем
Если перейти от переменной u к переменной времени, тогда
где t - время, отсчитываемое с момента рождения нейтрона.