Знание этого раздела необходимо для практической работы на реакторе в качестве оператора, т.к. нужно уметь предсказывать поведение нейтронного потока и тепловыделения во времени и в любой точке реактора. Дело в том, что реактор обычно работает на предельных параметрах (температура, распад
и т.п.), и даже небольшие отклонения параметров от номинальных могут привести к серьёзным последствиям. Поэтому необходимо уметь вмешиваться в процессы, происходящие в реакторе.
Мы будем считать, что реактор - единое целое, обладающее коэффициентом размножения. И будем искать зависимость потока во времени, когда Kэфф мало отличается от 1.
Ранее было получено
где
- среднее время жизни нейтрона в конечной среде,
- среднее время жизни нейтронного поколения,
- вероятность избежать утечки.
Время замедления значительно меньше времени диффузии, т. е. экспоненциальный рост нейтронного потока мы получаем и более грубыми методами. Но сейчас мы остановимся на более точном подходе. Это связано с очень важными практическими выводами. Было бы удобно, если бы человек мог реагировать на изменение хода цепной реакции. Введём новую величину: период реактора T - время, в течение которого поток в реакторе изменяется в e раз:
Для мгновенных нейтронов l ~ 10-3c, а с учетом запаздывания это время может увеличиться на 2 порядка. Из-за сильного влияния exp на поток Ф необходимо учитывать запаздывание нейтронов.
Уравнение диффузии с учётом запаздывающих нейтронов
Возвратимся к «голому» реактору на тепловых нейтронах и рассмотрим нестационарную задачу. Найдём распределение нейтронного потока с учётом запаздывающих нейтронов. Рассмотрим процесс запаздывания. Существует 6 групп запаздывающих нейтронов, и каждой группе соответствуют ядра-предшественники – это осколки, которые после b-распада могут испустить нейтрон. Каждое из ядер-предшественников имеет некоторое время жизни по отношению к распаду ti. А т.к. дочернее ядро испускает нейтрон почти мгновенно, то время запаздывания примерно равно времени b-распада
ti= ti
Если доля запаздывающих нейтронов i-той группы среди всех запаздывающих нейтронов равна bi, то
Чтобы знать скорость рождения запаздывающих нейтронов, надо следить за плотностью ядер - предшественников. Пусть - число ядер-предшественников i-той группы в единице объёме вблизи точки с координатой в момент времени t. Запишем уравнение баланса для Сi
где li= 1/τi- постоянная b-распада, т.е. доля ядер, распадающихся в единицу времени;
liCi- скорость b-распада;
- общее число быстрых нейтронов ,
- число ядер-предшественников, рождающихся в ед. времени.
Уравнение диффузии тепловых нейтронов
Если учесть запаздывающие нейтроны, то изменится S:
- общее число поглощений в реакторе;
- общее число нейтронов, рождающихся в реакторе;
- число быстрых нейтронов, рождающихся в реакторе;
- число нейтронов, рождающихся в тепловой группе.
Итак, если прибавить источники нейтронов, обусловленные b-распадом
(запаздывающие нейтроны), то получим
.
Тогда система уравнений диффузии и баланса
ГУ: 0 < F < ¥ в области определения,
F = 0 на экстраполированной границе.
НУ: при t=0 произошел скачок реактивности, т.е. К = 1+DК. Нас интересует реакция системы на такое изменение К.
экстраполированная граница
| ΔК |
| Кэфф |
Рис. 14.2.1.
Будем искать решение в виде
Из уравнения баланса
Þ
Подставим отсюда F(r) в уравнение диффузии:
Здесь от r зависит только первое слагаемое, значит
а это волновое уравнение, и мы знаем его решение. Из этого уравнения можно найти минимальное собственное значение Вr2 . Тогда можно записать
Подставим это в уравнение диффузии
Кроме того получим
Эти уравнения образуют систему. Будем искать решение в виде
F(r,t)=F0(r)ewt
где F0(r) - поток в стационарном реакторе до скачка реактивности
Сi(r,t)=C0i(r)ewt ,
т.е Hi=T(t)=ewt
w - пока ещё не определена. Подстановка такого вида искомых функций действительно покажет, что такой вид удовлетворяет уравнениям и даёт возможность найти w.
Второе уравнение получили из уравнения для ядер-предшественников. Подставим в уравнение диффузии.
разделим это уравнение на 1+L2Br2, получим
Получили алгебраическое уравнение для определения w. Корни этого уравнения для w и будут теми значениями, которые будут фигурировать в выражении для распределения нейтронного потока во времени. Перепишем в более удобном виде.
Последние выражение накладывает определенные ограничения на w. Введем реактивность r, характеризующую отклонение реактора от критического состояния
Подставим это в последнее уравнение
(*)
r - скачок К∞, который происходит в начальный момент времени, w - будет определяться скачком Кэфф. Последнее уравнение 6-ой степени относительно w имеет 6 корней. Один корень положительный, остальные 5 – отрицательные. Характер решения легче всего определить из графика зависимости r(w).
График зависимости r(w).
| -λ1 |
| w0 |
| w1 |
| w2 |
| w3 |
| w4 |
| -λ4 |
| -λ3 |
| -λ2 |
| r |
| r(w) |
| w |
Рис. 14.2.2.
По уравнению (*) можно будет определить Кэфф по известному периоду реактора. Именно этим выражением и воспользуемся. Замерить значение Кэфф очень трудно. Определить период реактора не является сложным, отсюда находят Кэфф. При положительном значении r один из корней будет положительным, остальные 5 – отрицательных. Значения w имеют порядок постоянной распада λ. Отсюда можно записать общее решение системы уравнений в виде суммы 6-ти экспонент:
Если p > 0 имеем один положительный и пять отрицательных корней; при p < 0 все корни отрицательны.
Итак, общее решение
При p > 0 по истечении некоторого времени t в решении остается только одно слагаемое с w > 0
,
т.е. F число экспоненциально зависит от t. В этом случае установившийся период (т. к. он устанавливается по истечении определённого промежутка времени)
.
Время вывода реактора на установившийся режим определяется временем затухания экспонент с w > 0
,
где сек - время запаздывания.
Если подставить w0в выражение для r, то получим
Последнее равенство позволяет судить о коэффициенте размножения в ядерном реакторе, т.к. он связан с потоком F(t), а из этого равенства можно найти T. Если известен T из эксперимента, то можно найти r и, значит, коэффициент размножения. Видно, что влияние l на r при малых значениях r мало и увеличивается с ростом величины . bi и λi – характеристики данного горючего; в последнем равенстве λ слабо влияет на r.
Характеристика r(w0) для U235
| l=10-5сек |
| l=10-3сек |
| l=10-4сек |
| w0=1/Т |
| r |
| 0,004 |
| 0,002 |
Рис. 14.2.3.
Из графика видно, что при малых реактивностях изменение l на 2 порядка совершенно не сказываются на r. При r>b эта зависимость более или менее проявляется.
Малые реактивности
Пусть r мало, т.е. T таково, что
, т.е. (τi max = 80сек)
или T больше любого из времени жизни запаздывающих нейтронов. Если это так, то, пренебрегая единицей в знаменателе выражения для r, получим
где - среднее время жизни нейтронов с учетом запаздывания.
Это означает, что прямая характеризуется наклоном , зависящим от запаздывания нейтронов. В этом выражении влияние первого члена мало, т.к.
, а
Значит, большие изменения r приводят к малым изменениям в периоде T (слабая чувствительность T к Dr при малых r), а чувствительность определяется временем . Период реактора примерно на 2 порядка больше, чем в случае, если бы запаздывающих нейтронов не было.