Дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости

Рассмотрим произвольную точку А в потоке жидкости. Давление в этой точке обозначим буквой P. Выделим вблизи неё прямоугольный объём жидкости размерами dx, dy, dz.

Так же как и в случае вывода дифференциальных уравнений дляпокоящейся жидкости, систему уравнений, выражающую силы, действующие на выделенный объём, получим в проекциях на оси координат. Определим разность давлений, действующих на противолежащие грани:

,

,

.

Эти уравнения получены с учётом предположения, что давление, как и в статике, действует по нормали внутрь рассматриваемого объёма, а изменение давления по каждой координате равно частному дифференциалу по
соответствующей координате . Тогда разности этих сил в проекциях на оси координат будут:

,

,

.

Кроме сил давления, на выделенный объём будут действовать инерционные силы в общем случае определяемые ускорениями a_x, a_y, a_z

,

,

.

Под действием этих сил рассматриваемый объём жидкости движется с ускорением , или в проекциях на оси координат. Тогда получим следующую систему уравнений

,

которая носит название дифференциальные уравнения Эйлера для движения идеальной жидкости. Эти уравнения справедливы для идеальной жидкости, т.е. для движения без внутреннего сопротивления, и они описывают связь между силами в жидкости и законами её движения.