Идентификация (определение) закона распределения результатов измерений

В нашем случае, термин идентификация подразумевает процедуру проверки гипотезы о соответствии (согласованности) предполагаемого закона распределения полученному ряду равнозначных измерений.

При достаточном количестве измерений (n>30) эту согласованность количественно оценивают путем сравнения гистограммы плотности распределения, полученной из экспериментальных данных, с аналогичной теоретической зависимостью предполагаемого закона, числовые параметры которого находят из тех же данных.

Для построения гистограммы:

1) Результаты измерений Х_1, Х₂, … , Х_n располагают в порядке возрастания - в вариационный ряд Х_min, … , Х_max.

2) Диапазон результатов от Х_min до Х_max разбивается на определенное число интервалов m<<n с шириной каждого ј-го интервала d_ј=X_ј-X_ј-1 (Обычно интервалы выбирают одинаковой ширины d, за исключением случаев, когда результаты X_i располагаются в диапазоне Х_min … Х_max крайне неравномерно. В этом случае в области их наиболее плотного скопления приходится сужать интервал d_ј и наоборот.

3) Вычисляются количество n_ј и вероятность P_j попаданий X_i в каждый ј-й интервал:

(1)

4) Оценивается плотность распределения в каждом интервале

(2)

5) Строится соответствующая ступенчатая гистограмма (рис.1).

и σ' .

Теперь следует проверить правильность сделанного предположения – проверить гипотезу о законе распределения. Для этого разработаны специальные статистические критерии согласия экспериментальных данных с гипотетической теоретической зависимостью. Наиболее широко используется критерий χ² Пирсона, при котором рекомендуется иметь n≥50. Критерий основан на вычислении количественного показателя Z, характеризующего степень расхождения вероятностей, полученных из экспериментальных данных и теоретической гипотетической зависимости:

(3)

где (4)

На практике, чтобы при расчете критерия (3) не иметь дело с дробными значениями P_j и , удобнее использовать количество попаданий n_j и n'_j:

; где (5)

(10)

Но для упрощения процедуры исключения стандарт рекомендует использовать операции суммирования или умножения, используя, соответственно, поправку, равную (-Θ), или поправочный множитель α_Θ:

(11)

где . Поправка или поправочный коэффициент могут быть представлены в виде графика (рис.3), таблицы или формулы.

Очевидно, что измеренное значение будет отличаться от измеряемого U. При этом

(12)

С учетом R_v>>R_i (если это условие не соблюдается, погрешность будет слишком большой и измерение вообще недостоверно):

Соответственно, поправочный коэффициент

Очевидно, что при погрешность Θ=0, а . Если же, например, =50, то относительная погрешность составит 2 %.

Отметим, что в приведенном примере для исключения погрешностей необходимо пользоваться поправочным множителем, а не поправкой (-Θ), в которую входит неизвестное (истинное) значение U.

 

 

Экспериментальное выявление систематической погрешностиможет

выполняться несколькими способами.

1. Использование образцовых средств измерения, систематическая погрешность которых заведомо значительно меньше определяемой систематической погрешности . Тогда, считая, что можно оценить .

2. Рандомизация систематической погрешности — перевод систематических погрешностей в разряд случайных. Например, проводить измерение измеряемой величины несколькими приборами, у которых будут различаться случайным образом. Тогда можно найти среднее значение измеряемой величины

(13)

и тем самым снизить систематическую погрешность .(n – число приборов)