Приборостроения и информатики
Министерство образования РФ
Московская государственная академия
Приборостроения и информатики
Беланов А. С.
Физика
Часть I
«Физические основы механики»
«Колебания»
Конспект лекций
Москва, 2002
УДК 53
Утверждено Ученым советом МГАПИ
28.10.2002г., протокол №10 в качестве учебного пособия
Рецензент – доцент, к.ф.-м.н. Попова Т. В.
Учебное пособие предназначено для студентов МГАПИ,
изучающих физику в течении 4-х семестров
Издательство МГАПИ
ВВЕДЕНИЕ
ФИЗИКА – по-гречески – ПРИРОДА, это наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности явлений природы, свойства и строение материи и законы ее движения.
Изучение физики имеет большое значение в формировании научного мировоззрения специалиста. Физика наряду с математикой, теоретической механикой является базовой дисциплиной для всех общеинженерных и специальных дисциплин. Поскольку основные физические закономерности и понятия используются практически во всех спецкурсах, читаемых студентам, то роль курса физики в фундаментальной подготовке студента исключительно велика.
Физика будет изучаться в течение 4-х семестров: в первом: – физические основы классической и релятивистской механики, во втором: – электричество и магнетизм, в третьем: – физика колебаний и волн, атомов и молекул, в четвертом: – квантовая и статистическая физика, термодинамика, физика твердого тела и ядерная физика.
При изучении любого физического явления в равной мере необходимы и эксперимент, и теория.
При экспериментальном исследовании физических явлений проводят измерения. Измерить какую-либо величину означает найти ее отношение к величине такого вида, принятой за единицу.
Мы будем пользоваться системой интернациональной (МЕЖДУНАРОДНОЙ) единиц измерения, сокращенно обозначаемой СИ (SI). В СИ приняты семь основных и две дополни тельные единицы измерения.
ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
1. ДЛИНА – метр..(м),
2. МАССА – килограмм.. (кг),
3. ВРЕМЯ – секунда.. (с),
4. СИЛА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА - ампер.. (А),
5. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕМПЕРАТУРА - кельвин..(К)
Т = 273,15+t°С.
6. КОЛИЧЕСТВО ВЕЩЕСТВА – моль.. (моль); он равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов (атомов, молекул, ионов, электронов и других частиц) сколько атомов находится в углероде – 12 (С12), массой 0,012 кг: NA = 6,02*1023 1/моль – число Авогадро, например, масса моля О2, - кислорода М = 0,032 кг/моль, N2 – азота – М = 0,028 кг/моль;
7. СИЛА СВЕТА – кандела (свеча по-латински).. (кд).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
1. ПЛОСКИЙ УГОЛ – радиан.. (рад); он равен углу между двумя радиусами окружности, длина дуги между которыми равна радиусу;
360° соответствует 2p рад, отсюда 1 рад = 360°/2p = 57,3°;
2. ТЕЛЕСНЫЙ УГОЛ - стерадиан..(ср);
это угол с вершиной в центре сферы, вырезающий на поверхности сферы площадь, равную R2; полный телесный угол равен 4p ср.
ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ, например, Н, Дж, Вт, В, Ом, лм, лк и др., они образуются из основных и дополнительных единиц измерения.
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
В курсе физики будет изучаться 3 механики:
1. Классическая или ньютоновская механика.
2. Релятивистская механика.
3. Квантовая механика.
Мы приступаем к изучению основ классической механики, справедливой для макроскопических тел (т.е. больших по сравнению с атомами и молекулами), движущихся со скоростями v<<с, где с = 3×108 м/с – скорость света в вакууме. Она не справедлива в районе больших гравитационных полей и при описании движения элементарных частиц.
Классическую механику подразделяют на кинематику, статику и динамику.
Л Е К Ц И Я № 1. К И Н Е М А Т И К А
Движением тела называют изменение его положения относительно другого тела в пространстве с течением времени. Тела, относительно которых рассматривается изучаемое движение, называются… Обычно с этими телами связывают систему координат. Мы будем пользоваться правой прямоугольной системой координат X, Y,…Кинематика материальной точки. Путь, перемещение, скорость и ускорение
При векторном способе положение точки А, рис. 1, в момент времени t определяется ее радиусом вектором , проведенным из начала координат до…Закон движения дается векторным уравнением
При координатном способе положение точки А определяется координатами x, y, z, а закон движения задается тремя уравнениями: (2) при этом , (3)Скорость
, (5) т.е. мгновенная скорость есть производная радиуса-вектора по времени. Она… В физике принято производные по времени обозначать не штрихом, а (×) над буквой.Ускорение
. (10) С учетом формул (7) и (8) из (10) находим (11)Угловая скорость и угловое ускорение
, (20) Угловая скорость измеряется в радианах в секунду: [] = рад/с. Так как , то Рис. 5 . (21)Л Е К Ц И Я № 2 . Д И Н А М И К А М А Т Е Р И А Л Ь Н О Й Т О Ч К И
В основе динамики лежат 3 закона Ньютона, сформулированные в 1687 г. Они явились обобщением работ его предшественников и современников: Кеплера,… 2.1. Первый закон Ньютона (закон инерции) Тело (материальная точка), не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется прямолинейно и…Второй закон Ньютона
Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел. Сила полностью задана, если указаны ее модуль F, направление в пространстве и… Механическое воздействие может осуществляться как при непосредственном контакте тел (например, удар, трение, давление…Третий закон Ньютона
Третий закон Ньютона утверждает, что силы взаимодействия двух материальных точек равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль… . (5) Таким образом, силы всегда попарно возникают, они приложены к разным телам, и поэтому не могут уравновесить друг…Силы
Все силы, встречающиеся в природе, сводятся к силам гравитационного притяжения, электромагнитным силам, слабым и сильным взаимодействиям.
Сильные и слабые взаимодействия проявляются в атомных ядрах и в мире элементарных частиц. Они действуют на малых расстояниях: сильные – на расстояниях порядка 10-15 м, слабые - на расстояниях порядка 10-18 м.
В макромире, который только и изучает классическая механика, от сильных и слабых взаимодействий можно отвлечься.
В механике различают гравитационные силы, упругие силы и силы трения. Упругие силы и силы трения являются по своей природе электромагнитными.
2.4.1. Сила гравитации, сила тяжести и вес
Сила гравитационного взаимодействия двух материальных точек
.
Здесь r – расстояние между точками, m1 и т2 – их массы, G - коэффициент пропорциональности, называемый гравитационной постоянной, 
. Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, которое называют ускорением свободного падения и обозначают буквой g, g = 9,81м/с2. Отсюда вытекает – на всякое тело действует сила
, которую называют силой тяжести (рис. 1, 2).
Вес тела – это сила 
, с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле (рис. 1, 2).
Упругие силы
Они возникают при деформации тела и направлены в сторону обратную смещению (рис. 3). Для малых деформаций справедливо (закон Гука):
, (7)
где k – коэффициент пропорциональности.
Для пружины он называется коэффициентом жесткости, измеряется в Н/м.
Силы трения
Трение, возникающее при относительном перемещении тел называется внешним трением; если при этом нет смазки, то трение называют сухим Рис. 4 , (8) т.е. сила трения пропорциональна величине силы нормального давления , – коэффициент трения, безразмерная величина. Он…Л Е К Ц И Я № 3. З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я И М П У Л Ь С А
Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соответствии с этим силы, действующие на тела… Система, в которой внешние силы отсутствуют, называется замкнутой. Для замкнутой системы остаются постоянными (сохраняются) три физические величины: импульс, энергия и момент…Закон сохранения импульса
(1) Сложим все эти уравнения (2)Центр масс и закон его движения
. (8) Здесь mi – масса i-той материальной точки, – радиус-вектор, задающий положение… Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы. Скорость центра массРеактивное движение. Движение тел с переменной массой
Пусть m(t) – масса ракеты в произвольный момент времени t, – ее скорость в тот же момент времени, а – скорость убыли ее массы [m = (dm/dt)] за счет… (13) В уравнении (13), как членом второго порядка малости можно пренебречь. Согласно второму закону Ньютона скорость…Л Е К Ц И Я №4 . Р А Б О Т А . П О Т Е Н Ц И А Л Ь Н А Я Э Н Е Р Г И Я
Работа
Элементарной работой dA силы 
на малом перемещении 
точки М приложения силы называется скалярное произведение 
:
. (1)
Так как скалярное произведение двух векторов равно произведению их модулей на косинус угла между ними, то
, (2)
где 
- путь точки М за малое время dt; 
- угол между силой и элементарным перемещением (или скоростью 
) точки М; 
– проекция силы на направление (или ), 
иногда называют касательной силой.
Из (2) следует, что если 
, то dA > 0, если 
, то dA < 0 и при 
dA = 0.
Работа А12, совершаемая силой на конечном перемещении точки ее приложения М из положения 1 в положение 2, равна сумме элементарных работ (1) на всех малых участках траектории точки М от 1 до 2. Эта сумма приводится к интегралу:
, (3)
где S – дуговая координата точки М, отсчитываемая вдоль ее траектории; S1 и S2 – значения S точках 1 и 2; 
– длина траектории между точками 1 и 2, т. е. путь точки М от начального положения 1 до конечного положения 2. В математике этот интеграл называется криволинейным интегралом. Если зависимость 
задана графически (рис. 1), то элементарная работа (2) 
численно равна площади заштрихованной площадки. Работа А12 численно равна площади криволинейной трапеции S112S2.
Единицей работы в СИ служит работа, совершаемая на пути в один метр с силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж), т.е. 1 Дж = 1 Н×1 м.
Заметим, что в джоулях измеряется также энергия , количество теплоты.
Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью:
. (4)
Единицей мощности в СИ является ватт (Вт) – это такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю, т. е. 1 Вт = 1 Дж/1с. Заметим, что 1 кВт = 103 Вт, 1 МВт = 106 Вт, 1 ГВт = 109 Вт (приставка М читается как «мега», а приставка Г – как «гига»). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л. с.) и равная 736 Вт.
Консервативные и неконсервативные силы
Сила, действующая на материальную точку, называется консервативной (потенциальной), если работа этой силы зависит только от начального и конечного… Изменение направления движения точки вдоль малого участка на противоположное… Точки 1и 2, а также участки замкнутой траектории 1a2 и 2b1 можно выбирать совершенно произвольно. Таким образом,…Потенциальная энергия системы материальных точек
где - полная работа консервативных сил, действующих на материальные точки системы при переходе ее из конфигурации 1 в конфигурацию 2; и - значения… Связь между силой, действующей на тело в данной точке поля, и его… (9)П Р И М Е Р Ы
Потенциальная энергия растянутой пружины
При возвращении пружины из деформированного состояния в недеформированное сила совершает работу. . (12) Таким образом, потенциальная энергия упруго деформированной пружиныПотенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести Земли
(16) Изменение потенциальной энергии тела массы m, поднятого с поверхности Земли (r… (17)Л Е К Ц И Я № 5 . К И Н Е Т И Ч Е С К А Я Э Н Е Р Г И Я,
З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я Э Н Е Р Г И И
Кинетическая энергия
Умножим скалярно правую и левую часть этого равенства на элементарное перемещение точки , тогда . (1) Так как , то легко показать, что Используя последнее равенство и то обстоятельство, что масса материальной точки…Закон сохранения энергии в механике
. Работу неконсервативных сил обозначим посредством А*. Согласно (4) суммарная… .Упругое и неупругое соударения
Ограничимся рассмотрением центрального удара двух шаров, при котором шары движутся вдоль прямой, проходящей через их центры. На рис. 1 изображены… Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно…Абсолютно неупругий удар
При абсолютно неупругом ударе выполняется только закон сохранения суммарного импульса тел: , откуда, . (7) Кинетическая же энергия, которой обладала система до удара, после соударения уменьшается или стремится к нулю.…Абсолютно упругий удар
первоначальной форме, отталкиваясь друг от друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются… Обозначим массы шаров m1 и m2, скорости шаров до удара и , скорости шаров… (9)Общефизический закон сохранения энергии
Беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла. Таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при ударе,… В физике закон сохранения энергии распространяют не только на явления, рассматриваемые в механике, но на все без…Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала
Моментом силы относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора на силу : , , (1) – угол между векторами и ; направление выбирается так, чтобы… Моментом нескольких сил относительно точки называется векторная сумма моментов этих сил относительно той же точкиУравнение моментов
. При неподвижной точке О вектор , равный , параллелен и поэтому . Кроме того… Таким образом . (5)Закон сохранения момента импульса
МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК ОСТАЕТСЯ ПОСТОЯННЫМ. Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы, если сумма моментов… В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т. е. одинаковость свойств пространства по…Движение в поле центральных сил
, (8) то говорят, что материальная точка находится в поле центральных сил, если… Примерами материальных точек в таком поле являются искусственные спутники Земли.Л Е К Ц И Я № 7 . Т В Е Р Д О Е Т Е Л О В М Е Х А Н И К Е
Степени свободы. Обобщенные координаты
Пусть материальная точка все время вынуждена находиться на какой-либо заданной поверхности. В этом случае независимыми остаются две координаты,… Если точка может перемещаться только вдоль какой-либо заданной кривой, то… В случае механической системы из n материальных точек, которые могут перемещаться без всяких ограничений, для…Число степеней свободы твердого тела
Чтобы однозначно определить положение твердого тела достаточно задать положение каких-либо трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой. Положение… Эти девять координат, однако, не независимы, а связаны тремя соотношениями: …Уравнение движения и равновесия твердого тела
Одно из них – это уравнение движения центра масс С , где . (1) Второе – уравнение моментовТеорема Штейнера
, (10) где – плотность тела, – масса малого элемента объема dV, отстоящего от оси… Пример:Кинетическая энергия при плоском движении
В этом случае скорость i-той материальной точки тела определяется формулой . Кинетическая энергия i- той материальной точки равнаПросуммировав по всем материальным точкам, получим
или , (12) где М – полная масса тела, – радиус-вектор центра масс, - момент инерции тела… Если в качестве точки О взять центр масс тела С, то и формула (12) упрощается: . (13)Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со
Из (13) следует, что при вращении тела относительно оси z, проходящей через центр масс С, его кинетическая энергия . (14)Работа и мощность при вращательном движении
При повороте тела на малый угол 
вокруг оси Z совершается работа
. (15)
Мощность
Сопоставим основные величины и уравнения поступательного и вращательного движений Т А Б Л И Ц А № 1 ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОЕ…Л Е К Ц И И №№ 8 - 1 0 . П Р И Н Ц И П О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С Т И
Г А Л И Л Е Я , Э Л Е М Е Н Т Ы Ч А С Т Н О Й
( С П Е Ц И А Л Ь Н О Й ) Т Е О Р И И О Т Н О С И Т Е Л Ь Н О С Т И
Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
во всех инерциальных системах отсчета законы классической механики имеют одинаковую форму. В этом заключается суть принципа относительности Галилея. Для его доказательства рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью ,…Постулаты частной теории относительности
Действительно, согласно этому закону по отношению к системе отсчета, догоняющей свет, скорость света должна быть меньше, чем по отношению к… При противоположном движении скорость света должна быть равна (с + V ). На… Впервые постоянство скорости света было обнаружено в опытах Майкельсона и Морли, поставленных в период с 1880 по 1887…Преобразования Лоренца
Представим себе, что движущейся системой отсчета K', является поезд. Пусть в момент, когда его хвостовой вагон поравнялся со стрелочником (система… Обозначим через время, отсчитываемое стрелочником. Что касается пути,… Итак, с точки зрения стрелочника .Закон сложения скоростей в релятивистской механике
В случае движения частицы параллельно осям ОХ и O'X’ в направлении скорости … . (16)Понятие о релятивистской динамике
Масса в ньютоновской и релятивистской механике
При изучении движения тел, скорости vкоторых пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света с (v/c → 0), имеет место нерелятивистское… масса изолированной системы тел не меняется со временем и равна сумме масс… При изучении движения тел (обычно элементарных частиц, например, электронов, протонов) с относительно большими…Энергия, импульс в релятивистской механике
Преобразования Лоренца для энергии Е и импульса р тела имеют вид: , , , . (18) Если к покоящемуся телу в системе отсчета применить преобразования Лоренца (18) (при этом следует учесть, что ), то…Основное уравнение релятивистской динамики
Согласно (20), релятивистский импульс , при этом обе формулы справедливы для «тяжелых», т.е. имеющих не нулевую массу частиц. Для безмассовых частиц… Основное уравнение релятивистской динамики имеет вид или, более подробно: . (25)Кинетическая энергия релятивистской частицы
Согласно (19), полная энергия тела (частицы) в релятивистской механике , она складывается из энергии покоя тела [см. (17)] и кинетической энергии ,… . (26) Из (26) следует, что при v/c << 1 и , т.е. получаем выражение кинетической энергии частицы, которое используется…Заключение
Итак, длительность события (времени), размеры тела не являются абсолютными величинами, а зависят от скорости тела, т. е. являются относительными. Кроме того масса и энергия оказались связанными друг с другом, хотя они являются качественно различными свойствами материи. Основной вывод теории относительности сводится к тому, что пространство и время взаимосвязаны и образуют единую форму существования материи: пространство-время. Наиболее общая теория пространства-времени называется общей теорией относительности или теорией тяготения, т.к. согласно этой теории свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения.
В изложенной выше теории действием тяготения Эйнштейн пренебрег. Поэтому она называется частной (или специальной) теорией относительности, т. к. она является частным случаем общей теории относительности, завершенной Эйнштейном позже, в 1915 г.
Л Е К Ц И И № № 1 1 – 1 2 . К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Е П Р О Ц Е С С Ы
В природе и технике часто происходят процессы, повторяющиеся во времени. Такие процессы называются колебаниями.
Качания маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук, и т.д. являются примерами колебаний различных физических величин. Все эти процессы качественно отличаются друг от друга, но оказывается, что количественные закономерности (т. е. математические выражения) этих процессов имеют много общего. Именно это обстоятельство придает учению о колебаниях его важное значение. Изучая на этих двух лекциях механические колебания, мы получим также знания - в других областях, например, из области электромагнитных колебаний, радиотехники, оптики, и др.
Гармонические колебания
Рассмотрим движение этого грузика под действием однократно приложенной силы. Отклонение обозначим через х, и предположим, что имеем дело с абсолютно… В физике встречаются силы иного происхождения, чем упругие, которые… Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.Потенциальная и кинетическая энергии
. (7) Кинетическая энергия , что, согласно (2) и (5), в нашем случае будет . (8)Векторная диаграмма гармонического колебания
можно представить в виде проекции вектора , вращающегося против хода часовой…Комплексная форма представления колебаний
, где . Поэтому уравнение гармонического колебания (3) можно записать в… Рис. 3 .Сложение одинаково направленных колебаний
Используем векторную диаграмму, рис. 4; откуда следует, что где Рис. 4 .Гармонические осцилляторы