Вынужденные колебания - раздел Приборостроение, Приборостроения и информатики Они Возникают При Действии На Систему Внешней Периодически Изменяющейся Силы ...
Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы) 
, (22)
где 
- круговая частота вынуждающей силы.
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:
m(d2x/dt2) = -kx - r(dx/dt) + Fmcost.
Перепишем это уравнение в виде:
. (23)
Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет
, где 
– общее решение однородного уравнения (23), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17)
и с течением времени 
. Поэтому 
.
Из решения (23) следует, что 
(24)
где 
, (25)
. (26)
Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.
Исследуя (25) на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте
(27)
амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины:
. (28)
Это явление называется резонансом.
На рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы , которая определяется формулой (25); (откуда: при = 0 находим 
, а при 
имеем
, что объясняется инерционностью колебательной системы).
Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин, кораблей, самолетов и т.д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.
При написании конспекта лекций использовались известные учебники по физике, изданные в период с 1923 г. (Хвольсон О. Д. «Курс физики») до наших дней (Детлаф А. А., Яворский Б. М., Савельев И. В., Сивухин Д. В., Трофимова Т. И., Суханов А. Д. и др.).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ
ЧАСТЬ I
1. Классическая механика и границы ее применимости. Материальная точка. Система отсчета. Кинематические уравнения (Введение, 1.1).
2. Траектория, путь, перемещение. Средняя и мгновенная скорости. Равномерное прямолинейное движение (1.1, 1.1.1).
3. Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения. Равнопеременное движение (1.1.2).
4. Движение материальной точки по окружности. Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение (1.1.3).
5. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками. Период и частота вращения (1.1.3).
6. Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета (2.1).
7. Сила. Масса. Импульс материальной точки. Второй закон ньютона как уравнение движения (2.2).
8. Третий закон Ньютона. Виды сил в механике (2.3, 2.4).
9. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести, вес тела (2.4.1).
10. Силы упругости. Закон Гука (2.4.2).
11. Силы внешнего и внутреннего трения. Коэффициент трения (2.4.3).
12. Система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Замкнутая система (лекция 3, введение).
13. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса (3.1).
14. Центр масс и закон его движения. Система центра масс (3.2).
15. Работа постоянной и переменной сил. Мощность (4.1).
16. Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и потенциальной энергией (4.4).
17. Работа сил упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (4.5.1).
18. Работа гравитационных сил. Потенциальная энергия материальной точки в поле сил тяготения (4.5.1).
19. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия материальной точки в поле сил тяжести (4.5.3).
20. Виды механической энергии. Кинетическая энергия и работа (5.1).
21. Закон сохранения механической энергии. Общефизический закон сохранения и превращения энергии (5.2, 5.4).
22. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары (5.3).
23. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки и относительно оси (6.1, 6.2).
24. Уравнение моментов для материальной точки относительно неподвижной точки (6.2).
25. Уравнение моментов для системы материальных точек относительно оси (6.2).
26. Закон сохранения момента импульса системы материальных точек (6.3).
27. Абсолютно твердое тело. Степени свободы, обобщенные координаты. Уравнения движения и равновесия твердого тела (7.1 – 7.3).
28. Момент импульса абсолютно твердого тела относительно оси вращения (7.4).
29. Момент инерции тела относительно оси вращения. Теорема Штейнера (7.4, 7.5).
30. Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси (7.4).
31. Кинетическая энергия при плоском движении абсолютно твердого тела. Кинетическая энергия вращения (7.6).
32. Работа и мощность при вращательном движении (7.7).
33. Преобразования Галилея. Закон сложения скоростей в классической механике. Механический принцип относительности (8.1).
34. Постоянство скорости света в вакууме. Опыты Майкельсона-Морли (8.2).
35. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца (8.2, 8.3).
36. Следствия из преобразований Лоренца: замедление времени и сокращение длины тел. Интервал (8.3)
37. Закон сложения скоростей в релятивистской механике (8.4).
38. Масса в ньютоновской и релятивистской механике (8.5.1).
39. Энергия, импульс в релятивистской механике (8.5.2).
40. Основное уравнение релятивистской динамики. Закон сохранения релятивистского импульса (8.5.3).
41. Кинетическая энергия релятивистской частицы. Закон сохранения энергии (8.5.4).
42. Пространство-время как форма существования материи (8.6).
43. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение (на примере пружинного маятника) (11.1).
44. Уравнение, график и основные характеристики гармонических колебаний (11.1).
45. Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний (11.1, 11.2).
46. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты (11.5).
47. Сложение гармонических колебаний одинакового направления с близкими частотами (11.5).
48. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (11.6).
49. Математический маятник (11.7.1).
50. Физический маятник (11.7.3).
51. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение (11.8).
52. Уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность (11.8, 11.8.1).
53. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение (11.9).
54. Амплитуда и фаза вынужденных установившихся колебаний. Резонанс и его применение (11.9).
Все темы данного раздела:
Л Е К Ц И Я № 1. К И Н Е М А Т И К А
Кинематика – это раздел механики, в котором изучается движение тел без рассмотрения причин, вызывающих движение.
Движением тела называют изменение его положения относительно другого тела в
Кинематика материальной точки. Путь, перемещение, скорость и ускорение
Рис. 1
Изуч
Закон движения дается векторным уравнением
. (1)
При координатном способе положение точки А определяется координатами x, y, z, а зако
Скорость
Мгновенная скорость материальной точки определяется соотношением
Ускорение
Для характеристики быстроты изменения скорости вводится векторная физическая величина, называемая ускорением
Угловая скорость и угловое ускорение
Рассмотрим движение материальной точки по окружности радиуса R (рис. 5). Пусть за время
Л Е К Ц И Я № 2 . Д И Н А М И К А М А Т Е Р И А Л Ь Н О Й Т О Ч К И
Динамика – это раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил.
В основе динамики лежат 3 закона Ньютона, сформулированные в 1687 г. Они
Второй закон Ньютона
Для того, чтобы его сформулировать введем понятие силы.
Силой называется векторная величина, характеризующая воздействие на данное тело со стороны других тел.
Сила
Третий закон Ньютона
Воздействие тел друг на друга всегда носит характер взаимодействия. Если тело 2 действует на тело 1 с силой
Силы трения
Они появляются при перемещении соприкасающихся тел или их частей друг относительно друга.
Трение, воз
Л Е К Ц И Я № 3. З А К О Н С О Х Р А Н Е Н И Я И М П У Л Ь С А
Совокупность тел, выделенных для рассмотрения, называется механической системой.
Тела системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. В соо
Закон сохранения импульса
Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Обозначим через силу, с которой материальная точка
Центр масс и закон его движения
В динамике широко используется понятие центра масс системы материальных то чек, который обычно обозначают буквой С. Положение центра масс определяется радиусом-вектором
Реактивное движение. Движение тел с переменной массой
Имеется много явлений, в основе которых лежит закон сохранения импульса. Например, полет ракет (и работа реактивных двигателей) основаны на том, что в результате выбрасывания из сопла газов, ракете
Консервативные и неконсервативные силы
Все силы, встречающиеся в механике , принято разделять на консервативные и неконсервативные.
Сила, дейс
Потенциальная энергия системы материальных точек
Рассмотрим систему, состоящую из многих материальных точек. Если задано положение каждой материальной точки, то этим определено и положение всей системы или ее конфигурация. Если силы, действующие
Потенциальная энергия растянутой пружины
Обозначим через х растяжение пружины, т.е. разность длин пружины в деформированном и недеформированном состояниях.
При возвращении пружины из деформированного состояния в недеформир
Потенциальная энергия тела в однородном поле силы тяжести Земли
Формула (15) справедлива также для однородных сферических тел; в этом случае r – расстояние между центрами масс таких тел. В частности, потенциальная энергия тела массы т, находящегос
Кинетическая энергия
Напишем уравнение движения материальной точки (частицы) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна
Закон сохранения энергии в механике
Рассмотрим систему из n материальных точек, на которые действуют как консервативные так и неконсервативные силы. Найдем работу, которую совершают эти силы при перемещении системы из одной ко
Упругое и неупругое соударения
При соударении тел они в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энерг
Абсолютно неупругий удар
Интересным примером, где имеет место потеря механической энергии под действием диссипативных сил, является абсолютно неупругий удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникае
Абсолютно упругий удар
Это такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращ
Общефизический закон сохранения энергии
Классическая механика учитывает только кинетическую энергию макроскопического движения тел и их макроскопических частей, а также их потенциальную энергию. Но она полностью отвлекается от внутреннег
Момент силы и момент импульса относительно неподвижного начала
Пусть О – какая-либо неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Ее называют началом или полюсом. Обозначим через
Уравнение моментов
Предположим, что точка О неподвижна. В случае одной материальной точки, дифференцируя (3), получаем
.
Закон сохранения момента импульса
Если система замкнута (т. е. внешних сил нет), то и, следовательно, согласно уравнению (6) вектор
Движение в поле центральных сил
Если на материальную точку действует сила вида
, (8)
то говорят, что материальная точка находит
Степени свободы. Обобщенные координаты
Положение точки в пространстве можно задать некоторым числом независимых координат, например, тремя координатами х, у, z декартовой системы. Но это можно сделать и иначе. Например, вместо пр
Число степеней свободы твердого тела
Абсолютно твердым телом в механике называют идеализированную систему материальных точек, все расстояния между которыми при движении системы не изменяются с течением времени.
Чтобы однознач
Уравнение движения и равновесия твердого тела
Так как твердое тело является механической системой с шестью степенями свободы, то для описания его движения требуется шесть независимых числовых уравнений или два независимых векторных уравнения.
Теорема Штейнера
В механике твердое тело обычно рассматривают как механическую систему, масса т которой непрерывно распределена по объему V тела, так что при вычислении момента инерции тела, суммирова
Кинетическая энергия при плоском движении
Плоским (плоскопараллельным) называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Представим плоское движение тела как поступательное движение со скоростью
Просуммировав по всем материальным точкам, получим
или , (12)
Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со
скоростью центра масс Vc и вращательное с угловой скоростью w вокруг оси, проходящей через центр масс тела, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых
Мощность
. (16)
Сопоставим основные величины и уравнения поступательного и вращательного движений
Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея
Если системы отсчета движутся относительно друг друга равномерно и прямолинейно и в одной из них справедлив 1- й закон Ньютона, то эти системы являются инерциальными. Галилей установил:
Постулаты частной теории относительности
Исторически именно закон сложения скоростей (5) показал ограниченность галилеевых представлений о свойствах пространства и времени.
Действительно, согласно этому закону по отношению к сист
Преобразования Лоренца
Постулаты Эйнштейна требовали коренного пересмотра представлений о свойствах пространства, времени и движения. Покажем это на простом примере.
Представим себе, что движущейся системой отсч
Закон сложения скоростей в релятивистской механике
Дифференцируя (11) по , а (12) по
Масса в ньютоновской и релятивистской механике
При изучении движения тел, скорости vкоторых пренебрежимо малы по сравнению со скоростью света с (v/c → 0), имеет место нерелятивистское приближение. В этом случ
Энергия, импульс в релятивистской механике
Если тело движется со скоростью v относительно инерциальной системы отсчета (ИСО) K, то помимо энергии покоя
Основное уравнение релятивистской динамики
Согласно (20), релятивистский импульс , при этом обе формулы справедливы для «тяжелых», т
Кинетическая энергия релятивистской частицы
Согласно (19), полная энергия тела (частицы) в релятивистской механике , она складывается из энер
Гармонические колебания
Рис. 1
Изуч
Потенциальная и кинетическая энергии
Установим изменение потенциальной и кинетической энергий колеблющейся системы. Известно, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна
Векторная диаграмма гармонического колебания
Гармоническое колебание
можно представить в виде проекции вектора
Комплексная форма представления колебаний
Согласно формуле Эйлера для комплексных чисел
Сложение одинаково направленных колебаний
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, смещения которых и
Математический маятник
Это материальная точка, подвешенная на невесомой, нерастяжимой нити.
Хорошим приближением к мате
Пружинный маятник
Это груз массой т , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания около положения равновесия, рис. 1. Он был рассмотрен в параграфе 1. Для него
Свободные затухающие колебания
Кроме силы упругости F = - kx на тело действуют также сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости, т. е.
Логарифмический декремент затухания
Натуральный логарифм отношения отклонения системы в моменты времени t и называется логарифмическим декрем
Новости и инфо для студентов