Теория помехоустойчивого кодирования является достаточно сложной, и наши рассуждения носят весьма упрощенный характер. Основным условием обнаружения и исправления ошибок в принимаемых кодовых комбинациях является избыточность. Поясним это на примере.
ПРОВЕРКА КОДОВОЙ КОМБИНАЦИИ НА ИДЕНТИЧНОСТЬ.
Допустим, что необходимо передавать сообщения: А, Б, В и Г. Для передачи этих сообщений составим 2-элементные кодовые комбинации:
Сообщения: А Б В Г
Комбинации: 00 01 10 11
Пусть помехи воздействуют на комбинацию таким образом, что изменяют только один из ее элементов. Если помехе подверглась комбинация 00 и она вследствие этого превратилась в комбинацию 01, то мы не обнаружим ошибку, а будем просто считать, что вместо А передатчик послал Б. И так будет со всеми четырьмя комбинациями.
Теперь введем избыточность. Используем для передачи А, Б, В, Г трехэлементные кодовые комбинации, которых, кстати, может быть всего восемь. Выберем из восьми возможных комбинаций 000, 001, 010, 100, 110, 011, 101, 111 только четыре, но так, чтобы они максимально отличались друг от друга: 000, 011, 101, 110.
Пусть теперь в результате действия помехи изменится один из элементов в любой из выбранных комбинаций. Она не будет идентичной ни одной из наших комбинаций, и мы сразу укажем, что принята ошибочная. Таким образом, для передачи сообщений А, Б, В, Г код 00, 01, 10, 11 годится, но он не помехоустойчив, код же 000, 011, 101, 110 является помехоустойчивым. При этом следует оговориться, что он помехоустойчив только к таким помехам, которые могут привести лишь к однократной ошибке в комбинации. При двукратной ошибке код не помехоустойчив. Для защиты от таких помех ансамбля А, Б, В и Г пришлось бы допустить еще большую избыточность, используя 4-элементные кодовые комбинации, т. е. выбрав 4 комбинации из 16 возможных. Таким образом, обнаружить ошибку невозможно, если любой принятый символ служит сообщением. Ошибки можно обнаружить только в том случае, если на возможные сообщения наложены некоторые ограничения.
ПРОВЕРКА КОДОВОЙ КОМБИНАЦИИ НА ЧЕТНОСТЬ.
Обнаружить ошибки в кодовых комбинациях можно и другими способами, например, используя метод проверки комбинаций на четность. Метод заключается в том, что каждой букве ансамбля сообщений ставится в соответствие кодовая комбинация, у которой сумма элементов комбинации по mod2 (модулю два) равна 0. Тогда всякая принятая комбинация, у которой сумма элементов равна 1, будет считаться ошибочной.
Проверку на четность можно организовать следующим, образом. Пусть в кодовой комбинации первые n знаков являются информационными, а следующие за ними m знаков - проверочными.
a1a2…anb1b2…bm
Главное в этом методе заключается в том, что проверочные и информационные символы связаны некоторыми выбранными соотношениями, например
a1 + а3 + b2 = 0, а2 + а3 + b1 = 0.
Принимаемые приемником кодовые комбинации проверяются на выполнение этих уравнений. Если проверки не удовлетворяют четности, в комбинации имеется ошибка.
Значительно сложнее обстоит дело с кодами, исправляющими ошибки.