Задача №3. Напряжения в грунтах от действия внешних сил
Исходные данные:
Горизонтальная поверхность массива грунта по прямоугольным плитам с размерами в плане 260×210 и 500×240 (размеры в сантиметрах) нагружена равномерно распределенной вертикальной нагрузкой интенсивностью 0,34 МПа и 0,38 МПа соответственно. Определить величины вертикальных составляющих напряжений σZ от совместного действия внешних нагрузок в точках массива грунта для заданной вертикали, проходящей через одну из точек М1, М2, М3 на плите №1. Расстояние между осями плит нагружения – 300 см. Точки по вертикали расположить от поверхности на расстоянии 100, 200, 400, 600 см. По вычисленным напряжениям построить эпюры распределения σZ (от каждой нагрузки отдельно и суммарную).
Рис. 3-1. Расчетная схема
Решение:
Используя метод угловых точек определение вертикальных составляющих напряжений в точке проводится по формуле:
Для площадок под центром загружения прямоугольника: 
, где α – коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон прямоугольной площади загружения 
(а – длинная ее сторона, b – ее ширина) и отношения 
(z – глубина, на которой определяется напряжение 
), P – интенсивность равномерно распределенной нагрузки.
Для площадок под углом загруженного прямоугольника: 
, где α – коэффициент, определяемый в зависимости от отношения сторон прямоугольной площади загружения (а – длинная ее сторона, b – ее ширина) и отношения 
(z – глубина, на которой определяется напряжение 
), P – интенсивность равномерно распределенной нагрузки.
1. Рассмотрим плиту №1.
а) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М1.
Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М1 являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два зеркально отраженных прямоугольника со сторонами: 
см, 
см.
Для глубины 100 см: 
МПа
Для глубины 200 см: 
МПа
Для глубины 400 см: 
МПа
Для глубины 600 см: 
МПа
б) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М2.
Поскольку М2 находится под центром плиты, применяем формулы для центра загружения:
Для глубины 100 см: 
МПа
Для глубины 200 см: 
МПа
Для глубины 400 см: 
МПа
Для глубины 600 см: 
МПа
в) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М3.
Для глубины 100 см: 
МПа
Для глубины 200 см: 
МПа
Для глубины 400 см: 
МПа
Для глубины 600 см: 
МПа
2. Рассмотрим плиту №2
Поскольку точки М находятся вне прямоугольника давлений, величина складывается из суммы напряжений от действия нагрузки по прямоугольникам под площадью давления, взятых со знаком «плюс», и напряжений от действия нагрузок по прямоугольникам вне площади давления, взятых со знаком «минус», т.е.
.
а) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М1.
Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М1 являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два зеркально отраженных прямоугольника со сторонами: 
см, 
см.
Для глубины 100 см: 
МПа
Для глубины 200 см: 
МПа
Для глубины 400 см: 
МПа
Для глубины 600 см: 
МПа
б) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М2.
Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М2 являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два зеркально отраженных прямоугольника со сторонами: 
см, см.
Для глубины 100 см: 
МПа
Для глубины 200 см: 
МПа
Для глубины 400 см: 
МПа
Для глубины 600 см: 
МПа
в) Определим величину вертикальных составляющих напряжений в точке М3.
Разделим плиту на две составляющие таким образом, чтобы М3 являлась углом длинной стороны прямоугольников. Получатся два прямоугольника, причем верхний со сторонами: 
см, 
см; нижний – 
см, 
см.
Для глубины 100 см: 
МПа
Для глубины 200 см: 
МПа
Для глубины 400 см: 
МПа
Для глубины 600 см: 
МПа
3. Пользуясь принципом независимости действия сил, находим алгебраическим суммированием напряжения в заданных точках массива грунта.
Для действия распределенной нагрузки Р1:
МПа
МПа
МПа
МПа
Для действия распределенной нагрузки Р2:
МПа
МПа
МПа
МПа
Для действия суммарной нагрузки:
МПа
МПа
МПа
МПа
4. На основании проведенных расчетов строим эпюры распределения σZ.
Рис. 3-2. Эпюры распределения вертикальных напряжений σZ