Первое уравнение системы (3) можно преобразовать к виду

или

.

 

Второе уравнение можно преобразовать к виду

 

.

 

Таким образом, мы имеем систему уравнений

 

,

. (4)

 

Ее решение позволяет найти оценки параметров a и b.

 

Для упрощения расчетов (при нечетном количестве точек ряда – 2к+1) будем считать, что ряд образуется для моментов времени –к, -к+1, … 0, 1, 2, ….. к .

 

Тогда

и система уравнений имеет решение

,

. (5)

 

Полученная модель используется для прогноза экономического показателя на момент времени t_L

(6)

Пример. Опишем динамику добычи угля в Англии за ряд лет (таблица) линейной зависимостью.

ti	yi	ti2	yiti	ei
				-6,3
				-2,7
				2,9
				10,5
				10,0
				-1,4
				-4,8
				-7,2
				-5,6
				4,0
				1,6
				5,2
				-25,2
				19,4
Итого 105

 

Система уравнений (4) имеет вид

,

откуда =225,1 ; = - 4,41, т. е. линейная модель имеет вид

.

При прогнозировании на 5 лет (t_L=19) прогноз добычи угля по модели составит

.