Стохастические модели управления запасами

Рассмотрим стохастические модели управления запасами, у которых спрос является случайным. Этот факт существенным образом сказывается на характере соответствующих моделей и значительно усложняет их анализ, в связи с чем ограничимся рассмотрением наиболее простых моделей.

Предположим, что спрос r за интервал времени Т является случайным и задан его закон (ряд) распределения p(r) или плотность распределения вероятностей (обычно функции p(r) и оцениваются на основании статистических данных). Если спрос r ниже уровня запаса s, то хранение излишка продукта требует дополнительных затрат с₁ на единицу продукта; наоборот, если спрос r выше уровня запаса s, то это приводит к штрафу за дефицит с₂ на единицу продукции.

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматривают ее математическое ожидание.

В рассматриваемой модели при дискретном случайном спросе r, имеющем закон распределения p(r), математическое ожидание суммарных затрат имеет вид:

(11.1)

В выражении (11.1) первое слагаемое учитывает затраты на хранение излишка s-r единиц продукта (при r<s), а второе слагаемое – штраф за дефицит на r-s единиц продукта (при r>s).

В случае непрерывного случайного спроса, задаваемого плотностью распределения вероятностей , выражение C(s) принимает вид:

(11.2)

Задача управления запасами состоит в отыскании такого запаса s, при котором математическое ожидание суммарных затрат (11.1) или (11.2) принимает минимальное значение.

Доказано, что при дискретном случайном спросе r выражение (11.1) минимально при запасе s₀, удовлетворяющем неравенствам

 

,

где ,

а при непрерывном случайном спросе r выражение (11.2) минимально при значении s₀, определяемом из уравнения

,

где - есть функция распределения вероятностей спроса r, и - ее значения.

Оптимальный запас s₀ при непрерывном спросе по данному значению может быть найден и графически (рис. 5).