Матричные игры

Матричной игрой называется конечная игра двух игроков с нулевой

суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы, строка матрицы

соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы

находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям.

Пусть играют 2 игрока P1 и P2. Матрица

элементы aij – выигрыш игрока P1, если P1 – выбирает i строку, а P2 – выбирает j столбец, называется платежной матрицей игры.

Пусть игрок P1 выбирает i строку с вероятностью xi, P2 выбирает j столбец с

вероятностью yj, тогда и будут называться соответственно смешанными стратегиями 1-ого и 2-ого игроков.

Замечание: так как компонентами смешанных стратегий X и Y являются

вероятности, то и . Если среди компонентов смешанной стратегии X только одна 1, остальные 0, то стратегия называется чистой.

- i-ая чистая стратегия. Любую смешанную стратегию можно представить в виде выпуклой комбинации чистых стратегий, т.е.

Пример. Представить смешанную стратегию в виде выпуклой

комбинации чистых стратегий.

Решение.

Платежной функцией (X ,Y ) первого игрока называется математическое

ожидание его выигрыша, т.е.

(X ,Y )=

Решением матричной игры называют пару смешанных стратегий и

число v называемое ценой игры, удовлетворяющих следующим условиям:

1)

Если P1 придерживается своей оптимальной стратегии X*, то какую бы

чистую стратегию не принимал второй игрок P2, P1 получит выигрыш не меньше чем цена игры v.

2)

Если P2 придерживается своей оптимальной стратегии Y*, то какую бы чистую стратегию не применял второй игрок P1, то P2 проиграет не более чем цена игры v.

Теорема 1. Если игрок P1 придерживается своей оптимальной стратегии X*,

а P2 придерживается своей оптимальной стратегии Y*, то.

Теорема 2. Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях.