Помимо целенаправленных искажений передаваемой шифрованной информации возможны также искажения, происходящие за счет наличия помех в канале связи. Такие помехи могут привести к искажениям и даже потере некоторых знаков используемого алфавита. Если искаженный знак не является знаком используемого алфавита, то на приеме факт искажения легко установить. В противном случае факт искажения может быть установлен лишь при расшифровании, когда искажение в шифртексте ведет к потере части или даже всего открытого текста. Так же проявляется и потеря знаков шифртекста.
Прежде всего интересен вопрос о свойствах самого шифра, позволяющих не распространять искажений при расшифровании. Ограничимся только рассмотрением эндоморфных (X=Y) шифров и искажений двух типов:
1. Замена знаков знаками того же алфавита.
2. Потеря знаков или появление дополнительных знаков того же алфавита.
Шифры, не распространяющие искажений типа "замена знаков".
Будем рассматривать шифры, описываемые алгебраической моделью
SA = (X, K, Y, E, D),
в которой причем для любых x Î X и k Î K длина y = Ek(x) совпадает с длиной x.
Мерой значительности последствий искажений типа "замена знаков" является метрика на множестве сообщений X = Y. Простейшей является метрика Хэмминга m,определяемая формулой
Так как для эндоморфного шифра каждое правило зашифрования Ek представляет собой биекцию Ek : X ® X, то будем пользоваться подстановочной моделью шифра - SП = (X, E),в которой множество E ={ek : k Î K} рассматривается как множество подстановок e : X ® X, e Î E.
Шифр SП = (X, E)не распространяет искажений типа замены знаков и являются помехостойкими если для любых x, y Î Al и любого e Î E выполняется неравенство
m(e-1x, e-1y) £ m(x, y).
Подстановки e Î E, удовлетворяющие предыдущему равенству, называются изометриями на X.
Теорема А. А. Маркова. Биекция eÎE является изометрией на X тогда и только тогда, когда для подходящих преобразований множества X:
где (j1,…,jl) – перестановка чисел 1, 2, …, l; Ri Î S(A) – некоторые фиксированные подстановки множества A, ai Î A,
Согласно теореме Маркова, в классе эндоморфных шифров, не изменяющих длины сообщений, не распространяют искажения типа замены знаков, например шифры перестановки, поточные шифры однозначной замены, а также их композиции типа шифр замены – шифр перестановки.
Шифры, не распространяющие искажений типа "пропуск-вставка знаков".
Приведем теорему, рассматривающую подстановочную модель шифра.
Теорема. Если SП = (X, E)– шифр не распространяющий искажений типа пропуск-вставка, то для любого e Î E, либо e = pL, либо у = pL · f (при подходящем p Î S(A)), где pL отображение множества X в себя, определенное для любого a = (a1,…,al) Î X формулой
(p - некоторая подстановка множества A), а f – отображение множества X в себя, меняющее порядок следования букв любого слова на противоположный:
Всякий шифр, не распространяющий искажений типа "пропуск-вставка знака" есть либо шифр простой замены либо произведение шифра простой замены и частного вида шифра перестановки, заключающейся в инверсной записи текста (справа налево).
Следовательно, все сложные шифры распространяют искажения типа "пропуск-вставка" и в данном случае борьба с такими искажениями криптографическими методами невозможна и, следовательно, необходимо применять иные способы повышения помехоустойчивости (например, введением избыточности – контрольные суммы и пр.).