Проективная плоскость P2(K) над полем K определяется как множество троек (X, Y, Z) не равных одновременно нулю элементов X, Y, Z Î K, на котором введено отношение эквивалентности:
(X, Y, Z) ~ (lX, lY, lZ) для любых l Î K*.
Так, например, две точки (4, 1, 1) и (5, 3, 3) эквивалентны в P2(F7).
Класс эквивалентности троек называется проективной точкой.
Эллиптической кривой E называется множество точек проективной плоскости, удовлетворяющих однородному уравнению Вейерштрасса
E: F(X, Y, Z) = –X3 + Y2Z + a1XYZ – a2X2Z + a3YZ2 – a4XZ2 – a6Z3 = 0,
c ai Î K.
Это уравнение называют также длинной формой Вейерштрасса. Кривая должна быть неособой в том смысле, что частные производные не должны обращаться в нуль одновременно ни в одной ее точке.
Множество K-рациональных точек кривой E (то есть точек, удовлетворяющих уравнению кривой) обозначается через E(K).
Кривая имеет только одну точку, чья координата Z = 0, а именно (0, 1, 0). Ее принято называть бесконечно удаленной точкой (или точкой на бесконечности) и обозначать символом O.Для удобства часто пользуются аффинной версией уравнения Вейерштрасса:
E: Y2 + a1XY + a3Y = X3 + a2X2 + a4X + a6, c ai Î K.
K-рациональные точки в аффинном случае – это решения уравнения в K2 и бесконечно удаленная точка O.
Переход от аффинных к проективным координатам:
- точка на бесконечности всегда переходит в бесконечно удаленную точку, как при переходе от аффинных координат к проективным, так и наоборот;
- проективная точка (X, Y, Z) кривой, отличная от бесконечно удаленной (Z ¹ 0), переходит в аффинную точку с координатами (X/Z, Y/Z);
- чтобы найти проективные координаты аффинной точки (X, Y), не лежащей на бесконечности, достаточно выбрать произвольное значение Z Î K* и вычислить (X·Z, Y·Z, Z).
Иногда удобнее пользоваться модифицированной формой проективной плоскости, когда проективные координаты (X, Y, Z) представляют аффинную точку (X/Z2, Y/Z3).
Для эллиптической кривой вводятся следующие константы:
Дискриминант кривой E определяется по формуле
Если char K ¹ 2, 3, то дискриминант можно вычислить и так:
Деление на 1728 = 2633 имеет смысл только в тех полях, чья характеристика отлична от 2 и от 3. Кривая E неособа тогда и только тогда, когда . Далее рассматриваются только неособые кривые.
Для неособых кривых вводится j-инвариант
он тесно связан с понятием изоморфизма эллиптических кривых.
Говорят, что кривая E с координатами X и Y изоморфна над полем K кривой E’ с координатами X’, Y’ (обе заданы уравнением Вейерштрасса), если найдутся такие константы r, s, t Î K и u Î K*, что при замене переменных
X = u2X’ + r, Y = u3Y’ + su2X’ + t
кривая E перейдет в кривую E’. Отметим, что изоморфизм кривых определен относительно поля K. Изоморфизм эллиптических кривых является отношением эквивалентности.
Лемма. Изоморфные над полем K кривые имеют один и тот же j-инвариант. С другой стороны, любые кривые с совпадающими j-инвариантами изоморфны над алгебраическим замыканием поля K. То есть j-инвариант разделяет классы эквивалентности отношения изоморфизма над алгебраическим замыканием поля K.