Математическая модель роста населения Земли

Население мира N ( T ), будет описываться функцией от времени T , определяющее состояние демографической системы Земли. Тогда ведущей переменной, параметром порядка, подчиняющей все остальные переменные, станет полное число людей N . Таким образом, в этом приближенном функциональном соотношении не учитывается распределение населения по нашей планете, ни его экономическое и возрастное состояние или расовой и национальный состав. Сам процесс роста также будет рассматриваться на значительном интервале времени T – большом числе поколений. Иными словами мы будем рассматривать усредненные значения переменных и усредненные функции, чем, в частности, вносится в уравнения память о прошлом, определяемая временем усреднения переменных.

 

Рис. 6.Мировой демографический переход 1750 – 2100гг. Данные ООН.

Годовой прирост, усредненный за декады. На рисунке видно уменьшение скорости роста при мировых войнах и демографическое эхо войны в начале XXIв. 1 – развитые страны и 2 – развивающиеся страны.

Такое выделение главных переменных N и T и их усреднение характерно для системного подхода. Оно получило развитие в синергетике и лежит в основе асимптотических методов, развитых для решения задач большой сложности, появляющихся при рассмотрении систем со многими степенями свободы. Существенно то, что эти переменные, которые представляют все социально значимые факторы по возрастам и полу, образования, развития, доходов и т.д. описываются статистическими распределениями. Когда рассматриваются такие многофакторные проблемы, то в известных пределах можно полагать, что развитие системы статистически стационарно и потому происходит динамически самоподобно. Это сильное предположение означает, что остаются неизменными пропорции между относительными изменениями времени и населения.

Смысл этой основной гипотезы автомодельности состоит в том, что утверждается постоянство относительной скорости изменения системы, аналогично принципу инерции. В таком случае можно показать, что такой самоподобный рост должен описываться степенной функцией без характерного параметра, такого как масштаб времени. Такие процессы обладают масштабной инвариантностью – скейлингом, аналогично развитой турбулентности в потоке жидкости. Эти понятия мало знакомы историкам и обществоведам, однако подобные представления должны помочь в расширении тех образах, в которых мы описываем исторический процесс. Сделанные предположения упрощают задачу, сводя все к одной переменное N ( T ), рост которой зависит от состояния самой системы. Формула (1), как степенная функция, обладает такой масштабной инвариантностью – отсутствием собственного масштаба времени, свойство открытое еще Эйлером и указывающее на автомодельность роста. Но в нашей задаче роста населения эта формула является лишь первым приближением. Как асимптотическое выражение оно ограничено областью применения, и задача теории в первую очередь состоит в установлении этих пределов как вблизи особенности, когда эта функция устремляется в бесконечность, так и в далеком прошлом, когда ее уменьшение происходит слишком медленно.

Чтобы описать переход следует учесть время, характеризующее внутренние процессы как продолжительность жизни человека и время его репродуктивной способности. Это те факторы, которые при прохождении через демографический переход ограничивает скорость роста по мере приближения к моменту, когда скорость роста приближается к своему пределу. При этом независимой переменной становится численность населенияN , а не время Т.

 

Рис. 7.Мировой демографический переход вблизи 2000 года. Данные ООН.
1 – абсолютный прирост населения осредненный за декаду, млн. 2 – относительный прирост % в год.

Для этого следует продифференцировать (1) и получить выражение для скорости роста в зависимости от времени:

(2)

а затем ввести в это расходящееся выражение характерное время , ограничивающее скорость роста:

(3)

Этот прием может показаться произвольным шагом, однако полученное выражение очень хорошо описывает глобальный демографический переход и отвечает тем методам в теоретической физике, которые развиты для регуляризации расходимости, с которой мы столкнулись при анализе демографического перехода. Интегрируя (3), мы получим выражение для описания перехода:

(4)

При обработки последних данных демографии получены уточненные значения постоянных, когда критический год сместился к 1995г., вместо 2000г., что и учтено в последующих вычислениях:

,

года.,

лет и безразмерное число

Из-за введения конечного полюс в сдвигается к новому значению г., которое и принято в выражении (4) описывающей демографический переход и рост за пределы особенности при и сравнении расчетов с данными демографии. См. Таблицу 1, Рис. 6,7 и 9.

В недалеком прошлом выражение (4) асимптотически непосредственно переходит в автомодельный гиперболический рост. Однако в очень далеком прошлом скорость роста должна быть ограничена снизу. Этого предположения достаточно для того, чтобы приписать в далеком прошлом линейный рост, при котором в первом приближении скорость роста не может быть меньше появления одного гоминида за характерное время . В результате, в течение эпохи антропогенеза численность населения становится порядка ста тысяч. В популяционной генетике это число характерно для стабильного вида, биологически подобному человеку. Именно тогда начинается квадратичный рост, обязанный информационной природе развития, который с тех пор станет доминирующим фактором.

Численность человечества в этот момент представляет большой интерес, и потому я обратился к знаменитому французскому антропологу, профессору Коллеж де Франс Ив Коппену с вопросом: сколько тогда жило людей? Его ответ был краток и точен – сто тысяч. Оценка основана на наблюдении, что тогда на востоке и юге Африки было порядка тысячи больших семей, по сто человек в каждой, что не противоречит оценкам других авторов для этого существенного момента в истории человечества.

Величина К определяет не только масштаб численности человечества в начальную эпоху роста, но также дает оценку численности когерентной группы людей или племени, самодостаточного населения малого города или масштаб такой группы в мегаполисе. Так в Москве, при населении около 10 миллионов город разбит на сто административных округов по сто тысяч каждый. Как большой параметр задачи постоянная К определяет все соотношения между населением и длительностью процессов роста, а значительная величина константы К приводит к высокой эффективности асимптотических решений. Таким образом скорость роста населения Земли в эпоху Вопределяется автономном дифференциальным уравнением в котором время не входит в его правую часть:

, (6)

когда и отсчитываться от времени прохождения через демографический переход и выражено в единицах характерного времени . Формула роста (6) выражает природу того коллективного нелинейного взаимодействия, которое ответственно за рост человечества в эпоху его взрывного развития. В этом уравнении для усредненных переменных Т и N скорость роста приравнена к развитию, которое равно квадрату численности населении мира, как выражение меры системной сложности населения планеты. Его также можно рассматривать как результат парного взаимодействия N человек, или же как некое эффективное поле, феноменологически определяющее рост.

Полное решение должно описывать рост человечества в течение трех эпох. Первая эпоха А антропогенеза начинается с линейного роста с указанной выше минимальной скоростью. Когда население достигает величины порядка ста тысяч начинается эпохаВ взрывного роста со скоростью роста, пропорциональной квадрату населения Земли и в эту эпоху человек начал быстро заселять всю планету. Далее, когда скорость квадратичного роста достигла своего предела и стала порядка удвоения за характерное время , наступает кризис мирового демографического развития, переход в эпоху С стабилизации населения мира в рамках приближений развитой теории. В результате на основании (3) максимальная абсолютная скорость роста глобального во время демографического перехода равна

млн. в год при относительном росте % в год (7)

в 1995 году, что согласуется с данными ООН, но дает несколько меньшее значение для абсолютной скорости роста при сравнении с Таблицей 1. См. Рис. 6. Население нашей планеты в этот момент равно:

млн.

(8)

На основе этих представлений легко определить предел в два раза больший чем , к которому в эпоху Сасимптотически стремится население Земли:

млн.

(9)

В рамках сделанных предположений это представляет верхнюю оценку населения Земли в предвидимом будущем. Таким образом, глобальное взаимодействие приводит к ускорению и синхронизации процессов и на заключительной стадии демографического перехода – к сужению перехода и тем самым к снижению предела для населения Земли.

Начальный линейный рост дает оценку времени для эпохи антропогенеза – критического момента в начале предистории человечества, которое произошло

млн. лет тому назад,

(10)

если использовать известные нам значения и . Несмотря на сделанные упрощения, данная оценка вполне согласуется с оценками этого времени в антропологии, также известного только приближенно.

Если проинтегрировать численность населения от до нашего времени :

млрд.

(11)

то получим оценку для числа людей, когда-либо живших. Множитель появился, поскольку в оценках других авторов длительность поколения принята равной 20 годам, которые ведут к оценке для млрд. [10]. Таким образом, в течение каждого из выделенных периодов жило по млрд. людей. Из (11) следует, что это число является инвариантным для числа людей живших в экспоненциально сокращающихся циклах и где указывает число циклов. Рассмотрение N (Т) как аналитической функции указывает на асимптотическое поведение при , когда , в предположении что в обозримом будущем нет особенностей роста – полюсов или нулей. Циклы можно получить, обобщая решение (6) в область комплексных переменных или же, просуммировав сокращающиеся циклы , определить длительность развития:

	(12)

и сравнить ее с (10), где эта длительность равна . В первом случае рост суммируется по гиперболической траектории, во втором по – . Демографические циклы определяют периодичность развития всего человечества за 4 – 5 миллиона лет, включая и проходящий по гиперболическому закону рост с момента конца антропогенеза до наших дней.

Для дальнейшего перейдем к переменной , когда мерой численности становится K . Тогда уравнения для роста приобретают симметричный вид и видно как сопряжены переменные и :

	(13 a )
	(13 b )
	(13 c )
	(13 d )

Сравнивая (13 a ) и (13 d ) видна смена переменных при прохождении перехода, когда становится независимой переменной вместо времени (см. (2)), и что затем выражено в уравнении роста (3).

 

Рис. 8.Построение функции тангенса, показывающее пределы асимптотик роста при .

Рост населения можно иллюстрировать геометрическим построением функции тангенса:

(14)

связывающей угол и приращение населения . Линейный рост будет продолжаться до и в точке В на касательной АС. Дальнейший рост будет проходить по гиперболе, при которой время асимптотически стремиться к а население достигнет значение . Когда время приближается к моменту особенности, то от уравнения (13а) следует переходить к уравнению (13 d ), чтобы описать рост при прохождении особенности в течение эпохи С. Исходное построение показывает, что после перехода от линейного к гиперболическому росту на эпоху Востается в два раза меньше времени, чем на начальную эпоху А.

Построение, когда переменные и меняются местами при прохождении перехода мы оставляем читателю. Рис. 8 построен при , когда время от до разделено на 11 интервалов и, поскольку , то Однако даже при таком малом значения дает хорошую оценку для числа демографических циклов Так нулевой цикл антропогенеза продолжался 7 единиц времени, первый цикл длился 3 и последний – одну единицу времени. Это построение показывает как дискретность времени и населения приводит к появлению периодичности роста.

Для того чтобы выяснить устойчивость развития следует обратиться к уравнению роста человечества, выраженные в автономной форме, когда рост зависит от состояния системы, т. е. от n . В этом случае, преобразуя (4) получим общее уравнение роста:

(15)

где последний член добавлен с тем, чтобы рост никогда не был меньше одного гоминида при . Интегрируя (15) и при значениях К >> 1 получим решение при начальных условиях :

(16)

Это решение показывает симметрию переменных N и T , населения и времени. Для развития в течение эпохи Ввдали от особенностей роста это выражено в (13в), и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамики глобальной системе населения нашей планеты.

 

Рис. 9.Устойчивость роста в линейном приближении и переходные процессы

1 – логистический переход , 2 – демографический переход и

На основании (15) можно исследовать в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям:

(17)

и определить показатель Ляпунова развития неустойчивости в системе населения Земли:

(18)

дифференцируя (15). Следуя этому критерию при >0 движение неустойчиво. Следовательно, до перехода демографическая система неустойчива и только после развитие системы становится устойчивым и таким остается и впредь. В исторической хронологии мгновенный экспоненциальный масштаб времени роста линейной неустойчивости по Ляпунову зависит от древности и до демографического перехода равен удвоенному времени роста:

(19)

Однако мы видели, что выделенные антропологами и историками демографические циклы указывают на глобальную устойчивость роста с малыми отклонениями от предельной траектории роста. Исключением стало уменьшения населения мира на 8 – 10% в течение мировых войн ХХ в. См. Рис.10. Действительно, по критерию (16) максимальную неустойчивость можно ожидать вблизи начала мирового демографического перехода. Так в 1913 году экономики Германии и России росли на 10% в год, а население России на 2% в год, то в этих темпах можно видеть причину потери политической и экономической устойчивости Европы. Поэтому есть основания рассматривать мировые войны ХХ века как результат потери устойчивости демографической системы, как бы механистически это и не звучит.

Если же просуммировать недостачу населения мира за указанный период, то интегральные потери равны 11 000 млрд. человек лет. Приняв среднюю продолжительность жизни равной 40 годам, то определенные таким образом полные потери оказываются равными 280 ± 20 млн., что более чем в два раза больше принятых в демографии войн оценок ~ 120 млн. Демографические данные Таблицы 1 указывают, что после 1950 года население мира даже с небольшим перехлестом возвращается к своему расчетному значению, указывая на глобальную устойчивость развития.

Представляло бы интерес рассмотреть уравнения роста в области комплексного переменных при анализе устойчивости роста, а так же анализ флуктуаций при учете данных демографии и истории. На этом мы закончим краткое изложение теории роста и перейдем к обсуждению и применения её выводов.