При четном числе уровней динамического ряда

 

При нечетном

 

Тогда, подставив значение ∑t=0 в систему уравнений , получим следующую систему уравнений:

.

Следовательно, значения параметров a₀ и a₁ имеют вид:

 

 

Воспользуемся упрощенным алгоритмом расчета и расчеты исходных сумм покажем в таблице 8.5.

 

Таблица 8.5 – Расчет параметров уравнения линейной функции по данным о реализации грузовых автомобилей на рынке

 

Год	Реализовано грузовых автомобилей, тыс. шт., (у )	t	t2	tyt	Теоретическое значение уt = 18,25 + 0,56t
		-7		-105	14.33
		-5		-70	15,45
		-3		-48	16,57
		-1		-19	17,69
					18,81
					19,93
					21,05
					22,17
Итого		-

 

По данным таблицы 8.5 находим

 

 

Уравнение тренда запишем в следующем виде:

y_t=18,25+0,56t.

В этом уравнении – среднее значение признака в динамическом ряду, – ежегодный прирост значений признака, обусловленный фактором времени t. В нашем примере средний годовой объем реализации грузовых автомобилей на рынке в течение 8-летнего периода составил 18,25 тыс. шт., ежегодный прирост объема реализации – 0,56 тыс. шт.

Подставляя в уравнение тренда условные значения фактора времени t, легко вычислить теоретические (выровненные) значения показателя объема реализации автомобилей (таблица 8.5).

Линейная функция часто используется в анализе динамики, и она наиболее проста. Однако когда значения динамического показателя изменяются неравномерно, линейная функция может давать грубые ошибки и следует искать функцию другого вида, наиболее точно отвечающую эмпирическому распределению значений изучаемого показателя. Подбор функции при этом осуществляется графически или статистическим путем.

Статистика располагает достаточно большим набором теоретических функций, например уравнение параболы второго порядка:

y_t=а₀+а₁t+а₂t².

Такая модель успешно используется при изменении значений показателя в динамике с ускорением (замедлением), система нормальных уравнений в этом случае будет иметь вид:

,

где a₀ – средний уровень динамического ряда,

а₁ – средний годовой прирост уровня динамического ряда,

а₂ – скорость развития явления (ускорение), т.е. дополнительный средний прирост у_t за счет более высоких темпов развития явления в каждый последующий год.

Кроме того, могут использоваться наиболее употребляемые виды функций:

– экспоненциальная: y_t=a₀e^a1 – явления имеют этапы замедленного и (простая) ускоренного развития;

– степенная:y_t=a₀t^a1– явления с преобладающим ускоренным развитием;

– гиперболическая I типа:y_t=a₀+а₁/t –явления с преобладающими этапами замедленного развития;

Всплески в развитии являются результатом постепенного накопления количественных изменений;

– гиперболическая II типа:y_t=1/(a₀+a₁t).