Средняя величина, характеризуя вариационный ряд в целом, не показывает, как располагаются вокруг нее варианты осредняемого признака, т.е. средняя не характеризует колеблемость признака. Однако именно колеблемость признака позволяет нам судить о равномерности того или иного процесса или явления или об однородности изучаемой совокупности, а значит и о надежности средних величин.
Пример вычисления средних в двух вариационных рядах с разным распределением частот:
| x | f | xf | x | f | xf |
| ИТОГО: |
Для 1-го ряда не более, чем на 1 от среднего значения отклоняется 120 единиц (30+60+30), или 91% (120/132 · 100%) всех единиц совокупности.
Для 2-го ряда не более, чем на 1 от среднего значения отклоняется 70 (10+10+50), или 42% (70/850 · 100%) всех единиц совокупности.
Вывод: 1-ый ряд является более однородным, чем 2-ой, и средняя характеристика для него более надежна.
Задача статистики заключается в том, чтобы дать числовое выражение колеблемости признака для более глубокого понимания сущности изучаемых явлений. Для этого в статистике рассчитываются следующие показатели вариации:
– размах вариации (R);
– среднее линейное отклонение ( );
– дисперсия (σ2);
– среднее квадратическое отклонение (σ).
Кроме них используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации (V).
Размах вариации R вычисляется по формуле
где Xmaх (Хmin) – самое большое (малое) значение, принимаемое единицей совокупности.
Этот показатель является очень приблизительным, т.к. учитывает лишь значения крайних единиц совокупности. Поэтому его применяют редко, лишь в тех случаях, когда особые значения имеют либо наибольшее, либо наименьшее значения варианты.
Стремление составить показатель вариации, который учитывал бы все значения вариант, приводит к среднему линейному отклонению – это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от их средней арифметической. Применяется в 2 формах:
– простой:
;
– взвешенной:
Недостатком этого показателя является то, что он не учитывает знаков отклонений.
Чтобы усилить различия в величинах отклонений, эти отклонения возводятся в квадрат, тогда отклонения меньше 1 уменьшаются, а больше 1- увеличиваются, и вводят новый показатель вариации – дисперсию. Это средний квадрат отклонения вариант от их средней арифметической. Используется в двух формах:
– простой
– взвешенной:
Среднее квадратическое отклонение(σ):
Рассмотренные показатели относятся к абсолютным показателям вариации и6 измеряются в тех же единицах, что и варианты (дисперсия – в квадратных единицах). Это не позволяет сравнивать между собой различные совокупности. Для этого вводится относительный показатель вариации, который называется коэффициентом вариации – это отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:
Чем большее значение принимают показатели вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее надежна средняя.
Принято считать, что если V>40%, то это свидетельствуют о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности. В этом случае среднее значение ненадежно, недостоверно и по нему нельзя судить обо всей совокупности.