Использование методов этой группы позволяет преодолеть недостатки приемов механического сглаживания. Они дают возможность учитывать все уровни динамического ряда, моделировать динамические процессы, строить прогноз и интерполировать отдельные значения анализируемого показателя.
Основополагающей в теории аналитического выравнивания является идея о возможности геометрического представления зависимости уровней динамического ряда от фактора времени (t). Всегда можно найти плавную линию (прямую или кривую), которая бы проходила через центр распределения и минимизировала сумму квадратов отклонений от нее до каждой точки, представляющей отдельные фактические значения у. Чем лучше теоретическая кривая описывает распределение значений анализируемого показателя в динамике и меньше сумма квадратов отклонений (ошибка функции тренда), тем, следовательно, лучше сделан выбор теоретической функции и надежнее статистические выводы о закономерностях в динамике для у (рисунок 8.1).
| Объём реализации |
| yt |
| y=f(t) |
| t (годы) |
Рисунок 8.1 – Динамика объемов реализации продукции предприятия
Составляется модель зависимости значений показателя от фактора времени t . Эта модель называется уравнением тренда.
Параметры модели для ŷt находят с использованием метода наименьших квадратов, т.е. при условии, что сумма квадратов ошибки модели минимальна, близка к нулю:
Рассмотрим аналитическое выравнивание по прямой. Уравнение прямой имеет вид
yt=a0+a1t,
где t – время,
a0, a1 – параметры.
Величина a0 характеризует среднее значение признака в динамическом ряду, , a1 – ежегодный прирост значений признака, обусловленный фактором времени.
Если а1>0, – имеется тенденция к росту, если а1<0, имеется тенденция к снижению.
Параметры a0 и a1 можно найти из следующей системы уравнений:
Поскольку t – время, можем перейти к условным годам, выбрав начало отсчета таким образом, чтобы сумма времени ∑t была равна 0.
При этом индексация временных периодов производится по следующему правилу:
– если во временном ряду четное число лет, то обозначения t принимаются с разницей в одну единицу (таблица 8.3):
Таблица 8.3 – Выбор t-значений при четном числе лет во временном ряду
| Год | ||||||||
| Обозначение года (t) | -7 | -5 | -3 | -1 |
– если в анализируемом периоде число лет нечетно, то в центре динамического ряда ставится ноль, а вправо и влево от него годы нумеруются по порядку (таблица 8.4):
Таблица8.4 – Выбор t-значений при нечетном числе лет во временном ряду
| Год | |||||||
| Обозначение года (t) | -3 | -2 | -1 |