Лекция 7. Непрерывность функции.
Классификация точек разрыва
Определение 1: Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) в точке х0 не является непрерывной.
Напомним, что для непрерывности функции f(x) в точке х0, необходимо выполнение следующих трёх условий:
1.) функция f(x) определена в точке х0 и в её окрестности;
2.) функция f(x) имеет предел, при х®х0;
3.) предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке.
Разрывы функций классифицируются следующим образом.
Разрыв первого рода.
Определение 2: Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) имеет конечные правый и левый пределы и
а) если правый и левый пределы равны друг другу, но не равны значению функции f(x) в этой точке, то х0 называется точкой устранимого разрыва.
б) если правый и левый пределы не равны друг другу, то х0 называется точкой конечного разрыва и имеет место скачок функции.
Скачок функции находится по формуле:
Разрыв второго рода.
Определение 3: Точка х0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов, или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.
Например: пусть х0=2
1) – 2) – 3) – | 1) – 2) – 3) – | ||
функция f(x) определена в окрестности точки х0, но не определена в точке х0; разрыв II рода; | функция f(x) определена в окрестности точки х0, но не определена в точке х0; разрыв I рода; точка конечного разрыва; скачок равен 2 | ||
1) – 2) + 3) – | 1) + 2) – 3) – | ||
функция f(x) определена в окрестности точки х0, но не определена в точке х0; разрыв I рода; точка устранимого разрыва; | функция f(x) определена точке х0, и в её окрестности; разрыв I рода; точка конечного разрыва; скачок равен 2 | ||
1) + 2) + 3) – | 1) – 2) – 3) – | ||
функция f(x) определена точке х0, и в её окрестности; разрыв I рода; точка устранимого разрыва; | функция f(x) определена точке х0, но не определена в её окрестности; разрыв II рода; | ||
1) – 2) – 3) – | |||
функция f(x) не определена ни в точке х0, ни в её окрестности; разрыв II рода; |