Пусть на некотором промежутке X определена функция f(x) и точка х0 принадлежит этому промежутку.
Определение 1: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.
Это означает выполнение трёх условий:
1.) функция f(x) определена в точке х0 и в её окрестности;
2.) функция f(x) имеет предел, при х®х0;
3.) предел функции в точке х0 равен значению функции в этой точке.
Итак, при нахождении предела непрерывной функции f(x) можно в функцию f(x) вместо аргумента x подставить его предельное значение х0.
Определение 2: «на языке последовательностей» Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любой последовательности значений аргумента х: х1, х2, …, хn, ..., сходящейся к х0, последовательность соответствующих значений функции f(x): f(x1), f(x2), …, f(xn), ..., сходится к f(x0).
Определение 3: «на языке e-d» Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если для любого e>0 существует d>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству |х—х0|<d, выполняется неравенство |f(x)-f(x0)|<e.
Определение 4: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 справа (слева) если односторонний предел функции и её значение в этой точке равны, т. е.
Если функция непрерывна точке х0 и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.
Из определения 1 следует следующее:
Определение 5: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 если её приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при Dх®0
Все определения непрерывности равносильны.
Теорема 1: Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х0. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)·g(x), f(x)/g(x) также непрерывны в этой точке (последняя при g(х0)¹0).
Теорема 2: (о непрерывности сложной функции) Пусть функция z=j(x) непрерывна в точке х0, а функция y=f(z) непрерывна в точке z0=j(х0). Тогда сложная функция у=f[j(х)] непрерывна в точке х0.