Понятие о пиловочном сырье

Сырьемлесопильного производства являются хлысты, брёвна и кряжи, удовлетворяющие по размерам и качеству требованиям стандартов на пиловочное сырьё. Требования к древесным хлыстам хвойных и лиственных пород определяют ТУ13-0273685-408-92. Ими установлены три группы качества хлыстов, которые оцениваются выходом деловой древесины. Для первой группы качества выход деловой древесины для хвойных пород – не менее 80 % от объёма хлыста, твёрдых лиственных пород – не менее 70 %, мягких лиственных пород и берёзы – не менее 60 %. Для второй группы качества выход хвойных пород должен составлять 79…50 %, твёрдых лиственных пород – 69…40 %, мягких лиственных пород и берёзы – 59…40 %. Для третьей группы качества выход хвойных пород не менее 50 %, лиственных – не менее 40 %.

Хлыст представляет собой ствол спиленного дерева без вершины, очищенный от сучьев.

Бревно или кряж – часть хлыста, полученная поперечным делением его на части.

 

Описание формы хлыста и бревен с помощью математических моделей

При раскрое брёвен на пилёную продукцию необходимо учитывать особенности их формы, размеры и качество. Изучением формы древесных стволов и разработкой методов определения их объёмов занимается специальная наука – лесная таксация.

По данным лесной таксации, стволы деревьев, выросшие в густом лесу, близки к формам геометрических тел, только одиноко растущие деревья имеют неправильную форму.

Площадь поперечного сечения круглых материалов принято исчислять по формуле площади круга со средним диаметром, равным полусумме 2-х диаметров, измеренных во взаимно перпендикулярных направлениях.

Диаметр древесного ствола уменьшается от комля к вершине. Уменьшение диаметра, приходящееся на единицу длины, называют сбегом. Для оценки сбега отдельных брёвен (S_ср, см/м), определяют средний сбег, представляющий собой отношение разности между диаметрами в нижнем и верхнем торцах к длине бревна L.

, (2)

где - диаметр на расстоянии 1 метр от комля.

На рис. 1 показано продольное сечение ствола дерева.

Математическая модель поверхности хлыстов, характеризующая образующую частей ствола (образующая – линия пересечения плоскости, секущей хлыст по оси, с его поверхностью) точнее всего выражается следующим образом (по лесной таксации):

, (3)

где y – радиус поперечного сечения ствола;

с – расстояние сечения от начала координат;

b – показатель степени, характеризующий форму образующей. По исследованиям профессора Н.П. Анучина, b колеблется от 0 до 3 в разных условиях роста и в разных частях ствола.

Рис. 1. Продольное сечение древесного ствола

 

Современные информационные технологии лесопиления базируются на индивидуальном подходе к раскрою каждого хлыста, бревна. Это требует более точного математического описания их формы поверхности и пороков, то есть создания многомерных математических моделей, которые были бы адекватны реальным.

Отдельные части ствола приближаются к четырём геометрическим фигурам: комлевая - к нейлоиду, вершинная - к конусу, середина - к параболоиду второго порядка или цилиндру.

Полиномиальная модель. Наибольшее распространение в теории и практике автоматической раскряжевки хлыстов получила математическая модель В.С.Петровского (рис.2), выражаемая полиномом четвертого порядка вида [д5]:

, (1.1)

где 2х – диаметр хлыста на расстоянии l от комлевого среза, см;

d_0.5 – диаметр на половине длины хлыста, см;

Н – длина хлыста, м;

А₄, А₃, А_2, А₁, А₀ – эмпирические коэффициенты, имеющие свое значение для каждой породы и бонитета (условий произрастания) древесины.

На основании (1.1) получена модель формы пиловочного бревна как параболоида вращения с уравнением образующей:

, (4)

где - диаметр бревна в сечении x , см;

d – диаметр бревна в верхнем торце, см;

x – расстояние от анализируемого сечения до комлевого среза, м;

L – длина бревна, м;

A, B, C - коэффициенты, зависящие от породы, места произрастания, места вырезки бревна из хлыста.

 

Рис. 2. Модель поверхности хлыста В.С. Петровского

 

Эта модель базируется на предположении о стабильности формы древесных стволов. Достоинством является относительно простой аналитический вид, однако в этом же и основной недостаток, так как любые отклонения в форме и размерах приводят к снижению выхода пиломатериалов.

Эллиптическая модель. Ранее наблюдалось стремление к созданию «универсальной формы дерева». С появлением систем датчиков и ЭВМ это положение качественно меняется. Предполагается, что брёвна могут иметь кривизну оси, эллиптичность поперечного сечения, а образующая поверхности имеет вид, отличный от полиномиального (рис. 3).

 

 

Рис. 3. Модель поверхности хлыста Пижурина-Розенблита: а – расположение хлыста в системе координат oxyz; б – поперечное сечение хлыста

 

А.А. Пижуриным и М.С. Розенблитом [д6] предложена эллиптическая модель:

, (5)

где и - координаты центра эллипса;

a и b – размеры полуосей эллипса.

Ось Z проходит через центры комлевого О и вершинного О^″ сечений хлыста. Поверхность хлыста описывается в произвольной форме и задаётся системой функций:

. (6)

В этой модели поверхность хлыста описывается в общем виде горизонтальной и вертикальной образующими хлыста, а сечение имеет форму эллипса.

Сплайновая модель. При сложной форме оси хлыста или в случае многократной кривизны полиномиальная интерполяция даёт значительные погрешности в промежутке между узлами (координатами) оси бревна. Эти недостатки компенсируются с использованием сплайн-функций. Сплайн-функция или просто сплайн – функция с кусочной структурой и повторяющимся на каждом звене строением, но с различными значениями параметров. Слово «сплайн» происходит от названия гибких лекальных линеек, которыми издавна пользовались английские корабельщики.

А.А. Янушкевич, М.И. Кулак, М.К. Яковлев для математического описания поверхности хлыста используют трёхмерную геометрическую модель, то есть одномерные кубические сплайны [д9]. Использование модели на основе сплайнов позволяет практически с полной адекватностью описать раскраиваемый объект и учесть все геометрические особенности его формы.

Моделью может служить некоторая протяженная двусторонняя поверхность, гомеоморфная конечному цилиндру с замкнутой направляющей [28]. Можно считать, что она представлена своим точечным каркасом – матрицей значений:

|| z_ij ||; i = 1, 2, ..., N; j = 1, 2, ..., M, (1.10)

заданных некоторым регулярным образом в узлах сетки:

D = Dх + Dу;

Dх: a = x₁ < x₂ < ... < x_N = b; (1.11)

Dy: с = y₁ < y₂ < ... < y_M = d.

Точечный каркас поверхности может быть образован одним из простейших способов, когда сетка D и матрица || z_ij || представляют собой значения прямоугольных декартовых координат соответствующих точек поверхности, лежащих на параллельных сечениях ее двумя семействами взаимно ортогональных плоскостей определенного направления, например, параллельных координатным плоскостям ХОУ и ХОZ (рис. 4). Этот способ формирования точечного каркаса поверхности бревна задает направление двух семейств координатных линий: первое образовано замкнутыми линиями поперечных сечений S_м, второе состоит из образующих боковой поверхности бревна t_N. Если значения точечного каркаса получены из точных измерений, то естественным способом аппроксимации таких данных является интерполяция в виде сплайна:

;

x, yÎ R_ij; i = 1, 2, ..., N – 1; j = 1, 2, ..., M – 1, (1.12)

со значениями, заданными матрицей (1.10) на сетке узлов (1.11).

 

 

Рис. 4. Каркас поверхности бревна

 

Так как геометрическая модель поверхности бревна относится к замкнутым поверхностям, то удобно использовать ее параметрическое представление:

(1.13)

где t и s – параметры, связанные соответственно с первым и вторым семействами координатных линий.

Параметризация поверхности, заданной узлами точечного каркаса, может быть проведена следующим образом. Выбрав две каркасные линии из разных семейств, представленные в дискретно-точечной форме, и введя для каждой из них параметризацию по суммарной длине хорд, получают сетки Dt и Ds, объединение которых дает двумерную сетку:

D = Dt ´ Ds; Dt : 0 = t₁ < t₂ < ... < t_N = 1;

Ds : 0 = s₁ < s₂ < ... < s_M = 1, (1.14)

причем R : [0,1] ´ [0,1] – единичный квадрат.

Задачу интерполяции поверхности бревна можно переформулировать в новых обозначениях так: найти бикубические сплайны С_x (t, s), С_y (t, s) и С_z (t, s) вида (1.12 ) со значениями соответственно || х_ij ||, || y_ij ||, || z_ij ||, заданными в узлах сетки (1.14).

Следовательно, моделирование поверхности сводится к построению трех бикубических сплайнов на общей сетке узлов. Алгоритм построения бикубического сплайна основан на том, что на линиях сетки, например s = s_j, j = 1, 2, ..., M, сплайн С (t, s_j) и его частные производные по s являются кубическими от переменной t. Для однозначного определения коэффициентов сплайна требуется задавать дополнительные условия на границе области. В данном случае целесообразно выбирать так называемые смешанные граничные условия, а именно: для переменной t – условия периодичности сплайна С (t, s) и его частных производных по t до порядка 2 включительно, а для переменной s – значения первых частных производных по s на границах s = s₁, s_M в точках t_i, i = 1, 2, ...,N – 1.

Построение сплайнов С_y (t, s) и С_z (t, s) осуществляется аналогично.

Таким образом, построение бикубического сплайна сводится к решению 2N + M систем уравнений: по М + 2 на первом и по N – 1 на втором и третьем шагах. Моделирование же поверхности бревна требует, как это следует из (1.13), решения в общей сложности W = 3(2N + M) одномерных задач. Если принять среднюю длину бревна L_ср = 5м и предположить, что точечный каркас задается через каждый метр его длины восьмиточечной сеткой поперечных сечений, то W=3(2×9+6)=72.При использовании другого варианта алгоритма, где переменные t и s переставлены местами, W = 3(2 × 6 + 9) = 63. Поэтому при реализации алгоритма быстродействие применяемых вычислительных средств должно быть достаточно высоким.

Практическое применение всех этих моделей связано с построением соответствующих алгоритмов раскроя сырья и созданием оборудования, обеспечивающего необходимые измерительные, вычислительные и технологические функции.

 

Определение объемов бревен

Существует три способа определения объёма хлыстов и брёвен: аналитический, физический и табличный.

Аналитический способ основывается на существовании функциональной связи между площадью поперечного сечения и высотой ствола дерева.

Формула Губера (срединного поперечного сечения):

, (7)

где V_c – объем ствола, м³;

- площадь поперечного сечения на половине длины ствола, м²;

- длина ствола, м.

Формула Смалиана (концевых поперечных сечений):

, (8)

где F₀ и F_L - площади поперечных сечений соответственно нижнего и верхнего торцов, м².

Формула Госфельда:

, (9)

где и - площади сечений на расстоянии и L от комлевого среза, м².

Физический способ определения объёма включает в себя два способа.

Ксилометрический способ основан на известном законе физики: тело, погруженное в жидкость, вытесняет её в объёме, равном своему объёму. Прибором для измерения объема бревен этим способом является ксилометр - металлический сосуд, снабжённый мерными трубками. Объём круглых лесоматериалов определяется по уровню жидкости в мерной трубке.

Весовой способ основан на том же физическом явлении: тело, погружённое в жидкость, теряет в весе столько, сколько весит вытесненная им жидкость. Прибор называется гидростатическими весами. Круглый материал сначала взвешивается в воздухе, а затем в воде. Разница между весом лесоматериала в воздухе и в воде представляет собой вес воды, вытесненной древесиной. По массе вытесненной воды вычисляют её объём, совпадающий с объёмом круглого лесоматериала. (Физические способы трудоёмки и используются только в научных целях.)

В производстве объём круглых лесоматериалов определяют табличным способом. Применяются таблицы двух видов: для нахождения объёмов по длине и диаметру (без коры) в середине сортиментов, так называемые таблицы объёмов цилиндров, и таблицы для нахождения объёмов по длине и диаметру в вершинном сечении сортимента (ГОСТ 2708-75).

Таблицы составлены по сложным формулам таксации, на основании большого числа замеров. Погрешности могут быть до ± 10 %.

В лесопильном производстве с компьютерным оборудованием определение объёмов хлыстов происходит автоматически. Считывается информация о размерно-качественных характеристиках, по соответствующим программам моделируется сечение и определяется объём.