Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл Определение. Разбиением отрезка называется набор точек этого отрезка такой, что . Отрезки называются отрезками разбиение. Максимум из длин отрезков разбиения называется параметром разбиения. Определение. Разбиением с отмеченными точками называется разбиение и набор точек . Определение. Пусть функция определена на отрезке , а - разбиение с отмеченными точками этого отрезка.Сумма , где , называется интегральной суммой функции , соответствующей разбиению с отмеченными точками . Определение.

Говорят, что число является интегралом Римана от функции на отрезке , если для любого найдется такое , что для любого разбиения с отмеченными точками отрезка , параметр разбиения которого , имеет место соотношение . Интеграл от функции по отрезку обозначается символом , числа и называются верхним и нижним пределом интегрирования соответственно; - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, - переменная интегрирования. Таким образом, . Определение.Функция называется интегрируемой на отрезке , если для нее определен интеграл Римана.

Необходимое условие интегрируемости. Утверждение. Если функция , определенная на отрезке , интегрируема на нем, то она ограничена на этом отрезке. Доказательство.Если неограниченна на , то при любом разбиении функция будет неограниченной по крайней мере на одном из отрезков . Это означает, что, выбирая соответствующим образом точку , можно сделать величину сколь угодно большой, но тогда и интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой по модулю, что означает, что конечного предела у интегральных сумм нет. Суммы Дарбу. Обозначим через и , соответственно, точные нижнюю и верхнюю грани функции на и составим суммы . Эти суммы называются, соответственно, нижней и верхней интегральных сумм, или сумм Дарбу. Для интегральной суммы , соответствующей произвольному набору отмеченных точек, очевидно, имеем . Свойства сумм Дарбу. Утверждение.

Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу может только возрасти, а верхняя только уменьшиться.

Доказательство.Для доказательства этого факта достаточно ограничиться присоединением одной точки . Пусть она попала на й промежуток: . Обозначим через новую верхнюю сумму Дарбу, от прежней она отличается только слагаемыми, соответствующими промежутку . Пусть и обозначают точные верхние границы функции, соответственно, на промежутках и . Имеем , откуда следует . Аналогично доказывается соответствующее неравенство для нижних интегральных сумм. Утверждение.

Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней. Доказательство.Пусть - верхняя и нижняя суммы Дарбу, соответствующие разбиению , а , соответствующие разбиению . Объединим точки деления этих двух разбиений в третье - , и пусть - его суммы Дарбу. Имеем . Из доказанного утверждения следует, что множество всех нижних сумм ограничено сверху (любой верхней суммой), а множество верхних сумм ограничено снизу (любой нижней). В таком случае, существуют , причем . Эти числа называются, соответственно, нижним и верхним интегралами Дарбу. Условие существования интеграла.

Теорема. Для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы . Доказательство. Необходимость. Предположим, что интеграл существует, то есть , причем предел здесь берется по всем интегральным суммам, а, значит, и . Достаточность.Пусть теперь . Тогда, перейдя в неравенствах к пределу, получим и . Обозначим колебание функции в ом частичном промежутке через , тогда , и условие существования определенного интеграла принимает вид: . Классы интегрируемых функций.

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем. Доказательство. Непрерывная на отрезке функция равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора). То есть по заданному найдется такое , что из следует . Но тогда, если , то и , откуда следует существование интеграла. Справедливо также следующее утверждение. Теорема.Если ограниченная на отрезке функция имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.

Суммы Дарбу.Необходимое и достаточное условие существования определённого интеграла.Для выяснения вопроса о существовании определённого интеграла введём в рассмотрение так называемые суммы Дарбу . Обозначим m i = int f(x) ; Mi = sup f(x)  [ xi , xi+1 ]  [ xi , xi+1] Сумма n-1 S =  mi Δx i I=0 называется нижней суммой Дарбу , n-1 а сумма S =  Мi * Δx i i=0 верхней суммой Дарбу .Так как при  i  [ xi , xi+1] m i  f ( i)  M i , то очевидно что s  б  S Геометрирческий смысл нижней и верхней сумм Дарбу пояснён на рисунке . Рассмотрим основные свойства сумм Дарбу . 1. Если к имеющимся точкам деления добавить новые точки , то нижняя сумма Дарбу может только увеличиться , а верхняя – уменьшится . 2. Докажем это свойство для верхней суммы Дарбу . Пусть к имеющимся точкам деления добавили ещё одну точку x ‘ которая попала в отрезок [ xi , xi+1] .Тогда в прежней сумме Дарбу отрезку [ xi , xi+1] соответствовало слагаемое M [ xi , xi+1]. Mi’(x’-x1) + Mi’’(xi+1- x’) Но,очевидно, что Mi’ = sup f(x) £Mi , и х  [xi ,x’] Mi’’= sup f(x)  Mi , так как супремум части х  [ xi , xi+1 ] множества не может превышать супремума всего множества . Поэтому Mi’(x’-x i) + Mi’’(xi+1- x’)  Mi (x’ –x i + xi+1- x’) = Mi (xi +1 -x i ) И поэтому новая верхняя сумма Дарбу S’  S . Для нижней суммы Дарбу доказательство аналогично . 2. Всякая нижняя сумма Дарбу меньше всякой верхней суммы Дарбу , даже если они принадлежат разным разбиениям отрезка . Пусть мы имеем два разбиения – первое и второе . Для первого смуммы Дарбу были s1 и S1 , для второго s2 и S2 . Добавим к точкам первого разбиения точки второго разбиения . При этом получим новое разбиение с суммами s3 и S3 для которых очевидно s3  S3 . Так как при таком объединении разбиений нижняя сумма Дарбу возрастает ,а верхняя убывает то s1 s3  S3  S2 откуда получаем что s1  S2 . Аналогично , s2  s3  S3  S1 т.е. s2  S1. Так как первое и вторе разбиения были произвольными , то это и доказывает наши утверждения . А теперь сделаем выводы . 1 . Множество нижних сумм Дарбу не пусто и ограниченно сверху любой верхней суммой Дарбу . Поэтому существует s up  s  =I * Где sup берётся по всем возможным разбиениям отрезка . Аналогично, множество верхних сумм Дарбу  s не пусто и ограниченно снизу любой нижней суммой Дарбу . Потому существует Int { S } = I * Где интеграл берётся по всем возможным разбиениям отрезка . I  и I * называются нижним и верхним интегралами Дарбу . Очевидно что I   I * 2. Пусть мы к имеющимся точкам деления будем добавлять новые. При этом нижняя сумма Дарбу будет возрастать . Но она ограничена сверху и поэтому , по тоеореме о монотонной функции  lim s = I    Верхняя же сумма Дарбу будет монотонно убывать , но она ограничена снизу . По той же теореме  lim S = I*    Так как пределы равны sup и int соответственно . Эти рассуждения позволяют нам доказать основную для этого параграфа теорему.

Теорема о существовании определённого интеграла . Для того чтобы существовал b необходимо и достаточно , I = &#61682; f(x)dx a чтобы lim (S-s) =0 &#61548; &#61614; &#61488; Доказательство .Обозначим для краткости b &#61682; f(x)dx = I a Необходимость . Пусть b существует &#61682; f(x)dx = I a Это означает , что &#61476; lim &#61555; = I . Согласно определению предела это означает , что &#61474; &#61541; &#61502; 0 , &#61476; &#61540; &#61502; 0 ,&#61474; &#61548; &#61500; &#61540; &#61629; I-&#61555; &#61629; &#61500; &#61541; при любом выборе точек &#61560; i или I - &#61541; &#61500; &#61540; < I+ &#61541; Но s = int &#61555; и S= sup&#61540; . Поэтому I - &#61541; &#61603; s< &#61555; <S &#61603; I+ &#61541; Откуда следует , что S-s &#61603; 2 &#61541; . Так как &#61541; сколь угодно мало , то lim (S-s) =0 &#61548; &#61614; &#61488; . Достаточность . Пусть lim (S-s)=0 . Так как limS =I*, lim s= I&#61482; , то это означает , &#61548; &#61614; &#61488; I*= I&#61482; = I . Но так как s&#61603; &#61540; &#61603; S То по теореме “о двух милиционерах “ , отсюда следует что &#61476; lim &#61555; = I &#61548; &#61614; &#61488; что и доказывает теорему В заключение запишем условие существования определённого интеграла в форме , пригодной для дальнейшего использования . Обозначим Mi – m i = w i Величина w i называется колебанием функции f(x) на отрезке [ xi , xi+1]. Явно её можно записать так wi = sup f(x) – int f(x) = sup(f(x’)-f(x”)) x &#61479; [ xi , xi+1] x &#61479; [ xi , xi 1’ ] x’,x”[ xi , xi+1] Но тогда n-1 S –s = &#61669; w i &#916;x i I=0 И мы получаем : Следствие . Для того , чтобы существовал определённый интеграл b &#61682; f(x)dx a необходимо и достаточно , чтобы n-1 lim &#61669; w i &#916;x i=0 &#61548; &#61614; 0 i=0 Именно эту формулу мы и будем в дальнейшем использовать.

Краевая задача – это задача отыскания частного решения системы , (2.1) на отрезке , причем дополнительные условия налагаются на значения функций более чем в одной точке этого отрезка.

Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций; тогда для системы р-го порядка (2.1) они примут вид (2.2) Существуют задачи с еще более сложными дополнительными условиями.

Заметим, что дифференциальное уравнение порядка р (2.3) где &#8722; производная порядка может быть сведено к системе дифференциальных уравнений вида (2.1) заменой переменных (2.4) Действительно, по замене (2.4) и уравнение (2.3) сведется к следующей системе вида (2.1): Здесь последнее уравнение получено подстановкой (2.4) в (2.3). Примером простой краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка является задача нахождения статического прогиба нагруженной струны с закрепленными концами (2.5) Здесь f(x) – внешняя изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны.

Заметим, что общая краевая задача (2.1) может: • не иметь решений; • иметь единственное решение; • иметь несколько и даже бесконечно много решений.

Примеры: Краевая задача имеет бесконечно много решений С – произвольная постоянная.

Краевая задача при имеет единственное решение , а при вовсе не имеет решений.

В дальнейшем будем предполагать, что решение краевой задачи существует.

Рассмотрим более подробно важный частный случай, когда дифференциальное уравнение и краевые условия линейны.

Такая краевая задача называется линейной краевой задачей. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка сокращенно можно записать в виде (2.6) где причем обычно предполагается, что &#8722; известные непрерывные функции на данном отрезке . Для простоты будем предполагать, что в краевые условия входят две абсциссы и &#8722; концы отрезка . Такие краевые условия называются двухточечными.

Краевые условия называются линейными, если они имеют вид (2.7) где и &#8722; заданные постоянные, причем Например, краевые условия, приведенные в предыдущих примерах, линейны.

Линейными краевыми условиями являются также условия периодичности, которые в случае дифференциального уравнения второго порядка имеют вид Линейная краевая задача называется однородной, если: • во-первых, то есть дифференциальное уравнение (2.6) однородно, и, • во-вторых, то есть имеют место однородные краевые условия.

В противном случае краевая задача (2.6)-(2.7) называется неоднородной. Пример 1. Рассмотрим задачу об изгибе горизонтальной балки длиной , лежащей на двух опорах и , под действием распределенной поперечной нагрузки с линейной плотностью (рис. 1). Рис. 1. К задаче об изгибе горизонтальной балки Из курса сопротивления материалов известно, что вертикальный прогиб однородной балки приближенно удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению (2.8) где &#8722; жесткость балки при изгибе, причем изгибающий момент М и поперечная сила Q определяются из соотношений и . Краевые условия зависят от способа заделки концов балки.

Приведем основные случаи. 1. Конец свободен.

Нулю равны изгибающий момент М и поперечная сила Q. Поэтому краевые условия для свободного конца балки есть и (2.9а) 2. Конец опирается шарнирно.

Нулю равны прогиб у и изгибающий момент М. Поэтому краевые условия для шарнирно опирающегося конца есть и (2.9б) 3. Конец жестко заделан.

Нулю равны прогиб у и угол поворота . Поэтому краевые условия жестко заделанного конца есть и (2.9в) Возможны также другие более сложные случаи краевых условий.

Задача (2.8) &#8722; (2.9), очевидно, является линейной краевой задачей. Пример 2. Пусть жесткость балки EI постоянна, тогда уравнение (2.8) для прогиба у заменяется следующим уравнением: (2.10) Предположим, что балка шарнирно закреплена на конце и жестко заделана на конце . В таком случае для прогиба у выполнены краевые (граничные) условия: (2.11) Краевые условия (2.11) являются, очевидно, линейными однородными.

Краевую задачу (2.10) &#8722; (2.11) решить нетрудно. Предполагая для простоты, что плотность нагрузки постоянна: будем иметь Из граничных условий (2.11) вытекает Таким образом, искомое решение есть Этот пример показывает, что в случае, когда можно найти общее решение дифференциального уравнения, двухточечная краевая задача не более трудна, чем задача с начальными условиями.

Однако если общее решение уравнения не может быть найдено регулярным путем, то решение краевой задачи приводит к новым трудностям, так как не имеется начальной точки, исходя из которой, можно было бы построить решение одним из рассмотренных выше методов.