Теоретические сведения

В изгибаемой детали создается неоднородное поле напряжений: одна часть в сечении оказывается растянутой, другая сжатой. Эти части разделяются нейтральным слоем, размеры которого при деформировании не изменяются и в котором отсутствуют нормальные напряжения. Нейтральный слой включает центры тяжести поперечных сечений изгибаемого бруса.

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения бруса при его изгибе определяется по формуле

[МПа]

где M_x - изгибающий момент в поперечном сечении, Н*мм; I_x - осевой момент инерции, мм; y - координата рассматриваемой точки относительно нейтрального слоя сечения, мм.

В данной работе исследуются теоретически и экспериментально напряжения и деформации бруса прямоугольного сечения, установленного на две шарнирные опоры и нагруженного посредине силой Р. В силу симметрии балки и схемы ее нагружения можно рассматривать зависимости для изгибающего момента,и прогиба только для левой половины бруса (0 < z < l/2 )

Рис.1

Схема испытаний бруса на изгиб: а - схема нагружения балки;

1 - 5 - тензодатчики; б- эпюра изгибающего момента;

в - эпюра прогибов; г - эпюра распределения напряжения по высоте балки.

Изгибающий момент в поперечном сечении с координатой z для исследуемого бруса равен

момент инерции прямоугольного сечения –

Следовательно, теоретическое значение нормального напряжения в произвольной точке бруса

где z и y - координаты выбранной точки поперечного сечения

Для теоретического определения прогиба ν в произвольном

сечении используют дифференциальное уравнение упругой линии

Подставив в правую часть уравнения (3) выражение изгибающего момента и проинтегрировав дважды, получим

Это уравнение, как и выражение для изгибающего момента
справедливо при 0 < z < l/2 . Ввиду симметрии в данном случае достаточно рассмотреть только одну половину бруса. Достоянные интегрирования С₁ и С₂ определяют из граничных условий:

при Z = 0 V = 0;

при Z = l/2 V'= 0;

откуда следует C₁ =0; С₂ = Pl³/(16EI_x)

В результате подстановки постоянных уравнение упругой линии принимает вид