Расчет статически неопределимой арки

Задание. Для двухшарнирной арки или арки с за­тяжкой (рис. 29), с выбранными по шифру из табл. 9 размерами и нагрузкой, требуется построить эпюры из­гибающих моментов, поперечных и продольных сил.

Рисунок – 29

 

Таблица 9

Первая цифра шифра	l, м	α	Вторая цифра шифра	f|l	q1, Т/м	q2, Т/м	Последняя цифра шифра	Очертание оси	№ схемы
		0,25		0,20				Окружность
		0,30		0,30				Парабола
		0,35		0,16				Окружность
		0,40		0,25				Парабола
		0,45		0,40				Окружность
		0,50		0,32				Парабола
		0,55		0,15				Окружность
		0,60		0,18				Парабола
		0,65		0,22				Окружность
		0,70		0,14				Парабола

 

Методические указания

Решению задачи должно предшествовать изучение темы 7.

При вычерчивании оси арки необходимо руковод­ствоваться указаниями к задаче 2 (см. стр. 48). В це­лях сокращения объема вычислительной работы можно ограничиться рассмотрением лишь шести точек оси арки, включая сюда и два опорных шарнира.

 

Все расчеты целесообразно проводить в табличной форме, построив предварительно эпюры моментов и поперечных сил (М₀

и Q₀) для выбранной основной системы. Форму сечения арки следует принять прямоугольной с высотой, меняющейся по закону

,

где d_c – высота сечения посредине.

В первую очередь вычисляются ординаты исследуемых точек оси и угловые характеристики касательных в данных точках. В зависимости от заданного очертания (парабола или окружность), рекомендуется следующая форма таблиц:

а) при очертании оси по параболе:

№ точки	x	l-x	x(l-x)	y=(4f/l2)x(l-x)	l-2x	tgφ=(4f/l2)x(l-x)	φ	sin φ	cos φ

а) при очертании оси по окружности:

№ точки	x	l/2-x	(l/2-x)2			l-2x	sin φ=(l-2x)/2R	y+R-f	cos φ=(y+R-f)/R

 

 

Как известно, в формулы единичных и грузовых пе­ремещений, входящих в каноническое уравнение метода сил, входят величины . Разделив ось арки на участки с равными величинами их проекций (Δх), получим:

и вынеся за знак суммы величину EI_С, получим в каж­дом слагаемом множитель

Откуда отношение

Таким образом, в продолжение расчетной таблицы войдут величины для каждого из выбранных сечений

 

Продолжение

№ точки		y2		Mp	yM
Сумма	EIcδ1,1	Сумма	EIcΔip

 

Если основная система двухшарнирной арки приня­та путем отбрасывания одной из горизонтальных свя­зей (например, на опоре В) и замены ее горизонталь­ной силой, направленной внутрь пролета (влево), то сумма величин, полученных в графе 13, даст коэффи­циент при неизвестном в каноническом уравнении, а сумма величин из графы 15— свободный член этого уравнения со знаком минус.

 

Для арки с затяжкой основная система обычно об­разуется путем разрезания затяжки. Лишним неизвест­ным здесь будет растягивающее усилие в затяжке. Для получения значения коэффициента при неизвест­ном в этом случае следует принять сумму величин из графы 13 с добавлением величины , учитывающей податливость самой затяжки. Здесь E₃ и F₃ — соответст­венно модуль упругости и площадь сечения затяжки. В расчете следует принять, что

Итак, для арки с затяжкой коэффициент при X будет:

Определение неизвестных производится по формуле

Подсчет ординат окончательных эпюр моментов, по­перечных и продольных сил, также лучше произвести в табличной форме:

№ точки	-yx1	M=M0-yx1 Т·м	Проверка	Q0, T	Поперечная сила	Продольная сила
Мy·Δx/cos4φ	Q0 cosφ	x sinφ	Q=Q0 cosφ- x sinφ	Q0 sinφ	x1 cosφ	N=(Q0 sinφ + +x1cosφ)
		Сумма

 

При проверке сумма величин, подсчитанных в гра­фе 18, для двухшарнирной арки, должна быть равна нулю, а для арки с затяжкой величине

 

10. Расчёт статически неопределимой фермы

 

Задание. Для статически неопределимой ферму (рис. 30), выбранной, по шифру из табл. 10 размера­ми и нагрузкой, требуется определить усилия во всех стержнях.

 

Таблица 2

Первая цифра шифра	d, м	Площади сечений	Вторая цифра шифра	P, T	Площади сечений	Последняя цифра шифра (№ схемы)	h, м
нижний пояс	верхний пояс	решетки	элементов шпренгеля
	3,0	F	1,5 F			1,2 F	F		3,2
	3,2	1,2 F	1,7 F			F	1,5 F		3,0
	3,5	1,4 F	2 F			2 F	0,8 F		3,1
	2,9	1,6 F	1,6 F			0,8 F	1,1 F		2,9
	3,3	1,8 F	1,4 F			0,9 F	0,9 F		3,3
	3,4	1,3 F	1,3 F			1,3 F	1,2 F		3,4
	3,6	1,5 F	F			1,1 F	1,3 F		3,5
	3,1	1,7 F	1,1 F			1,5 F	1,4 F		3,6
	3,7	1,1 F	1,2 F			0,7 F	1,6 F		3,7
	3,8	2 F	1,8 F			1,4 F	0,7 F		3,8

 

Методические указания

 

Решению задачи должно предшествовать изучение темы 9.

Основную систему удобнее выбрать симметричной — это значительно сократит объем вычислительной рабо­ты. Если за неизвестное принято усилие в стержне, то этот стержень не выбрасывается и поэтому усилие в нем должно учитываться в расчете. Определив уси­лия во всех стержнях основной системы от единичной силы и от заданной нагрузки, заполняем расчетную таблицу (см, стр. 70).

Здесь за величину F_o удобно принять F. Растяги­вающие усилия в стержнях должны иметь знак плюс, а сжимающие—минус.

Сумма величин, подсчитанных в графе 7, дает зна­чение коэффициента канонического уравнения EF₀δ_1,1, а в графе 8 — значение свободного члена EF₀Δ_1,p.

Рисунок 30

 

№ стержня	S м	F0/F	N1 T	Np T	N1 S (F0/F)	N21 S (F0/F)	N1 Np S (F0/F)	N1 x1	N=Np+N1x1	Проверка
N N1 S (F0/F)
Сумма	EF0δ1,1	EF0Δ1,p

 

После подсчета этих величин следует определить значение неизвестного

и затем заполнить последующие графы (9—11). В по­следней графе надо произвести проверку решения, под­считав сумму всех величин, которая должна быть рав­на нулю или близкой к нему (с ошибкой не более 3%).