Решение

 

Заданная балка дважды статически неопределима: n = C_оп – 3 = 2, где C_оп = 5 – число связей

Выбираем основную систему

 

 

с

l1

l2

l3

М0

М1

М2

М3

 

Составляем канонические уравнения, пользуясь формулой и основной системой

 

M₀l₁ + 2M₁•(l₁+ l₂) + M₂l₂ = -6EJ(φ⁰_1,1 + φ⁰_1,2);

M₁l₂ + 2M₂•(l₂+ l₃) + M₃l₃ = -6EJ(φ⁰_2,2 + φ⁰_2,3);

 

Определяем углы поворота φ⁰_1,1, φ⁰_1,2, φ⁰_2,2, φ⁰_2,3

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

 

Р

 

М₀ = Р • с = -33 (т•м);

М₃ = 0;

l1

с

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

Для φ⁰_1,1:

Пролёт №1 не имеет внешних нагрузок, следовательно: φ⁰_1,1 = 0;

 

 

Для φ⁰_1,2:

 

 

 

φ⁰_1,2 = q₁ • l₂³/(24EI) = 91,54/(EI)

 

q1

l2

φ⁰_2,2 = φ⁰_1,2 = 91,54/(EI)

 

Для φ⁰_2,3:

 

 

 

φ⁰_2,3 = q₂ • l₃³/(24EI) = 30,38/(EI)

 

q2

l3

 

Подставляем известные значения в систему и решаем её:

 

-33 •6 + 2M₁•(6+ 13) + M₂ • 13= -6 • 91,54

M₁ • 13 + 2M₂•(13+ 9) = -6 • (91,54 + 30,38)

 

-198 + 38M₁ + 13M₂ = -549,24

13M₁ + 44M₂ = -731,52

 

M₁ = -(351,24 + 13M₂)/38

M₁ = -(731,52 + 44M₂)/13

 

13 • (351,24 + 13M₂) = 38 • (731,52 +44M₂)

1503М₂ = - 23231,64

М₂ = -15,46 (т • м);

М₁ = -(351,24 - 13 • 15,46)/38 = -3,95 (т • м);

Для построения эпюры M и Q используем полученные опорные моменты, а также нагрузку, приведённую в задании.

 

 

Строим эпюры М и Q, рассматривая каждый пролёт отдельно.

y

Пролёт 0-1

l1

с

Р

R0

R1

M1

x0

x1

x

 

 

∑M₁ = M₁ + R₀ • l₁ – P • (l₁ + c) = 0

R₀ = (P • (l₁ + c) – M₁)/l₁ = (11 • 9 – 3,95)/6 =15,84 (т);

∑M₀ = M₁ + R₁ • l₁ – P • c = 0

R₁ = (P • c – M₁)/l₁ = (33 – 3,95)/6 = 4,84 (т);

∑Y = R₀ – P – R₁ = 15,84 – 11 – 4,84 = 0;

 

Q_x0 = -P = -11(т);

M_x0 = -P • c;

M₀ = 0; M_0,5 = -5,5(т•м); M_c = -33(т•м);

Q_x1 = R₀ – P = 4,84 (т);

M_x1 = –P • (c + x₁) + R₀ • x₁;

M₀ = -11 • 3 = -33(т•м);

M_1,5 = -11 •4,5 + 15,84 •1,5 = -25,74(т•м);

M₃ = -11 •6 + 15,84 •3 = -18,48(т•м);

M_4,5 = -11 •7,5 + 15,84 •4,5 = -11,22(т•м);

M₆ = -11 •9 + 15,84 •6 = -3,96(т•м);

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

l1

с

Р

R0

R1

M1

M

Q

4,84

3,95

 

 

 

y

R2

R1

Пролёт 1-2

 

l2

q1

M2

M1

x

x2

 

∑M₁ = M₁ – M₂ – q₁•(l₂²/2) + R₂•l₂= 0;

R₂ = (M₂ – M₁ + q₁•(l₂²/2))/l₂ = (15,46 – 3,95 + 0,5•1,0•13²)/13 = 7,38 (т);

∑M₂ = M₂ – M₁ – q₁•(l₂²/2) + R₁•l₂= 0;

R₁ = (M₁ – M₂ + q₁•(l₂²/2))/l₂ = (3,95 – 15,46 + 0,5•1,0•13²)/13 = 5,62 (т);

∑Y = R₁ + R₂ – q₁ • l₂ = 7,38 + 5,62 – 1,0 • 13 = 0;

 

Q_x2 = R₁ – q₁•x₂;

Q₀ = R₁ = 5,62(т); Q_l2 = 5,62 – 1,0•13 = -7,38(т);

Q_a = R₁ - q₁•a = 0; => a = R₁/q₁ = 5,62/1,0 = 5,62(м);

M_x2 = R₁•x₂ – M₁ – q₁•(x₂²/2);

M₀ = -3,95(т•м);

M_3,25 = 5,62•3,25 – 3,95 – 0,5•1,0•3,25² = 9,03(т•м);

M_a =5,62•5,62 – 3,95 – 0,5•1,0•5,62² = 11,84(т•м);

M_6,5 = 5,62• 6,5 – 3,95 – 0,5 • 1,0 • 6,5² = 11,46(т•м);

M_9,75 = 5,62•9,75 – 3,95 – 0,5•1,0•9,75² = 3,31(т•м);

M₁₃ = 5,62• 13 – 3,95 – 0,5 • 1,0 • 13² = -15,42(т•м);

 

Пролёт 2-3

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

l3

q2

M2

x

x3

y

R2

R3

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист

∑M₂ = M₂ – q₂•(l₃²/2) + R₃•l₃= 0;

R₃ = (–M₂ + q₂•(l₃²/2))/l₃ = (-15,46 + 0,5•1,0• 9²)/9 = 2,78(т);

∑M₃ = M₂ + q₂•(l₃²/2) – R₂•l₃= 0;

R₂ = (M₂ + q₂•(l₃²/2))/l₃ = (15,46 + 0,5•1,0•9²)/9 = 6,22(т);

∑Y = R₃ + R₂ – q₂ • l₃ = 2,78 + 6,22 – 1,0•9 = 0;

 

Q_x3 = q₂•x₃ – R₃;

Q₀ = -R₃ = -2,78(т); Q₉ = 1,0•9 – 2,78 = 6,22(т);

Q_b = q₂•b – R₃ = 0; => b = R₃/q₂ = 2,78/1,0 = 2,78(м);

M_x3 = R₃•x₃ – q₂•(x₃²/2);

M₀ = 0(т•м);

M₃ = 2,78• 3 – 0,5 • 1,0 • 3² = 3,84 (т•м);

M_2,78 = 2,78•2,78 – 0,5•1,0•2,78² = 3,86 (т•м);

M₆ = 2,78• 6 – 0,5 • 1,0 • 6² = -1,32 (т•м);

M₉ = 2,78• 9 – 0,5 • 1,0 • 9² =-15,40 (т•м);

 

 

Эпюры M и Q для неразрезной балки от действия постоянной нагрузки:

 

 

Изм.

Лист

№ докум.

Подпись

Дата

Лист