РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО БРУСА.

Методические указания.Предварительно проработать материал курса, в особенности: напряжения и деформации, закон Гука, механические характеристики, статически неопределимые случаи.

Задача № 1. Прямолинейный брус круглого поперечного сечения (d=2 см, l=50 см) растягивается силой P, возрастающей до предельного значения Р_т=7,536 т (рисунок 1, а) (соответствующей пределу текучести σ_т=2400 кГ/см²). Определить нагрузку предела упругости, если σ_пц=σ₀=1900 кГ/см². Найти относительную и абсолютную остаточную деформации после нагрузки и дальнейшей разгрузки, если модуль Юнга Е=1,9·10⁶ кГ/см², учитывая, что уравнение связи между σи е за пределами упругости (рисунок 1, б) можно записать как

 

(1)

где ε — деформация при σ>σ₀.

Решение. Нагрузка, соответствующая пределу упругости, будет равна:

 

 

Из уравнения (1) при ε=ε_т, σ=σ_т получаем:

 

(2)

Подставляя числовые значения, находим величину относительной деформации предела текучести:

 

Деформация предела упругости ε₀=0,001.

Пределу текучести будет соответствовать точка В диаграммы (рисунок 1, б). После разгрузки по ВС//ОА (линия Гука) остаточная деформация графически будет выражаться отрезком:
OC=OD – CD, т. е.

 

где tgα=E.

 

Рисунок 1

 

Абсолютное остаточное удлинение

 

Задача № 2. Определить нормальные напряжения в сечениях 1-1 и 2-2 ступенчатого бруса, если в нижней части сечение круглое (d=2 см), а в верхней части - квадратное (a=3 см). Найти полное удлинение бруса, если E=2·10⁶ кГ/см², с=500 см, Р₁=4 т, Р₂=8 т (рисунок 2).

Решение. Для сечения 1-1 находим σ₁=P₁/F=4000/3,14=1273

кГ/см². Для сечения 2-2: σ₂ = (Р₁ + P₂)/F=12000/9=1333 кГ/см². Определяем абсолютное удлинение:

 

 

Задача № 3. Определить напряжения, возникающие в частях ступенчатого бруса 1 и 2 (рисунок 3), если он равномерно нагревается по всей длине 2а на t=60° С.

Дано: F₁=2F₂=2F; Е=2·10⁶ кГ/см², α=0,0000125.

Решение. Освободив брус от правого защемления, находим ∆l_t=2aαt, которое приравниваем удлинению ступенчатого бруса (рисунок 3), равному

 

 

Ответ: σ₁= - 1000 кГ/см²; σ₂= - 2000 кГ/см².

 

Рисунок 2

 

Рисунок 3

 

Задача № 4. Найти площади сечений стержней 1 и 2, поддерживающих брус AD, шарнирно закрепленный в А (рисунок 4).

Дано: Р=44 т, α=45°, F₁=4/3F₂, E₁=2E₂. Допускаемые напряжения: [σ₁]=1600 кГ/см², [σ₂]=1200 кГ/см².

Решение. Составим уравнение моментов:

 

 

откуда, если sinα=0,707:

 

(3)

и уравнение совместимости деформаций:

 

 

откуда 2∆l₂=3∆l₁.

Используя выражения для удлинений, получаем

(4)

После подстановки выражения (4) в уравнение (3), находим:

 

. Имеем

 

Рисунок 4

 

Рисунок 5

 

Задача № 5. Стержни 1 и 2, поддерживающие шарнирно закрепленный брус ABC, подвергнуты охлаждению на t=40° С. Соотношения для стержней 1 и 2: Е₁=2Е₂=2·10⁶ кГ/см²; F₁=4/3F₂=80 см², α°=45°; sinα=0,707; sinβ=0,8.

Найти напряжения в стержнях от действия температуры (рисунок 5), если α=0,0000125.

Решение. Условие равновесия ∑М_А=0 дает

 

(5)

Запишем условие совместности деформаций:

 

(6)

где ∆₁ и ∆₂ - составляющие перемещений y₁ и у₂; отсюда ∆₂=2,828∆₁, где

 

 

Подставляя эти выражения в (6) и учитывая соотношение (5), после соответствующих преобразований получаем

 

 

Откуда N₁=81650 кГ=81,65 т, N₂=28,9 т, σ₁=N₁/F₁=1020 кГ/см², σ₂=N₂/F₂=482 кГ/см², т. е. стержни растянуты.

 

 

Глава 2.