ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

При оценке прочности различных конструкций и машин часто при­ходится учитывать, что многие их элементы и детали работают в усло­виях сложного напряженного состояния.

В гл. III было установлено, что напряженное состояние в какой-чнбо точке тела полностью определяется одним главным напряжением при линейном напряженном состоянии, двумя при плоском и тремя при объемном напряженных состояниях.

При возрастании действующей нагрузки главные напряжения бу­дут соответствующим образом увеличиваться и при некотором опре­деленном их значении наступит опасное, или так называемое предель­ное., нааряснсенкое состояние материала в исследуемой точке.

Для пластичного материала за предельное принимается такое напряженное состояние, при котором начинают развиваться заметные остаточные (пластические) деформации.

Для хрупкого материала предельным считается напряженное сос­тояние, которому соответствует начало разрушения.

Чтобы оценить, насколько опасно то или иное напряженное сос­тояние, и определить соответствующий коэффициент запаса, необхо­димо было бы опытным путем установить значения главных напряже­ний, при которых наступает предельное напряженное состояние. Вы­полнение такой задачи, однако, оказывается простым лишь при одно­осном растяжении (сжатии).

Предельное значение единственного в этом случае главного напря­жения определяется непосредственно из опыта * и принимается рав­ным пределу текучести о, для пластичных материалов и пределу прочности а„ для хрупких.

Таким образом, если известна расчетная величина напряжения а, то коэффициенты запаса по отношению к указанным пределам равны **

■ц«.£; "в=°;-. (12.1)

Результаты многочисленных опытов с одноосным растяжением и сжатием, т. е. при линейном напряженном состоянии, накопленные в течение длительного времени, позволяют в этом случае с достаточной полнотой судить о величине предельных напряжений для различных материалов.

Иначе обстоит дело при плоском и объемном напряженных состоя­ниях. В этих случаях развитие деформаций и разрушение материала

происходят уже при действии двух или трех главных напряжений, для которых число встречающихся на практике соотношений по ве­личине и знаку не ограничено. Поэтому число опытов, которые необ­ходимо было бы провести для выявления предельных значений напря­жений, также велико, и в связи с этим постановка таких опытов весьма затруднительна и практически неосуществима.

Имеющаяся в настоящее время техника для экспериментального исследования сложного напряженного состояния позволяет пока про­водить испытания лишь для ограниченного числа некоторых частных соотношений между главными напряжениями.

Указанные обстоятельства приводят к необходимости создания такой методики расчета, которая позволяла бы оценить степень опас­ности любого напряженного состояния для того или иного материала, основываясь главным образом на результатах опытов при простом растяжении и сжатии.

Решение этой важной задачи осуществляется с помощью теорий, которые первоначально были названы теориями прочности.

В последнее время такие теории в целях более полной увязки их содержания с поставленной задачей называют также теориями пре­дельных напряженных состояний. Учитывая это, при изложении на­стоящей главы сохранено для нее условное, но исторически сложив­шееся название «теории прочности».

Построение таких теорий основывается на предпосылке, состоящей в том, что два каких-либо напряженных состояния считаются равно­прочными и равноопасными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся предельными.

В этом случае коэффициент запаса прочности для обоих напряжен­ных состояний при указанных условиях будет одинаковым.

В качестве одного из равноопасных напряженных состояний при­нимается одноосное растяжение, хорошо изученное экспериментально (рис. 300, я), а в качестве другого — напряженное состояние, опасность которого для данного материала необходимо оценить. В дальнейшем будем считать, что изучаемое напряженное состояние задано тремя главными напряжениями о₁, а_г и ст_э(рис. 300, б) при соблюдении сле­дующего неравенства:

Чтобы использовать принятую предпосылку, необходимо связать I лавные напряжения двух равноопасных состояний какой-либо опре­деленной зависимостью. Это оказывается возможным, если известна нищая для обоих рассматриваемых состояний причина разрушения материала или его перехода в предельное напряженное состояние.

Одаако определение истинной причины разрушения материала шляется труднейшей и в настоящее время до кониа ве разрещедшой еще задачей.

Это обстоятельство не позволило создать единую общую теорию прочности и повлекло за собой появление многих теорий, каждая из которых основывается на своей гипотезе о причине наступления предельного напряженного состояния. Исходя из такой гипотезы оставляются соответствующие расчетные условия и формулы, свя-(ывающие между собой определенной зависимостью главные напряже­ния изучаемого напряженного состояния (плоского или объемного) с главным напряжением при одноосном растяжении.

В дальнейшем излагаются основные сведения о наиболее известных теориях.

§ 96. ПЕРВАЯ, ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ

Первая теория прочности (одна из старейших) ос­новывается на гипотезе о том, что причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие нормальные напряже­ния. Обычно эту теорию называют теорией наибольших нормальных напряжений.

В соответствии с принятой гипотезой должно соблюдаться сле­дующее условие:

o_max=0i<ff_)b (12.2)

где а_х — величина наибольшего из главных напряжений для иссле­дуемого напряженного состояния; а₀ — предельное напряжение, полученное из опыта на одноосное

растяжение.

При расчете по методу предельных состояний условие (12.2) запи­шется так *:

Орасч = О₁<^, (12.3)

где R — расчетное сопротивление.

Главный недостаток теории наибольших нормальных напряжений состоит в том, что ею не учитываются два других главных напряжения: а,, а₃. В действительности же эти напряжения оказывают большое влия­ние на прочность материала. Так, например, при всестороннем (гидро­статическом) сжатии цементного кубика он, не разрушаясь, выдержи-

* В том случае, когда наибольшее по абсолютному значению будет сжимающее напряжение а₃ , в условие (12.3) вводят Яр_асч = | Оц J я соответствующее расчетное сопротивление.

вает напряжения, во много раз превосходящие предел прочности. Аналогично ведут себя и другие материалы в тех же условиях.

Выводы данной теории подтверждаются опытом лишь при растяже­нии хрупких материалов, разрушение которых происходит путем отрыва одной части материала от другой без развития заметных пла­стических деформаций.

В настоящее время первая теория не применяется и имеет лишь историческое значение.

Вторая теория прочности исходит из гипотезы о том, что причиной наступления предельного напряженного состояния в ма­териале являются наибольшие удлинения. Эта теория получила назва­ние теории наибольших удлинений.

Для объемного напряженного состояния, когда главные дефор­мации е_х > е₂ > е₃, общее условие, отвечающее принятой гипотезе, запишется так:

е_тах = е₁<Ео, (12.4)

где 8j — расчетная величина наибольшего удлинения для исследуе­мого напряженного состояния; £₀ — предельное значение относительного удлинения, полученное

из опыта на одноосное растяжение. При определении е_х и ц используют известные зависимости Гука:

(б)

При этом условно считают, что зависимости (а) и (б) остаются спра­ведливыми вплоть до наступления предельного напряженного состоя­ния, что по существу отвечает хрупкому разрушению материала, которое происходит без заметных пластических деформации.

После подстановки в условие (12.4) зависимостей (а) и (б) получим

<h — M<b-H*s)<efo- (^B)

Неравенство (в) справедливо лишь при положительной левой части, которая в этом случае будет соответствовать наибольшему удли­нению, что согласуется с принятой гипотезой.

Представляя левую часть неравенства (в) как расчетное напряже­ние сг_расч, получим расчетную формулу

°расч = °1 — И- (Оо~Ь O3) С R. (12.5)

См. гл. III, § 24.

Для плоского напряженного состояния, используя для главных напряжений выражение (3.13) *, можно записать следующее условие:

Необходимо иметь в виду, что условия (12.5) и (12.6) применимы также лишь в тех случаях, когда величина а_расч положительна.

Преимущество второй теории по сравнению с первой состоит в том, что ею учитывается влияние всех главных напряжений.

С помощью этой теории можно объяснить разрушение хрупких материалов (бетон, камень) при простом сжатии, когда торцы образ­цов, через которые передается давление, смазаны маслом или парафи­ном. В этом случае, как было указано в гл. II, разрушение материала сопровождается образованием трещин, параллельных сжимающему усилию (см. рис. 48, б), что объясняется развитием линейных дефор­маций, сопутствующих расширению материала в направлении, пер­пендикулярном оси образца.

Как и первая, вторая теория недостаточно подтверждается опы­тами и в большей степени оправдывается для хрупких материалов.

Третья теория прочности строится исходя из ги­потезы, что причиной наступления предельного напряженного состояния являются наибольшие касательные напряжения. Поэтому ей присвоено название теории наибольших касательных напряжений.

Так как экспериментально установлено, что пластические дефор­мации сопровождаются сдвигами и соответствующими касательными напряжениями, то принятую гипотезу можно считать связанной с раз­витием заметных пластических деформаций.

Общее условие, которое отвечает данной теории, имеет вид

Т_тах<Т_0| (12.7)

где т_тах — расчетная величина наибольшего касательного напряжения

для исследуемого напряженного состояния; т₀ — предельное значение касательного напряжения, определяе­мое нз опыта на простое растяжение.

В случае объемного напряженного состояния при а_х > о. > о₃ наибольшее касательное напряжение определяется, как известно, полуразностью максимального и минимального главных напряжений:

напряжение т₀ находится из равенства

То-⁰?-- (б)

Таким образом, условие (12.7) можно записать так:

01 — СТз<°о- ' (в)

Обозначая левую часть неравенства как о_расч, расчетную формулу запишем в виде

Орасч^!- о, </?. (12.8)

Дли плоского напряженного состояния условие (12.8) после под­становки в него соответствующих выражений главных напряжений

 

запишется в виде

ст_расч = V(o* - а,,)² + 4т!„ =s£ R- 02.9)

На практике нередко встречаются случаи, когда а_у = 0. Положив тогда о_г = а и x_zy = т, получим

o_P*c4 = V^TW-^R. (12.10)

Основной недостаток третьей теории состоит в том, что в случаях объемного напряженного состояния ею не учитывается влияние глав­ного напряжения о_г.

Теория наибольших касательных напряжений лучше всего под­тверждается опытами с пластичными материалами, одинаково сопро­тивляющимися как растяжению, так и сжатию. Она достаточно широко используется при оценке их прочности.