ТЕОРИЯ ПРОЧНОСТИ МОРА

Во всех рассмотренных выше теориях в качестве гипотезы, уста­навливающей причину наступления предельного напряженного сос­тояния, принималась величина какого-либо одного фактора, напри­мер напряжения, удлинения, энергии.

В теории Мора в отличие от изложенных теорий не рассматриваются отдельные гипотезы, а на основе экспериментальных данных устанав­ливается определенная зависимость прочностных свойств материала от вида напряженного состояния. Для получения и обоснования такой зависимости используют предложенные Мором круги напряжений. Для объемного напряженного состояния, как известно, строят три круга

(рис. 302). Однако здесь на ос­нове имеющихся опытов не учи­тывают влияние напряжений о₂ * и считают с некоторым приближением, что прочност­ные свойства материала свя­заны только с напряжениями о, и а₃. Поэтому из трех кру­гов рассматривают лишь один, а именно наибольший. Этот круг Мор назвал главным кру­гом.

В случае, когда напряже­ния Qfj и а₃ отвечают предель­ному напряженному состоянию главный круг принято называть

материала, соответствующий им также предельным.

В качестве примера на рис. 303 изображены три предельных круга для материала, который был испытан на растяжение, сжатие и круче­ние. При этом предельные напряжения при сжатии, которые будем

обозначать о_ос, оказались больше, чем при растяжении а_ор, т. е.

о_ос > ^ао_Р-

Если провести огибающую для этих кругов, которую называют предельной огибающей, то в общем случае она будет кривой, которая пересечет ось 0 в некоторой точке _ЧС

* Опыты показывают, что ошибка от неучета напряжения о₂ не превышает 10—15%.

 

Эта точка соответствует всестороннему растяжению с предельным напряжением, определяемым абсциссой точки С (см. рис. 303). Круг Мора в этом случае обращается в точку, ввиду того что напряжения а_ь а₂ и а₃ равны между собой.

Таким образом, если имеется, несколько предельных кругов и их огибающая, то можно принять, что напряженное состояние, главный круг которого касается огибающей, будет также предельным.

На рис. 303 изображено пунктиром семейство предельных кругов с различными сочетаниями главных напряжений. Как видно из ри­сунка, огибающая кругов определяет зависимость этих напряжений от вида напряженного состояния.

Получение действительной огибающей предельных кругов, постро­енных для всевозможных напряженных состояний, неосуществимо, так как для этого потре­бовалось бы опытным пу­тем исследовать указан­ные напряженные состоя­ния. Поэтому на практике действительную огибаю­щую заменяют прямыми, касательными лишь к двум главным кругам, которые строят по данным опыта на растяжение и сжатие (рис. 304). Эти прямые являются границами об­ласти прочностных состо­яний. Вместе с тем они устанавливают линейную зависимость между напряжениями о, и а₃ всякого напряженного состояния, главный круг которого касается этих прямых:

0! = fl + to₃. (12.23)

Зависимость (12.23) получается на основе простых геометрических соотношений, вытекающих из подобия треугольников Л А₃С_яС_г и Д А_ХС_ХС₂ (рис. 304). Рассматривая эти треугольники, можно записать

где

Подстановка значений (б) в выражение (а) приводит после неслож­ных преобразований к выражению (12.23). Так как последнее должно быть справедливо и для случаев растяжения и сжатия, то можно определить коэффициенты а и b для произвольного сочетания с?! и а₃

не прибегая к указанному преобра­зованию.

Так, при растяжении о₃ = 0, а °i " ^ао_Р- Введя эти значения напря­жений в выражение (12.23), найдем, что а = а_ор.

При сжатии о₁ = 0 и о₃ = — о_ос. Следовательно, имеем

откуда

(в) (г) (12.24)

Таким образом, выражение (12.23) принимает следующий вид:

или

Соответствующая расчетная формула запишется так:

^сграсч = ^а1 — Ko₃s^R,

где R — расчетное сопротивление при растяжении.

Коэффициент К позволяет учитывать различные сопротивления материала растяжению и сжатию. Если эти сопротивления одинаковы по величине, то коэффициент К = 1, а касательные к главным кругам становятся параллельными оси а (рис. 305). Условие (12.24) в этом слу­чае будет таким же, как и для третьей теории прочности. Следовательно, оно применимо как для хрупких, так и для пластичных материалов. При этом для хрупких материалов вместо ст_ор и 0_ОС берутся соответст­вующие пределы прочности, а для пластичных — пределы текучести.

В заключение следует отметить, что теория Мора дает наиболее достоверные результаты для напряженных состояний, круги которых занимают положение в промежутке между главными кругами растяже­ния и сжатия.