МЕТОД ЭЙЛЕРА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ СИЛ. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА

Для исследования устойчивости равновесия упругих систем имеется несколько методов. Основы и техника применения этих методов изу­чаются в специальных курсах, посвященных проблемам устойчивости различных объектов, встречающихся в строительстве и машинострое­нии.

Наиболее универсальным является динамический метод, основан­ный на изучении колебаний системы вблизи заданного положения равновесия. Однако в курсах сопротивления материалов он обычно не изучается по двум причинам: во-первых, его применение требует специальных знаний в области динамики упругих систем, а во-вто­рых, и это главное, подавляющее большинство задач, встречающихся

в инженерной практике, может быть решено более простым методом — методом Эйлера.

Метод Эйлера основан на анализе разветвления возможных форм равновесия упругой системы. Рассмотрим его идею более подробно на примере центрально-сжатого, идеально прямого стержня. При малых сжимающих силах прямолинейная форма стержня является устойчивой. При больших силах, превышающих некоторое критическое значение, она является неустойчивой, а устойчивой будет криво-шнейная форма.

Таким образом, при Р > Я_кр теоретически воз­можно существование двух форм равновесия. На­именьшее значение сжимающей силы, при котором наступает разветвление форм равновесия, называется критической силой. Следовательно, при критической силе наряду с исходной прямолинейной формой как бы возможна смежная, весьма близкая к ней искрив­ленная форма. По определению Эйлера, критической силой называется «сила, требующаяся для самого ма­лого наклонения колонны». Желающим более под­робно ознакомиться с этим вопросом рекомендуем книгу В. В. Болотина «Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости» (Физматгиз, 1961).

Для вывода формулы Эйлера рассмотрим шарнирно-опертый, цент­рально-сжатый стержень постоянного сечения (рис. 356) в слегка отклоненном состоянии от прямолинейной формы.

Изгибающий момент в произвольном сечении равен

М = Pv.

Дифференциальное уравнение изгиба стержня запишется в сле­дующем виде:

ИЛИ

(15.1)

где

(15.2)

Интеграл дифференциального уравнения (15.1) имеет вид

(15.3)

Для определения значений произвольных постоянных А и В ис­пользуем граничные условия. Первое граничное условие: при z — О и v = О А = 0.

Следовательно, уравнение оси изогнутого бруса (15.3) примет вид

y = Bsinfo.₄ (15.4)

* Знак минус взят потому, что при выбранных осях координат кривизна отри­цательная, а момент положительный.

Таким образом, стержень изгибается по синусоиде. Второе граничное условие: при г=1 и о = 0В sin kl = 0. Это условие выполняется в двух случаях:

1) 5 = 0; 2) sin£/ = 0.

Первый случай нас не интересует, так как при В = 0 прогибы во всех точках равны нулю, следовательно, стержень остается прямым

Второе условие sin kl = 0 дает kl = л, 2л, Зл, ..., мл, учтя значе­ние k (15.2), получим:

Итак, получено не одно, а множество значений критических сил. Каждой критической силе соответствует своя форма равновесия (рис. 357). Подставляя найденное значение k в уравнение оси изогну­того бруса (15.4), замечаем, что при первой критической силе стержень изгибается по одной полуволне синусоиды, а при всех последующих число полуволн равно номеру соответствующей критической силы.

Интересно отметить, что равновесие, соответствующее первой форме изгиба, является устойчивым, а всем остальным — неустойчивым.

Для инженерных расчетов практический интерес представляет только наименьшая критическая сила

Эту формулу более двухсот лет назад (в 1744 г.) впервые получил Леонард Эйлер, поэтому ее называют формулой Эйлера, а определяе­мую этой формулой критическую силу часто называют эйлеровой силой.

Из формулы Эйлера видно, что величина критической силы прямо пропорциональна жесткости и обратно пропорциональна квадрату длины стержня.

Для стержня, работающего в упругой стадии, критическая сила зависит только от геометрических размеров стержня и модуля упру­гости материала, но совершенно не зависит от прочностных харак-

герисгек материала, из которого изготовлен стержень. Так, например, она не зависит от сорта стали. Для стали Ст. 3 и для высокосортной стали модули упругости практически одинаковы, поэтому и критиче­ские силы также равны между собой. Два стержня с одинаковыми геометрическими размерами, но изготовленные из различных сталей и работающие в упругой стадии, теряют устойчивость при одной и той же критической силе.

Таким образом, выясняется резкая разница между работой стер­жня на сжатие и на растяжение. Предельная растягивающая сила непосредственно зависит от прочностных характеристик материала и потому различна для разных сортов стали, в то время как при сжа­тии в пределах упругости наблюдается совершенно иная картина.

Предельная растягивающая сила не зависит от длины стержня, в то время как при сжатии она быстро падает с увеличением длины.

Продольный изгиб сжатых стержней особенно опасен потому, что он наступает внезапно, и поэтому его трудно предупредить в тех конструкциях, в которых неправильно назначены размеры сжатых элементов. В растянутых стержнях признаки опасного состояния часто наступают задолго до разрушения, а в сжатых стержнях каких-либо заметных признаков возможной потери устойчивости, как пра­вило, установить не удается.

Все сказанное заставляет обратить особое внимание на устойчи­вость сжатых стержней.

При выводе формулы Эйлера было установлено, что стержень, шарнирно опертый по концам, изгибается по синусоиде, а найти чис­ленные значения прогибов не удалось. (Величина постоянной интегри­рования В осталась неопределенной.) Это связано с тем, что было использовано приближенное уравнение

то при Р > Р_кр можно найти прогибы стержня. Интегрирование уравнения (15.6) проводится с помощью сложных специальных функ­ций. Изучение этого вопроса выходит за рамки нашего курса..