СТЕРЖНЯ НА ВЕЛИЧИНУ КРИТИЧЕСКОЙ СИЛЫ

На рис. 358 показаны различные случаи закрепления концов сжа­того стержня. Для каждой из этих зада*ч необходимо проводить свое решение аналогично тому, как это сделано в предыдущем параграфе для шарнирно опертого стержня. Решение показывает, что для всех

случаев, изображенных на рис. 358, критическую силу можно опре­делять по обобщенной формуле

(15.7)

где (.( — так называемый коэффициент приведенной длины, а вели­чина fi/ = /₀ называется приведенной (свободной) длиной.

 

Свободная длина /₍₎ может быть истолкована как некоторая услов­ная длина шарнпрно опертого стержня,имеющего такую же критиче­скуюсилу, как заданный стержень. В отдельных случаях это положе­ние вытекает из чисто геометрического толкования.

Так, например, если стержень, заде­ланный одним концом, рассматривать как половину стержня, шарнирно опертого по концам, то /₀ = 21. Следовательно, ц = 2. Для стержня, заделанного двумя концами, длина полуволны, замеренная между двумя точками перегиба, составит половину дли­ны стержня, следовательно, для этого случая (-1 = 0,5.

Пример. Рассмотрим пример вычисления критической силы для двутаврового стального стер­жня, заделанного одним концом (рис. 359).

Пусть сечение представляет собой двутавр № 22, для которого по ГОСТу находим моменты инерции иплощадь сечения: 1_Х -- 2550 см¹; J_у = 157 см¹; F = 30,6 см¹. Модуль упругости стали Е-- 2,1-10" кгс/слА^ длина стержня /- 4 м — 400 еж; коэффициентсвободной длины для этогослучая jl*. -- 2. Естественно, что стержень теряет устойчивость б плоскости наименьшей жесткости, поэтому надо брать наимень-

innii момент инерции. По формуле Эйлера вычисляем

(3, !4)- - 2,1 • 10^s- 157 (2~l00J^

= 50/9 кгс.

Критическое напряжение

= -ад^=166я?ф12'

Как видно из полученного расчета, стержень теряет устойчивость при напряжениях, значительно меньших предела упругости и мень­ших основных допускаемых напряжении. Для обеспечения устойчи­вости стержня необходимо допускаемую силу брать меньше критиче­ской. Поэтому для данного стержня сжимающие напряжения должны быть меньше 166 кгс/см².

Применяя формулу Эйлера для определения критических сил сжатых стержней, следует считаться с возможностью различных форм потери устойчивости в главных плоскостях, которые зависят от способов закрепления стержня.

Если стержень закреплен так, что его свободная длина при изгибе в обеих главных плоскостях инерции одинаковая, то, вычисляя Р_кр, необходимо брать наименьший момент инерции. Так, например, для колонны, заделанной одним концом и свободной на другом, потеря устойчивости произойдет в плоскости наименьшей жесткости, так как критическая сила, соответствующая изгибу в этой плоскости, будет наименьшей.

Если же стержень закреплен так, что при изгибе в одной плоскости коэффициент свободной длины и_х отличается от коэффициента сво­бодной длины ц„ при изгибе в другой плоско­сти, то необходимо определять две критические силы:

Здесь J₁ н У., — главные моменты инерции, взя­тые относительно главных осей.

Из двух найденных по формуле (15.8) крити­ческих сил для расчета принимается наименьшее значение.

В связи с этим возникает вопрос о рациональных типах попереч­ных сечений для сжатых стержней. Для случаев, когда ц, = ц₂, т. е. когда способ закрепления стержня обеспечивает одинаковую форму потери устойчивости в двух главных плоскостях инерции, рациональ­ным сечением будет такое, у которого два главных момента инерции одинаковы. Так, например, если сечение состоит из двух швеллеров (рис. 360), то расстояние между их центрами тяжести должно быть определено из условия