ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ВНУТРЕННИХ УСИЛИЙ ДЛЯ СТЕРЖНЯ С ЛОМАНОЙ ОСЬЮ

При проектировании машин часто приходится рассчитывать брус, ось которого представляет собой пространственную линию, состоящую из отрезков прямых. Так, например, на рис. 276 показан брус, состо­ящий из трех стержней: АВ, ВС и CD. Два первых стержня лежат г. одной плоскости, а стержень CD расположен в плоскости, нормаль­ной к первой.

Расчет таких стержней начи­нается с определения внутренних силовых факторов в ряде сечений. Для отыскания наиболее напря­женного (опасного) сечения строят­ся эпюры силовых факторов

N, М,, М_у, М„ Q.v, Q_y.

В первую очередь необходимо для каждого из стержней назначить

оси координат. Обычно ось, совпадающую с осью бруса, обозначают осью Oz, а две другие оси совмещают с главными осями инерции сечения.

Эпюры моментов и поперечных сил для каждого стержня строят, как для плоского бруса, с применением (для моментов) принятого ранееправила знаков (см. стр. 168). При этом мысленно располагают каждый из стержней по отношению к себе так, чтобы взор был направ­лен в начало координат со стороны положительной оси Ох (при по­строении эпюр Qy и М_х) или оси Оу (при построении эпюр Q_x и М_у). Рассмотрим пример построения эпюр для бруса, изображенного на рис. 276, когда на него действуют три силы:

Р_х = 0,50 тс; Р₂ = 0,80 тс и Я₃= 1,00тс.

На рис. 277 показаны эпюры нормальных сил N, изгибающих моментов М_х и М_у, крутящего момента M_z и поперечных сил Q_y и Q_x. Эти эпюры построены на основании вычисленных значений ординат для сечений, расположенных по концам каждого стержня. Крутящий момент будем считать положительным, если при взгляде на отсеченную часть со стороны сечения будет установлено, что момент М_г стре­мится повернуть сечение по ходу часовой стрелки.

Наиболее просто строится эпюра нормальных сил N. Рассекая стержень плоскостью, нормальной к его оси, и рассматривая равно­весие отсеченной части, к которой приложены внешние силы, легко определить значение нормальной силы. Для этого необходимо спроек­тировать все силы на ось соответствующего стержня и из уравнения 2z=0 определить силу N. Эпюра N показана на рис. 277, а.

Несколько сложнее определяются изгибающие моменты. Рассмот­рим подробнее вычисление изгибающих моментов М_х. В стержне АВ изгиб относительно оси х вызывает только одна сила P_t, поэтому эпюра моментов имеет вид треугольника. Наибольший момент будет в нижнем сечении, проведенном через точку В. Так как через эту точку можно провести два сечения, одно из которых относится к вер­тикальному стержню, а другое — к горизонтальному, то в дальней­шем обозначим момент буквой М с двумя дополнительными индексами вверху. Первый верхний индекс показывает точку, через которую проведено сечение, а два индекса вместе определяют стержень, для которого находится изгибающий момент. Например, М_х^а — момент относительно оси х в сечении, проведенном в точке В, но относящимся к стержню В А; М_х ■— момент в сечении В, проведенном вертикальной плоскостью в стержне ВС. Длины стержней обозначим буквой / также с двумя индексами, определяющими концевые сечения стержня, например 1_аЬ, 1_Ьс и т. п.

 

Таким образом, имеем: для стержня АВ

М^ь_х^а = Р4сь = 0,80 0,40 = 0,32 тс; для стержня ВС

М_х^с = — PJab — — 0,50-0,40= —0,20 тс-м (растянутое волокно вверху); в точке С момент относительно оси х создают две силы:

M^c_x^b = -P₁l_ab-P₃l_bc=-0,50 0,40 -1,00 -0,50 = -0,70 тс-м; для стержня CD ■

М^с_х = — Р4аъ = — 0,80 • 0,40 = — 0,32 тс ■ м;

M^d_x = — P₂U - P4cd = — 0,8 ■ 0,4 - 1,00 • 0,30 = — 0,62 тс ■ м.

По этим данным построена эпюра М_х, которая показана на рис. 277, б.

Аналогичным образом построена эпюра М_и (рис. 277, б). Более просто вычисляются крутящие моменты. В стержне АВ крутящий момент равен нулю. В стержне ВС

М^ь_г^с = /у_ай = 0,32 тс-м, а в стержне CD

М^сг - — /У«* - P₃t_bc - - 0,70 тс ■ м.

По этим данным построена эпюра крутящих моментов (рис. 277, г).

Поперечные силы Q_x и Q_y определяют как сумму проекций на оси х и у всех сил, действующих на отсеченную часть.

В соответствии с принятыми выше правилами знаков найдены поперечные силы в стержнях и по ним построены эпюры, показанные на рис. 277, д, е.

В зависимости от размеров и формы сечений для каждого элемента бруса по формуле (а) предыдущего параграфа можно определить нормальные напряжения и построить эпюру а в заданном сечении: Суммарные касательные напряжения от двух поперечных сил Q_y и Q_x, а также от крутящего момента М_г должны быть получены путем геометрического суммирования.