Строительная механика

Министерство образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное агентство по образованию

 

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический

университет» им. И.И. Ползунова

 

И.К. Калько

 

 

Расчет неразрезных балок

Учебное пособие   Барнаул 2008

Предисловие ко второму изданию

В данном издании добавлена глава 5 «Построение линий влияния усилий в неразрезной балке».

Кроме того, исправлены выявленные опечатки, приведен пример построения линий влияния опорных моментов и линию влияния опорной реакции.

Данное учебное пособие может быть использовано студентами всех направлений строительных специальностей, всех форм обучения при выполнении расчетных заданий и курсовых проектов.

В конце учебного пособия помещены контрольные вопросы по темам всех глав.

Основные положения.

Неразрезные балки экономнее разрезных, так как величина изгибающих моментов в них меньше. Недостатком неразрезных балок, как и всякой статически… История применения неразрезных балок сопоставима с историей развития… Неразрезные балки широко используются и в настоящее время, например, при строительстве метро в г. Новосибирске, был…

Рисунок 1

При конструировании неразрезных балок всегда принимаются меры к тому, чтобы они не могли отделяться от своих опор.

Расчётная схема неразрезной балки предполагает идеальное шарнирное прикрепление её ко всем промежуточным опорам. На крайних опорах допускается абсолютная или упругоподатливая заделка.

Неразрезная балка при отсутствии промежуточных шарниров столько раз статически неопределима, сколько имеется проме-жуточных опор (рисунок 2).

 

 

Рисунок 2

 

Степень статической неопределимости для неразрезной балки определяется по формуле:

(1)

где - число опорных связей.

Расчёт неразрезных балок можно выполнить с помощью уравнений трёх моментов (метод сил), методом моментных фокусов, линий влияния.

Глава 1. УРАВНЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ

 

В качестве основной системы выберем совокупность однопро-летных шарнирно опертых балок. Такая основная система образуется из заданной неразрезной балки при помощи устранения жесткой связи между сечениями на каждой опоре и замене её шарнирной.

За неизвестные примем изгибающие моменты, действующие в опорных сечениях, и обозначаем их через ,,. Условно направление неизвестных моментов выберем такое, что все они будут растягивать нижние волокна балки (рисунок 3).

Рассмотри два смежных пролёта n и (n+1)-й основной системы (рисунок 4,б). Нетрудно будет убедиться, что моменты и не деформируют балку рассматриваемых пролётов (рисунок 3) и, следова- тельно, не вызывают перемещений по направлению момента .

Рисунок 3

 

Поэтому каждое из канонических уравнений будет содержать лишь три неизвестных:

δ+ δ+ δ+ Δ=0. (2)

Коэффициенты δ при неизвестных М и свободный член ∆_np уравнения (2) - это взаимные углы поворота сечений балки на опоре n по направлению опорного момента . Уравнение (2) является уравнением метода сил, показывающим, что взаимный поворот сечений балки, расположенных бесконечно близко слева и справа от введенного шарнира на опоре n, равен нулю.

Предположим, что балка имеет ступенчато-переменное сечение с постоянным моментом инерции в каждом пролёте.

При определении коэффициентов и свободных членов будем пренебрегать влиянием поперечных сил на деформацию балки и пользоваться первым интегралом формулы Мора.

Необходимые для определения коэффициентов и свободных членов эпюры изгибающих моментов показаны на рисунке 4в, г, д, е.

Коэффициенты при неизвестных находим, используя правило Верещагина:

δ;

δ;

δ;

В уравнении (2) взаимный угол поворота сечений балки, располо-женных слева и справа от введённого шарнира на опоре, равен (рисунок 4,е):

Рисунок 4

Δ= (φ+ φ)

После подстановки значений δ, δ, δ, Δ, умножения уравнения на 6EJ и переноса Δв правую часть, уравнение (2) принимает вид:

++ = - 6EJ (φ+ φ), (3)

где J – произвольное значение момента инерции, к которому приводятся моменты инерции всех пролётов:

и - приведённые длины пролётов; φ- угол поворота сечения балки пролёта n слева от введённого шарнира на опоре n и φ- угол поворота сечения балки пролёта n+1 справа от введённого шарнира на опоре n от нагрузки, действующей соответственно в пролётах n и n+1 (рисунок 4,е). Углы поворота опорных сечений балки от нагрузки находятся путём перемножения грузовой и единичных эпюр изгибающих моментов. Значения углов поворота φот различных видов нагружения пролётов приведены в таблице 1.

Каноническое уравнение (3) называется уравнением трёх момен-тов, поскольку оно связывает три последовательных неизвестных опорных момента. Если J=const для всех пролётов, то уравнение (3) примет вид:

++ = - 6EJ (φ+ φ), (4)

Структура уравнения трёх моментов (3) зависит от закрепления концов балки:

а) заделки на крайних опорах балки условно заменяются эквивалентными им дополнительными пролётами бесконечно малой длины, а затем составляются уравнения трёх моментов для балки, шарнирно опертой по концам (рисунок 5,б слева).

б) если балка имеет консоли, то в первом (последнем) уравнении моменты () будут известны и величина их подставляется в уравнение со своим знаком (рисунок 5,б справа).

Уравнение трёх моментов составляется для каждой промежуточной опоры. Составив систему уравнений трёх моментов и решив её, находят опорные моменты.

 

Таблица 1

Схема загрузки
	при u=V=0,5	ппри u=V=0,5
	при u=V=0,5	при u=V=0,5
	при u=V=0,5	при u=V=0,5

 

 

 

Рисунок 5

 

Эпюры M и Q можно построить, рассматривая каждый пролёт как простую шарнирно опертую балку основной системы, загруженную заданной нагрузкой и опорными моментами.

 

Глава 2. МЕТОД МОМЕНТНЫХ ФОКУСОВ

Фокусные отношения.

Если в неразрезной балке нагружен только один пролёт, то эпюра изгибающих моментов имеет вид, представленный на рисунке 6. Характерной особенностью этой эпюры является то, что на каждом незагруженном… от него эпюра изгибающих моментов имеет вид наклонной прямой с нулевой точкой в пределах пролёта. Эта точка называется…

Рисунок 6

Поскольку местоположение моментных фокусов в каждом пролёте постоянно, то и отношение моментов незагруженного пролёта является постоянным. Различают левое и правое фокусное отношение (рисунок 7).

 

Рисунок 7

 

; (5)

Если известно положение фокуса, то и известно фокусное отношение, и наоборот. Когда нагрузка расположена где-то справа от рассматриваемых пролётов, то положение левых фокусов определяется отношениями:

; ;

Рекуррентную формулу для определения левых фокусных отношений можно получить из уравнения трёх моментов, составленного для опоры при условии, что нагрузка расположена правее пролёта (рисунок 8).

 

 

Рисунок 8

 

, (6)

Для определения правых фокусных отношений таким же путём получена формула при условии, что нагрузка расположена левее пролёта .

, (7)

Для определения фокусных отношений по формулам (6), (7) необходимо знать хотя бы одно из них. Для крайних пролётов эти отношения известны.

В балке с шарнирно - опертыми концами левый фокус первого пролёта совпадает с левым опорным сечением, так как момент на конце при расположении нагрузки справа от первого пролета равен нулю (рисунок 6), поэтому ∞. При защемленном конце балки, что эквивалентно наличию дополнительного пролёта длиной, например, для левого конца,

,

т.е. значение фокусных отношений колеблются от 2 до ∞. Для заделанного конца балки при фокусном отношении =2 фокус, примыкающий к защемленному концу, отстоит от него на расстоянии, равном одной трети соответствующего пролёта. Это наибольшее возможное расстояние от ближайшей опоры; наименьшее возможное расстояние равно нулю.

 

Применение моментных фокусных отношений к

Построению эпюр.

Если у неразрезной балки загружен только один пролёт, то при помощи фокусных отношений очень просто и быстро определяются все опорные моменты.

Пусть, например, нагрузка расположена на пролёте n (рисунок 9).

Рисунок 9

Формулы для определения опорных моментов и загруженного пролёта n могут быть получены из совместного решения двух уравнений трёх моментов, составленных для опор n-1

и n (рисунок 9).

(8)

где- =0; =0, так как пролёты n-1 и n+1 не загружены.

Известно, что ; . (а)

Подставив выражение (а) в уравнения (8), получим:

(9)

Выражения в квадратных скобках соответственно равны и .

Сделав подстановку и , получим:

;

(10)

Решая совместно уравнения (10), получим:

(11)

, (12)

где и - соответственно левое и правое фокусные отношения пролёта n; - углы поворота на левом и правом концах нагруженного пролёта n.

Если крайняя левая опора шарнирная, то левый опорный момент =0, =∞ и поэтому правый опорный момент первого загруженного пролёта равен:

(13)

Аналогичную формулу получаем для крайнего правого нагруженного пролёта с шарнирной опорой на правом конце.

(14)

Подставляя в (13) – (14) значения углов поворота , взятые из таблицы 1, получим формулы для определения опорных моментов в зависимости от вида нагрузки.

Формулы опорных моментов крайних пролетов с шарнирным опиранием для некоторых видов нагрузок приведены в таблице 2.

Остальные опорные моменты могут быть получены через фокусные отношения. При нагружении пролета они будут равны:

и т.д.

и т.д.

 

Таблица 2

Схема балки и эпюра изгибающих моментов	Формула моментов

Продолжение таблицы 2

Продолжение таблицы 2

Продолжение таблицы 2

 

Глава 3. ПОСТРОЕНИЕ ОГИБАЮЩИХ ЭПЮР

Когда кроме постоянной нагрузки имеется временная, которая может занимать различные положения или вовсе сниматься с того или иного пролета, то приходится искать сочетания нагрузок, которые вызывают в различных сечениях балки наибольшие и наименьшие изгибающие моменты и поперечные силы.

Для определения максимального момента в данном сечении к моменту от постоянной нагрузки прибавляются все положительные моменты от временной нагрузки :

(15)

определяется по формуле (16).

(16)

 

Аналогично этому находят

 

(17)

(18)

 

Ординаты удобно определить в табличной форме (таблица 5).

 

Глава 4. ПИМЕРЫ РАСЧЕТА

Пример 1. Для неразрезной балки, показанной на рисунке 10, определить левые и правые моментные фокусные отношения.

Рисунок 10

Шарнир на опоре 2 разделяет неразрезную балку на две самостоятельные балки 0 – 2 и 2 – 4.

Левые фокусные отношения определяем с помощью формулы (6).

(слева шарнирное опирание).

для 3-го пролета, так как слева шарнирная опора.

Правые фокусные отношения определяем с помощью формулы (7).

(т.к. справа конец балки защемлен).

для 2-го пролета, т.к. справа шарнирная опора.

 

 

Пример 2. Для двухпролетной балки, показанной на рисунке 11, построить огибающую эпюру изгибающих моментов.

а)

б)

Рисунок 11

 

Расчет неразрезной балки на действие постоянной нагрузки, показанной на рисунке 11а, производим, используя уравнения трех моментов. Расчет балки на последовательное загружение пролетов временной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью выполняем, используя метод фокусов. Принимаем, что жесткость балки для всех пролетов постоянна (). Для более точного построения огибающей эпюры изгибающих моментов ординаты будем определять в сечениях с интервалом пролета.

Построим эпюры изгибающих моментов и поперечных сил на действие постоянной нагрузки (рисунок 11,а).

Степень статической неопределимости для заданной балки определяем по формуле (1).

.

Пользуясь формулой (4) и основной системой (рисунок 11,б), составим уравнение трех моментов для опор 0 и 1; момент на опоре 2 известен.

(19)

В (19) , т.к. дополнительный пролет не загружен.

При сосредоточенной нагрузке, приложенной посредине первого пролета, равномерно распределенной нагрузке во втором пролете и пользуясь таблицей 1, находим:

Момент на опоре 2 определяется нагрузкой на консоли и равен:

т×м.

Подставим значения углов поворота, пролетов и известное значение в систему уравнений (19):

Произведя преобразования, получим:

 

В результате решения этих уравнений находим значения опорных моментов:

Окончательные эпюры и для неразрезной балки строим, рассматривая каждый пролет в отдельности как простые однопролетные балки основной системы, загруженные местной нагрузкой и опорными моментами.

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 12).

 

 

 

Рисунок 12

 

В соответствии с полученным знаком значений опорным моментам придаем истинное направление (рисунок 12). Опорные реакции равны:

Участок №1:

Участок №2:

В силу симметрии нагрузки эпюра моментов для второго участка будет симметрична первому участку:

Эпюры и для пролета 0-1 показаны на рисунке 12 .

б) Пролет 1-2 с консолью.

 

Рисунок 13

 

Опорные реакции равны (рисунок 13):

Балку пролета 1-2 разбиваем на участки и для каждого участка составляем уравнение изгибающего момента и перерезывающей силы.

 

Участок №1:

Уравнение для первого участка при

Участок №2:

Эпюры и для пролета 1-2 показаны на рисунке 13 .

Эпюры и для неразрезной балки от действия постоянной нагрузки приведены на рисунке 14 .

 

Рисунок 14

 

По ординатам определяем опорные реакции:

Расчет неразрезной балки с размерами, указанными на рисунке 11а, методом фокусов на последовательное нагружение пролетов и консоли временной нагрузкой

Предварительно по формулам (6), (7) определяем левые и правые фокусные отношения (рисунок 15).

 

Рисунок 15

а) Левые фокусные отношения:

б) Правые фокусные отношения:

Расчет на нагрузку в первом пролете (рисунок 16)

 

 

Рисунок 16

 

Значения углов поворота опорных сечений балки для первого пролета в соответствии с таблицей 1 равны:

По формулам (11), (12) определяем и :

После определения опорных моментов строим эпюру так же, как и при расчете неразрезной балки от действия постоянной нагрузки.

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 17)

 

 

Рисунок 17

 

Определяем опорную реакцию :

Составляем уравнение изгибающего момента:

По результатам расчета строим эпюру для пролета 0-1, которая показана на рисунке 17 .

Для пролета 1-2 построение эпюры не вызывает затруднений. Результаты вычисления ординат изгибающих моментов приведены в таблице 3 .

Эпюра для неразрезной балки от нагружения первого пролета приведена на рисунке 16 .

Расчет на нагрузку во втором пролете (рисунок 18)

 

 

Рисунок 18

 

Опорный момент определяем в соответствии с таблицей 2:

Момент определяем, используя левое фокусное отношение:

а) Первый пролет 0-1 (рисунок 19)

 

Рисунок 19

 

Определяем опорную реакцию

 

Значения изгибающих моментов в сечениях с интервалом определяем по уравнению (приведены в таблице 3). Эпюра показана на рисунке 19 .

б) Второй пролет 1-2 (рисунок 20)

 

 

Рисунок 20

Из уравнения:

находим

Уравнение изгибающих моментов составляем, рассматривая балку справа:

В заданных сечениях определяем ординаты изгибающих моментов:

Эпюра для пролета 1-2 показана на рисунке 20 .

Эпюра для неразрезной балки от нагружения второго пролета показана на рисунке 18 .

Расчет на нагрузку консоли (рисунок 21).

 

Рисунок 21

 

Момент на опоре 2 определяется нагрузкой на консоли и равен:

Моменты на опорах 0 и 1 определяем, используя левые фокусные отношения :

Построение эпюры для неразрезной балки от загружения консоли временной нагрузкой не вызывает затруднений (рисунок 21).

Результаты вычисления ординат изгибающих моментов приведены в таблице 3 .

 

Построение огибающей эпюры

Результаты расчета неразрезной балки от действия постоянной нагрузки, загружения каждого пролета и консоли временной нагрузкой сведены в таблице 3 .

На основании формул (15), (16) в табличной форме вычисляем ординаты и (таблица 3) .

 

Таблица 3

Сечение	Момент от постоянной нагрузки, Т×м	Моменты от загружения временной нагрузкой, Т×м	Mмакс, Т×м	Mмин, Т×м
Первого пролёта	Второго пролёта	На консоли
0-1 1-2 1-3 1-4 1-5 2-6 2-7 2-8 2-9 3-10 3-11	-5 -5 0,25 2,5 1,75 -2 -0,63	-5,24 -0,25 2,52 5,86 -2,02 -1,52 -1,01 -0,5	1,03 0,26 -0,52 -1,3 -2,06 2,49 2,97 1,46	-0,13 -0,03 -0,06 0,16 0,26 -0,06 -0,37 -0,69 -1 -0,25	-3,97 0,26 7,58 4,02 -4,74 2,74 5,47 3,21 -2 -0,63	-10,37 -0,28 4,48 -1,30 -9,08 -1,33 1,12 0,56 -3 -0,88

 

По полученным данным строим огибающую эпюру М, которая показана на рисунке 22.

На эпюре М в числителе даны значения , а в знаменателе . На графике указаны ординаты изгибающих моментов только в сечениях над опорами и в серединах пролётов.

 

 

Рисунок 22

 

Пример 3.

1.Найти с помощью уравнений 3-х моментов опорные моменты и построить эпюры M и Q от постоянной нагрузки.

2.Найти моментные фокусные отношения и построить эпюры от последовательного загружения каждого пролета и консолей временной нагрузкой.

3.Построить огибающую (объемлющую) эпюру M для рассмат-риваемой балки.

Дано:

Рисунок 23

Шарнир на опоре 2 разделяет неразрезную балку на две самостоятельные балки 0-2 и 2-4.

Рассмотрим раздельно балку 0-2 (рисунок 24) и балку 2-4 (рисунок 25). Основная система представлена на рисунке 26.

Рисунок 24 Рисунок 25

Рисунок 26

1.Балка 0-2. Найдём с помощью уравнений 3-х моментов опорные моменты и построим эпюры M и Q от постоянной нагрузки:

Балка один раз статически неопределима. Составляем каноническое уравнение; пользуясь формулой и основной системой (рисунок 26).

От действия распределенной нагрузки в 1-м и 2-м пролетах, и пользуясь таблицей 1, находим:

;

Балка 2-4 два раза статически неопределима. Составляем систему канонических уравнений:

Используя таблицу 1, для 4-го пролёта, загруженного сосредоточенной нагрузкой (рисунок 27) определяем углы поворота и .

Так как 3-й и 5-й пролёты не загружены, то углы поворота и равны нулю.

Рисунок 27

После подстановки данных система уравнений имеет вид:

В результате решения системы уравнений 2-го порядка находим значения опорных моментов:

Для построения эпюры M и Q от постоянной нагрузки используем опорные моменты

и нагрузку приведенную на рисунке 23.

Строим эпюры M и Q от постоянной нагрузки для первого пролёта:

Рисунок 28

 

Для более точного построения огибающей эпюры усилий пролёт балки разбиваем на участки и для каждого участка составляем уравнения изгибающего момента и перерезывающей силы. Эпюры M и Q представлены на рисунке 28.

 

:

:

 

Строим эпюры M и Q от постоянной нагрузки для второго пролёта (см. рисунок 29):

Рисунок 29

Строим эпюры M и Q от постоянной нагрузки для третьего пролёта (см. рисунок 30):

Рисунок 30

 

; при

;

;

;

Строим эпюры M и Q от постоянной нагрузки для четвертого пролёта (см. рисунок 31):

Рисунок 31

 

 

 

:

:

Эпюры M и Q для неразрезной балки от действия постоянной нагрузки приведены на рисунке 32.

 

 

Рисунок 32

2.Расчёт неразрезной балки на последовательное загружение консоли и пролётов временной нагрузки выполняется методом моментных фокусов. Размеры балки и ее расчетная схема указаны на рисунке 23.

Предварительно по формулам (6) и (7) определяем левые и правые фокусные отношения для балок 0-2 и 2-4.

 

 

Загружаем консоль и пролёты временной нагрузкой:

а) Расчет на загрузку консоли временной нагрузкой (рисунок 33). Значения моментов от временной нагрузки определяются в тех же сечениях, что и от действия постоянной нагрузки. Эпюры моментов представлены на рисунках 33-35.

 

Рисунок 33

 

Определяем опорные моменты: М₀, М₁, М₂ от действия времен-ной нагрузки на консоль (рисунок 33).

 

Расчет балки 0-1 от действия опорных моментов М₀ и М₁ (рисунок 34). Определяем реакции R₀ и R₁.

Рисунок 34

 

Вычисляем значения моментов в заданных сечениях:

 

Расчет балки 1-2 от действия опорного момента М₁ (рисунок 35)

Рисунок 35

 

Определяем опорные реакции:

Составляем уравнение изгибающего момента для произвольного сечения балки

Вычисляем значения моментов в заданных сечениях:

 

б) Расчет балки на действие временной нагрузку в первом пролёте (рисунок 36).

 

 

Рисунок 36

 

Величина опорного момента определяется по формуле, которая приведена в таблице 2. При шарнирном опирании слева:

. На опоре 0 момент .

Момент на опоре 2 получен через фокусные отношения.

 

После определения опорных моментов строим эпюру М так же, как и при расчете неразрезной балки от действия постоянной нагрузки.

Предварительно определяются опорные реакции

Составляется уравнение моментов и в заданных сечениях вычисляются величины изгибающих моментов.

 

Вычисляем значения моментов в заданных сечениях:

По результатам расчета строим эпюру М для пролёта 0-1 (рисунок 37).

Рисунок 37

 

Для пролёта 1-2, построение эпюры М не вызывает затруднений (рисунок 38). Определяются опорные реакции и вычисляются в задан-ных сечениях величины изгибающих моментов:

 

 

Рисунок 38

 

в) Расчет на временную нагрузку во втором пролёте (рисунок 39).

 

Рисунок 39

Опорный момент определяется в соответствии с таблицей 2:

; на опоре 2 момент .

Момент на опоре 0 получен через фокусные отношения

После определения опорного момента рассматриваем пролёты 0-1 и 1-2.

Пролёт 1-2 (рисунок 40).

 

Рисунок 40

 

Составляем уравнения равновесия и определяем опорные реакции

Для пролёта 1-2 уравнение изгибающего момента имеет вид

В заданных сечениях с помощью полученного уравнения определяем ординаты изгибающего момента.

 

Эпюра М представлена на рисунке 40.

Построение эпюры М для пролёта 0-1 не вызывает затруднений (рисунок 41):

∑y=-R₁+R₀=0

Уравнение изгибающего момента для произвольного сечения имеет вид

 

Рисунок 41

 

 

г)Расчет балки 2-4 на временную нагрузку в пролёте 2-3 (рисунок 42)

 

Рисунок 42

 

Опорный момент определяем в соответствии с таблицей 2:

 

mм

Рассматриваем загруженный пролёт 2-3 (рисунок 43). Опорную реакцию R₃ определяем из уравнения равновесия

Определяем опорную реакцию R₂ из уравнения равновесия

→

В заданных сечениях определяем ординаты изгибающего момента и строим эпюру М (рисунок 43).

 

 

Рисунок 43

 

Ординаты изгибающих моментов в произвольных сечениях пролета вычисляем по уравнению в зависимости от значений Х в (м).

 

 

Для пролёта 3-4 загруженного только опорными моментами и строим эпюру М (рисунок 44). Ординаты изгибающих моментов определены в заданных сечениях (каждый пролёт неразрезной балки разбит на 4 участка).

Рисунок 44

 

Подставляя в уравнение моментов значения Х в (м), получаем значения изгибающих моментов в заданных сечениях:

д)Опорные моменты и от нагрузки, расположенной в 4-м пролёте (рисунок 45) определяем по формулам: по формуле (11); по формуле (12). Углы поворота опорных сечений вычисляем в соответствии с таблицей 1.

 

Рисунок 45

 

 

Рассматриваем пролёт 3-4, загруженный временной нагрузкой и опорными моментами и . Определяем ординаты изгибающих моментов по составленным уравнениям в заданных сечениях.

Эпюра М представлена на рисунке 46.

 

Рисунок 46

 

По составленному уравнению моментов для произвольного сечения в зависимости от значения Х (в м)

определяем величины моментов:

 

Эпюру М строим от загружения пролёта 2-3 опорным моментом (рисунок 47). Опорные реакции определяем: R₃ из уравнения равнове-сия моментов относительно шарнира 2, а опорную реакцию R₂ из суммы проекций на вертикальную ОУ.

Рисунок 47

 

По уравнению определяем величины моментов:

3.Построение огибающей эпюры M.

Результаты расчета неразрезной балки от действия постоянной нагрузки, загружения консоли и каждого пролёта временной нагрузкой сведены в таблицу 4.

По формулам (15) и (16) вычислены значения и и приведены в таблице 4.

Таблица 4

Сечение	Момент от пост нагр. Т×м	Момент от загружения временной нагрузкой Т×м	Mmax, T×м	Mmin, Т×м
Левой консоли	1-го пролета	2-го пролета	3-го пролета	4-го пролета
0-1
0-2	-5	-1					-5	-6
0-3	-10	-4					-10	-14
1-4	3,177	-2,778	10,222	-3,472			13,399	-3,073
1-5	4,359	-1,556	12,444	-6,944			16,805	-4,141
1-6	-6,459	-0,334	0,666	-10,416			-5,793	-17,209
1-7	-29,277	0,888	-7,111	-13,888			-28,389	-50,276
2-8	6,168	0,666	-5,333	8,333			15,167	0,835
2-9	22,863	0,444	-3,555	18,055			41,362	19,308
2-10	20,808	0,222	-1,777	15,277			36,307	19,031
2-11
3-12	-7,998				21,855	-2,571	13,857	-10,569
3-13	-15,996				25,71	-5,145	9,714	-21,141
3-14	-23,994				11,565	-7,713	-12,429	-31,707
3-15	-31,992				-20,571	-10,285	-31,992	-62,848
4-16	8,00				-12,854	11,573	19,573	-4,854
4-17	12,00				-5,141	15,431	27,431	6,839
4-18	-2,002				2,572	1,288	1,858	-2,002
-19	-16				10,283	-30,857	-5,715	-46,857

По полученным данным построена огибающая (объемлющая) эпюра , которая представлена на рисунке 48.

Глава 5. построение линий влияния

Усилий в неразрезной балке

При действии на неразрезную балку только одной постоянной нагрузки и если балка в предельном состоянии находится в упругой стадии, то эпюру моментов… Если же, кроме постоянной нагрузки на балку будут действовать различные… Наиболее полно этот вопрос можно решить - построением линий влияния изгибающих моментов и других усилий в отдельных…

Построение линий влияния опорных моментов

При построении линии влияния M2 поочередно ставим груз P=1 на всех пролетах балки и выражаем интересующие нас величины в функции от абсциссы этого… 1. Единичный груз находится в первом пролете l1 (рисунок 49). Положение груза… Опорные моменты пролета, в котором находится груз P=1, можно определить по формулам (11-12). Определяем сначала…

Рисунок 49

Разделим пролет на 10 равных частей и будем ставить груз P=1 последовательно в каждую точку деления. Им будут соответствовать значения u и v:

u=0,00; 0,10; 0,20;...; 1,00;

v=1,00; 0,90; 0,80;...; 0,00.

Составим таблицу 5, которая пригодится нам для вычисления ординат любой линии влияния, относящейся к любой неразрезной балке с постоянными в пределах каждого пролета сечения.

Таблица 5

Примечания: ν=1-u; 2-u=1+ν.

При помощи этой таблицы и написанной выше формулы вычисляем ординаты первого участка искомой л.в.

2. Груз в пролете l₂ (рисунок 50). По формуле (22) определяем М₂

При помощи таблицы 5 и написанной выше формулы вычисляем ординаты второго участка искомой л.в. Эпюра М₂ представлена на рисунке 50.

Рисунок 50

3.Груз в пролете l₃ (рисунок 51). По формуле (21) определяем М₂

 

При помощи таблицы 5 и написанной выше формулы вычисляем ординаты третьего участка искомой л.в. Эпюра М представлена на рисунке 51

 

Рисунок 51

4. Груз в пролете l₄ (рисунок 52). По формуле (21) определяем М₃

.

При помощи таблицы 5 и написанной выше формулы вычисляем ординаты четвертого участка искомой л.в. Значение опорного момента М₂ определяем с помощью левого моментного фокусного отношения k₃

Рисунок 52

 

5. Груз в пролете l₅ (рисунок 53). По формуле (21) определяем М₄

Так как k'₅ = ∞, то по таблице 2 получаем

Используя левые фокусные отношения, находим моменты М₃ и М₂

; .

Эпюра моментов представлена на рисунке 53

 

Рисунок 53

В результате приведенных выше расчетов от загружения каждого пролета единичной силой строится линия влияния опорного момента M₂, которая представлена на рисунке 54.

 

Рисунок 54

Таким же способом определяют ординаты всех остальных опорных моментов.

Выражения uv(1+v) и uv(1+u) или [u(1-u)(2-u) и u(1-u)(1+u)] представляют собой функции третьей степени относительно u. Отсюда следует, что линия влияния опорного момента на протяжении каждого пролета представляет собой кубическую параболу.

 

Построение линий влияния пролетных

Изгибающих моментов

Линии влияния изгибающих моментов для промежуточных сече-ний можно построить, имея линии влияния опорных моментов. Напри-

мер, для произвольного сечения А пролета l₄ (рисунок 55) можно написать

 

 

Рисунок 55

(23)

Эта формула читается так: линия влияния изгибающего момента М_А представляет собой сумму трех линий влияния, из которых первая относится к тому же сечению в основной системе, т.е. в однопролетной балке l₄, вторая получается из л. в. М₃ умножением всех ее ординат на постоянный множитель ; наконец, третья получается из л. в. М₄ умножением на постоянный множитель .

Вид этих кривых показан на рисунке 56.

Если сечение А совпадает с левым (правым) фокусом (рисунок 57, а), то груз, стоящий справа (слева) от того пролета, которому это сечение принадлежит, не вызывает в нем изгибающих моментов: следовательно, линия влияния совпадает с осью абсцисс. На рисунке 57, б представлена линия влияния изгибающих моментов для правого фокуса F'₄, на рисунке 57, в — левого фокуса.

Если сечение А расположено на крайнем участке пролета, т.е. между фокусом и ближайшей опорой, то л. в. М_А имеет вид, представленный на рисунке 57, г. Различие между линиями влияния изгибающего момента M_A, представленных на рисунках 56 и 57 состоит в том, что линия влияния M_a на рисунке 57, г имеет в пределах того пролета, на котором расположено сечение А, нулевую точку, а на остальных пролетах — знаки, противоположные знакам на рисунке 56.

Ординаты линии влияния изгибающих моментов быстро убывают по мере удаления соответствующих участков («полуволн») от сечения.

Затухание усилий и деформаций на пролетах, отдаленных от за-груженного, является характерным свойством неразрезных конструкций.

 

Рисунок 56

 

Рисунок 57

Построение линий влияния поперечных сил

, (24) где Q0 — л. в. поперечных сил для того же сечения в основной системе;

Рисунок 58

Для построения л. в. Q_A, необходимо построить три линии влияния: Q₀ – строится для пролета, в котором расположено сечение A основной системы, и в пределах данного пролета две линии влияния изгибающих моментов на правой и левой опорах рассматриваемого пролета неразрезной балки (рисунок 58). Затем производится алгебраическое суммирование ординат трех линий влияния. Результирующая линия влияния представлена на рисунке 58.

Построение линий влияния опорных реакций

Рисунок 59 ными, т.е. вращающими по часовой стрелки и пользуясь формулой (24) находим: (25)

Рисунок 60

Пример. Для трехпролетной балки с размерами и жесткостями пролетов, указанными на рисунке 61, построить линии влияния опорных моментов M₀, M₁, M₂, линию влияния вертикальной опорной реакции R₁.

 

Рисунок 61

Используя формулы 6-7, находим левые фокусные отношения: k₁ = 2; k₂ = 4,25; k₃ = 3,76 и правые фокусные отношения k'₁ = 3,17; k'₂ = 4; k'₃ = ∞.

Вначале выполним построение линий влияния опорных моментов. Ординаты линий влияния пролетов, в которых находится груз, опреде-ляем по формулам (21-22). Ординаты линий влияния вычисляем с интервалом u=0,2, поочередно перемещая груз из пролета в пролет:

Груз в первом пролете:

;

;

.

Груз во втором пролете:

 

;

;

.

Груз в третьем пролете:

Груз на консоли:

^,

где X – положение груза по отношению опоры 3 (справа).

; ; ^.

Результаты расчета приведены в таблице 6.

 

Таблица 6

 

 

Построив линии влияния M₀, M₁, M₃, M₄ (рисунок 63, б,в,г,д) на основании формулы (26) можно построить линию влияния опорной реакции R₁.

При положении груза в 1-м пролете , во 2-м и 3-м пролетах и на консоли :

.

При положении груза в 1-м пролете , во 2-м пролете , в 3-м пролете и на консоли

;

Значение определяют аналогично.

На рисунке 62, д изображена линия влияния R₁

Рисунок 62

Вопросы для самопроверки

2.Почему за лишние неизвестные в неразрезной балке удобно при-нимать опорные моменты, а не реакции? 3.Почему канонические уравнения для расчета неразрезных балок называются… 4.Почему система канонических уравнений, составленная с по-мощью уравнений трех моментов при большом числе…

Глава 6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Курс строительной механики изучается студентом-заочником самостоятельно по учебникам и учебным пособиям. По мере изучения каждого раздела студент должен уметь решать задачи и примеры.

По важнейшим разделам курса студент-заочник выполняет индивидуальные контрольные работы. Самостоятельность выполнения контрольных работ имеет первостепенное значение для усвоения курса.

Важным разделом для студентов-заочников строительных специальностей является «Неразрезные балки», которые широко используются в гражданском строительстве и мостостроении.

 

Тема: «Неразрезные балки»

Задание. Для неразрезной балки (рисунок 23), с выбранными по шифру из таблицы 4 размерами и нагрузкой требуется:

1. Найти с помощью уравнений трёх моментов опорные моменты и построить эпюры M и Q от постоянной нагрузки (указанной на чертеже);
2. Найти моментные фокусные отношения и построить эпюры от последовательного загружения каждого пролёта (и консолей) временной нагрузкой;
3. Построить огибающую (объемлющую) эпюру моментов.

Таблица 7

Первая цифра шифра

l1, м

b, м

q1, Т/м

Временная нагрузка qв, Т/м

Вторая цифра шифра

l2, м

P1, Т

С, м

q2, Т/м

Последняя цифра шифра (№ схемы)

l3, м

P2, Т

7,5

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 1,7 1,1 1,3 1,5 1,9

1,8 1,9 2,0 2,2 2,1 2,3 1,7 2,4 2,5 1,6

7,5

1,1 1,3 0,8 1,7 1,8 1,2 0,9 1,4 1,0 1,5

При составлении уравнений трёх моментов надо обратить внимание на знаки моментов на крайних опорах при наличии консолей. При определении свободных членов уравнений в случаях, когда в пролёте действует несколько сил, рекомендуется каждую нагрузку учитывать отдельно.

После решения уравнений трёх моментов полученные значения неизвестных надо обязательно подставить во все уравнения и убедиться в правильности решения.

Для пролёта, для которого будет строиться огибающая (объемлющая) эпюра моментов, следует определить ординаты окончательной эпюры моментов, следует определить ординаты окончательной эпюры моментов в точках с интервалом 0,25l.

Ординаты огибающей эпюры рекомендуется определять в табличной форме (таблица 8).

 

 

 

Рисунок 49

Таблица подсчета ординат огибающей (объемлющей) эпюры

Моментов (показан пример записи)

Таблица 8

Сечение	Момент от постоянной нагрузки, Т×м	Моменты от загружения временной нагрузкой, Т×м	Mмакс, Т×м	Mмин, Т×м
Левой консоли	Первого пролёта	Второго пролёта	Третьего пролёта	Правой консоли
… … i k …	… … -18 …	… … -6 …	… … -6 …	… … -10 …	… … -10 -12 …	… … …	… … -9 …	… … -46 …

При подсчёте максимального изгибающего момента для какого-либо сечения берётся момент от постоянной нагрузки и все положи-тельные моменты от загружения отдельных пролётов временной нагрузки; для минимального момента берётся момент от постоянной нагрузки и все отрицательные значения моментов от временной нагрузки. Для примера в указанной таблице приведены подсчёты ординат максимальных и минимальных значений моментов для точек i и k. Соединяя последовательно ординаты , получим огибающую эпюру . Аналогично получим и эпюру .

Обе огибающие (объемлющие) эпюры строятся на одной базе.

Для построения характера линии влияния рекомендуется восполь-зоваться кинематическим методом, т.е. отбросить связь по направле-нию исследуемой величины и заменить её единичной силой. После этого надо представить возможный вид изогнутой оси, который и будет моделью искомой линии влияния.

Эпюра поперечных сил строится по эпюре моментов в обычном порядке.

 

Литература

1. Руководство к практическим занятиям по курсу строи-

тельной механики (статика стержневых систем) / Под ред.

Г.К.Клейна – М.: Высш.шк., 1980. – 384с.

2.Рабинович И.М. Основы строительной механики стерж- невых систем. М.,1960. – 519с.

3. Снитко Н.К. Строительная механика М.:Высш.шк., 1980.

– 431с.

4. Калько И.К. Расчёт неразрезных балок: Методические указания по строительной механике для студентов строительных специальностей дневной, вечерней и заочной форм обучения./ Алт.политехн.институт им. И.И.Ползуно-

ва. – Барнаул: Б.и. 1985. – 24с.

5.Калько И.К. Расчёт неразрезных балок: Учебное пособие

по строительной механике для студентов специальности «Автомобильные дороги и аэродромы» очной и заочной форм обучения./ Алт. гос. техн. ун-т им. И.И.Ползунова.

– Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2004. -61 с. ISBN 5-7568-0410-2

 

Содержание

Предисловие ко второму изданию…………………………3

Основные положения……………………………………….4

Глава 1. Уравнения трёх моментов……………………… 5

Глава 2. Метод моментных фокусов...……………………10

2.1. Фокусные отношения…………………………...10

2.2. Применение моментных фокусных

отношений к построению эпюр………………... 13

Глава 3. Построение огибающих эпюр…….….…………..19

Глава 4. Примеры расчёта……………...……………...… 19

Глава 5.Построение линий влияния усилий в неразрез-

ной балке……………………………………………57

5.1.Построение линий влияния опорных моментов 57

5.2.Построение линий влияния пролетных изгиба-

ющих моментов…………………………………… 61

5.3.Построение линий влияния поперечных сил……64

5.4.Построение линий влияния опорных реакций…. 65

Вопросы для самопроверки……………………….70

Глава 6. Самостоятельная работа студента…………. .....71

Литература….……………………………………………….74