Устойчивость симметричных рам и стержней

Рама. Ниже будем решать задачи об устойчивости симметричных свободных рам и стержней при действии симметричной нагрузки. В этих случаях можно упростить решение, не вводя в качестве неизвестных линейные сме­щения узлов, а ограничив­шись лишь углами поворота узлов.

Для симметричной рамы (рис. 272, а) при нагружении симметричной нагрузкой и при обратносимметричной форме отклонения, составляя уравнения равновесия, напи­санные в виде ΣХ=0 (где X—горизонтальная ось), по­лучим для нижнего этажа

2Q₀₁ = 0; Q₀₁ = 0,

для верхнего этажа

2Q₁₂ = 0; Q₁₂ = 0.

Следовательно, можно поль­зоваться единичными состоя­ниями для заданных состоя­ний Z₁ = 1 (рис. 272,6) и Z₂ = 1 (рис. 272, в) с учетом равенств нулю нормальных к стержням реакций: R_i =0. При использовании табл. 8 получаем по рис. 273, а, б следующие зна­чения упругих реакций при t = const и v = const:

Приравняв определитель при неизвестных Z₁ и Z₂ нулю, получим уравнение потери устойчивости

Ступенчатый стержень. Рассмотрим определение критического значения системы сил Р₀ и Р₁ для ступенчатого стержня, для которого параметры верхнего участка с₀₁,, нижнего участка —с₁₂, EI₁₂, (рис. 274, а). Приняв

маем в качестве неизвестного угол поворота 1_Х узла 1, где сопря­гаются оба участка ступенчатого стержня 0—1—2.

В состоянии Z=1 получим эпюры моментов, изображенные на рис. 274,6. Упругая реакция в фиктивной заделке (см. табл.8)

откуда характеристическое уравнение

(а)

Пример.Найти критическую нагрузку Р_0КР для ступенчатого стержня если c₀₁ = c₁₂; Р₁ = 2Р₀; I₁₂/I₀₁= 1,792.

Решение. Имеем v₁₂= l,294v₀₁. Характеристическое уравнение (а) дает v₀₂= 0,862. Тогда P_OКР=0,744EI₀₁/ c2₀₁.

Аналогично получим характеристическое уравнение для ступенчатого стержня с тремя участками:

Стержень, опертый посередине на упругую опору.Рассмотрим определение критической силы для симметричного стержня на упру­гой опоре с коэффициентом жесткости г (рис. 275, а). Возможны

две формы потери устойчивости: симметричная и обратносимметричная. Для первой формы (рис. 275, б) имеем линейное смещение опоры для второй (рис. 275, в) - единичный поворот над промежуточной опорой. * ^у
По представленным эпюрам получаем:

Определитель из коэффициентов при неизвестных

Отсюда следует

(б)

Из первого уравнения найдем

(в)

и , при этом упругая опора не смещается и критическая сила равна эйлеровой. Подставляя v=π в выражение (17), получаем

и из уравнения (в) находим

Для устойчивого значения коэффициента жесткости получаем

Если , имеем обратносимметричную форму потери устойчивости. Обычнои возникает симметричная форма; при этом упругая опора смещается.

Если , из уравнения (б) получаем , что менее значения критической силы при обратносимметричной форме искривления.