МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

В рекомендованных учебниках [1], [2], а также в руководствах [4J и [5] учащиеся найдут достаточное число примеров задач подобных тем, которые включены в контрольную работу. Поэтому ниже даны лишь необходимые краткие методические указания к решению задач контрольной работы.

Первую задачу (задачи 1 —10) следует решить после изучения тем 1.1.1 и 1.1.2.1. Во всех задачах рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарниру В в каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Можно избрать три способа решения: аналитический, графический и геометрический. Для данного типа задач целесообразно использовать аналитический способ решения.

Последовательность решения задачи:

1 Выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать.

2 Освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принято предполагать, что стержни растянуты.

3 Выбрать оси координат и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости ∑Xi = 0; ∑Уi =0. Выбирая оси координат, следует учитывать, что полученные уравнения будут решаться проще, если одну из осей направить перпендикулярно одной из неизвестных сил.

4 Определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений.

Пример 1 Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁ = 70 кН и F₂ = 100 кН (рис. 1,а). Массой стержней пренебречь.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1

 

Решение:1 Рассматриваем равновесие шарнира В (рисунок 1, а).

2 Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рисунок 1, б).

3 Выбираем систему координат, совместив ось у по направлению с реакцией N₂ (рисунок 1, б) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

∑Xi = -N_1·cos 45° + F_2· cos 30° = 0 (1)

∑Yi = N₁·sin45° + N₂ + F₂·sin30° - F₁ = 0 (2)

4 Определяем реакции стержней N₁ и N₂, решая уравнения (1), (2).

Из уравнения (1)

N₁ = F₂ · cos 30° / cos 45° = 100 · 0,866/0,707 = 122 кН

Подставляя найденное значение N₁ в уравнение (2), получаем

N₂ = F₁ - F₂ · sin 30° - N₁ · sin 45° = 70 - 100 · 0,5 - 122 · 0,707 = -66,6 кН

Знак минус перед значением N₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное ­­- следует направить реакцию N₂ в противоположную сторону, т. е. к шарниру В (на рисунке 1,б истинное направление реакции N₂ показано штриховым вектором).

 

Задачи 1—10Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁ и F₂. Массой стержней пренебречь. Схему своего варианта смотри на рисунке 2. Числовые данные своего варианта взять из таблицы 2.

Таблица 2

 

 

 

№ задачи и схемы на рис. 2	F1	F2
	2 | 3						9 | 10
Варианты	кН
										0,4	0,5
										0,3	0,8
										0,6	0,4
										0,2	0,5
										0,5	0,8
										0,8	0,4
										0,4	0,2
										1,2	0,8
										0,8	1,0
										0,9	0,6

 

 

Рисунок 2

Вторую задачу (задачи 11—20) следует решать после изучения тем 1.1.1, 1.1.2.1 и 1.1.2.2. Во всех задачах требуется определить реакции опор балок. Учащимся необходимо приобрести навыки определения реакций опор, так как с этого начинается решение многих задач по сопротивлению материалов

и деталям машин.

 

Последовательность решения задачи:

1 Изобразить балку вместе с нагрузками.

2 Выбрать расположение координатных осей, совместив ось х с балкой, а ось у направив перпендикулярно оси х.

3 Произвести необходимые преобразования заданных активных сил: силу, наклоненную к оси балки под углом α, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку - ее равнодействующей, приложенной в середине участка распределения нагрузки.

 

 

Рисунок 3

 

40свободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор,
(рисунок 3), направленными вдоль выбранных осей координат.

5 Составить уравнения равновесия статики для произвольной плоской системы сил таким образом и в такой последовательности, чтобы решением каждого из этих уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.

6 Проверить правильность найденных опорных реакций по уравнению, которое не было использовано для решения задачи.

Пример 2Определить реакции опор балки (рисунок 3).

Решение:1 Изобразим балку с действующими на неё нагрузками (рисунок 3).

2 Изображаем оси координат х и у.

3 Силу F заменяем ее составляющими F_x = F·cosα и F_y = F·sinα.

Равнодействующая q·CD равномерно распределенной нагрузки приложена в середине участка CD, в точке К (рисунок 3).

4 Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями

(рисунок 3).

5 Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций:

Σm_А = F_у · AB + М + q·CD·AK - RD·AD = 0

 

Определяем другую вертикальную реакцию:

Σ m_D= R_Ау·AD - F_y · BD + M - q·CD ·KD=0

 

Определяем горизонтальную реакцию:

ΣX_i= R_AX - Fx = 0 ; R_AX= F_x = F·cos α = 20 · 0,866= 17,3 кН

6 Проверяем правильность найденных результатов:

ΣYi = R_Ay – F_y -q·CD + R_Dy=5,5-10-1·2 + 6,5 =0

Условие равновесия ΣY_i = 0 выполняется, следовательно, реакции опор найдены верно.

Задачи 11 — 20 Определить реакции опор двухопорной балки (рис. 4). Данные своего варианта взять из табл. 3.

Таблица З

 

№ задачи; № схемы на рис. 4	Вари­ант	q, Н/м	F, Н	М, Н·м	№ задачи; № схемы на рис. 4	Вариант	q, Н/м	F, Н	М, Н·м
11;1		10 1,5 8 4.5	40 25 16 50 82 15 45 18 20 54	10 20 14 30 60 25 40 10 25 35	12; 2		1 4.5 3.5 1.5	2,5 40 35 100 80 30 50	40 100 55 60 90 20 75 30
13; 3	02 13 24 35	2,5	80 15 30 55	40 |	14; 4	03 14 25 36			10 15 12

 

	47 52 68 73 80 91	8 4,5 6 3,5	10 100 65 85 90 20	15 30 45 60 18 16		48 53 69 74 85 92	16 20	30 25	24 20
15; 5	04 15 26 37 49 54 60 75 81 93	4,5 1,5 2,5 5,5	50 35 10 65 16 30 12 55	35 30 20 50 25 40 28 15 45	16; 6	05 16 27 38 40 55 61 76 86 94	3,5 0,5 4,5 8,5	12 10 15 18 20	45 10 50 30 15 25 18 30
17; 7	06 17 28 39 41 56 62 77 82 95	8 12 10 20 14 16	50 10 12 15 80 35 40 25 14 65	50 15 25 30 20 65 75	18; 8	07 18 29 30 42 57 63 78 87 96	6,5 2,5 1,5	18 24 16 20 40 35 10 12 60 15	15 20 12 25 50 65 25 90 35 10
19; 9	08 19 20 31 43 58 64 19 83 97	1,5	15 40 20 16 18 10 25 40 35 12	15 18 25 14 35 20 30 15 10	20; 10	09 10 21 32 44 59 65 70 88 98	18 20 10 16 8 14 30	50 65 80 10 55 30 10	15 150

 

Рисунок 4

Третья задача (задачи 21-30)может быть решена учащимися, если они будут ясно представлять смысл условия прочности при растяжении (сжатии)

σ = N/A ≤ [σ], где [σ]—допускаемое напряжение.

Необходимо знать, что исходя из условия прочности можно решать три вида задач:

1) проверка прочности σ = N/A ≤ [ σ]

2) проектный расчет (подбор сечения) [A ] ≥ N/[ σ]

3) определение допускаемой нагрузки [N] ≤ A· [σ]

В задачах 21-25рассматриваются стержневые системы, работающие на растяжение и сжатие, для которых необходимо выполнить проектный расчет, а также оценить прочность выбранного стандартного сечения стержня. Стержни имеют одинаковые поперечные сечения.

Последовательность решения задачи:

1 Определить реакции стержней, используя уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил и проверить правильность найденных реакций.

2 Для наиболее нагруженного стержня, используя условие прочности
σ = N/A ≤ [σ], выполнить проектный расчет [A] ≥ N/[σ], определить
площадь поперечного сечения стержня, подобрать по сортаменту (ГОСТ 8509—72) подходящий номер профиля и найти стандартное значение площади поперечного сечения стержня.

3 Определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня, используя условие прочности σ = N/A ≤ [σ]], при принятых стандартных размерах площади поперечного сечения.

∆σ=σ-[σ]/[σ]·100%. Допускается недогрузка до 15% и перегрузка до 4%.

Пример 3 Для данной системы двух стержней одинакового поперечного сечения, нагруженных силой F= 170 кН (рисунок 5), определить: а) требуемую площадь поперечных сечений стержней, состоящих из двух равнобоких уголков, и подобрать по ГОСТу (см. приложение II) соответствующий профиль уголка;

б) определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня при принятых стандартных размерах сечения, приняв [σ] =140 МПа.

 

Рисунок 5

 

Решение:1В данном примере в шарнире С приложена система сходящихся сил. Определяем силы N₁ и N₂ в стержнях 1 и 2 (рисунок 5, а), используя уравнения равновесия ΣХ=0 и ΣY=0.

ΣX = -N_1·sin30° + N₂·sin45° = 0 (l)

Σ Y = N₁· cos30° + N₂· cos45° = 0 (2)

Из(1):

N₁ = N₂ · sin45°/ sin30° = N₂ · 0,707 / 0,5 = 1,41 (3)

Подставляем в уравнение (2) выражение (3) и получаем 1,41N₂ · cos30° + N₂ · cos45° - F = 0

N₂ = F/1,41 - cos30° + cos45^o = 170/(1,41 ·0,866 + 0,707) = 88,3kH

N₁ = l,41·N₂ = 1,41· 88,3 = 124 кН

2 Определяем требуемую площадь поперечного сечения для наи­более нагруженного стержня:

N_max = N₁ = 124,5 кН

A_l = N₁/[ σ] = 124,5 • 10³/ 140 = 889 мм² = 8,89 см²

Площадь равнобокого уголка подбираем по значению A₁/2 = 8,89/2 = 4,445 см². Используя приложение 2, назначаем профиль ( L63X63X4) с площадью [А] =4,96 см². Таким образом, требуемая площадь поперечного сечения стержней будет равна: 2·[А] =2·4,96 = 9,92 см².

Рабочее напряжение в поперечном сечении наиболее нагруженного стержня:

σ = N₁/2 · [A] = 124,5 · l0³/2 · 4,96 · 10² = 125,5 Н/мм² = 125,5 МПа

3 Проверяем прочность наиболее нагруженного стержня:

∆σ = σ -[ σ]/[ σ]·100% = 125,5 -140/ 140·100% = -10,3%

Недогрузка составляет 10,3 %,что допускается.

Задачи 21-25 Задана система двух стержней, составленных из двух равнобоких уголков (рис. 6, схемы 1–5).

При заданном значении силы F определить: 1) требуемые площади поперечных сечений стержней и подобрать по ГОСТ 8509-2 (см. приложение 2) соответствующие номера профилей; 2) определить процент пере- или недогрузки наиболее нагруженного стержня при принятых стандартных размерах сечения. Принять

[σ] = 160 МПа. Данные своего варианта взять из табл. 4.

 

 

Таблица 4

 

 

 

 

№	задачи; № схемы	F	№ задачи; № схемы
	на рис. 6		на рис. 6		a	b
21;1	22; 2	23 ;3	24; 4	25;5		26; 6	27; 7	28;8	29; 9	30;10
	Варианты		кН	Варианты		м	м
											0,5	1,5
											1,2	1,8
											0,6	2,4
											0,8	2,2
											1,5
											0,4	2,1
											0,5
											1,4	1,6
												2,3
											0,7	1,8

 

 

Рисунок 6

В задачах 26-30рассматривается система трех стержней одинакового поперечного сечения, поддерживающих абсолютно жесткую балку. Для наиболее нагруженного стержня следует найти допускаемое значение силы F, которая приложена к данной системе.

Последовательность решения задачи:

1 Определить силы в стержнях, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил, и сделать проверку правильности найденных реакций.

2 Определить допускаемое значение силы, нагружающей систему, используя условие прочности ∆σ = N/A ≤ [σ] =>

[N] ≤ A·[σ]. Стандартное значение площади равнобокого уголка, заданного в условии задачи, взять по ГОСТу 8509—72 из приложения 2.

Пример 4Абсолютно жесткая балка (рисунок 7,а) поддерживается тремя стержнями одинакового поперечного сечения, представляющего собой два равнобоких уголка с размерами 40х40х4. Определить допускаемое значение силы F, если [σ] =[160] МПа. Весом балки пренебречь.

а)

 

 

Рисунок 7

 

Решение: 1 Выбираем расчетную схему (рисунок 7, б), представляющую собой плоскую стержневую систему, для которой следует определить силы в стержне, используя уравнения равновесия произвольной плоской системы сил.

Σ M_D = N₁ · BD – F · AD= 0 (1)

Σ X = N₂·sin30º - N₃ · sin45° = 0 (2)

Σ M_B = -F · AB + N₂ · cos 30° · BD + N₃ · cos 45°· BD=0 (3)

Из(1):

N₁ = F · AD/ BD = F · 3/2=1,5F (4)

Из (2)

N₂ = N₃ · sin45°/ sin30° = N₃ · 0,707/ 0,5 = 1,41 N₃ (5)

В уравнение (З) подставляем вместо N₂ выражение N₂ = 1,41N₃

-F · AB = 1,41 N₃ ·cos30° · BD + N₃ · cos45° · BD= 0 (6 )

Из (6)

N₃ = F · AB/ l,41cos30° · BD + cos45° = F · 1/1,41 · 0,866 · 2 + 0,707 · 2 = 0,26 F (7)

Подставляя (7) в (5), получаем:

N₂ = 1,41N₃ = 1,41 · 0.26F = 0,366F

Проверяем правильность реакций N₁, N₂, N₃

Y= - F – N₂ · cos30° - N₃ · cos45° + N₁ = -F - 0,366 · 0,866F - 0,26 · 0,707F + l,5F = 0

Y =0, следовательно, реакции стержней определены верно.

2 Так как все три стержня по условию имеют одинаковое поперечное сечение (рисунок 7. а), то допускаемое значение силы F определяем для наиболее нагруженного стержня, каким является стержень 1.

σ = N/A ≤ [ σ] => [N] ≤ A·[ σ]

Следовательно, N_max= N₁ = 1,5F

Исходя из условия прочности [N] = 1,5F = [σ] · 2А и учитывая, что площадь равнобокого уголка 40x40x4, А= 3,08см² (см. приложение 2), получаем значение допускаемой силы

F = [ σ] · 2A/1,5=160 · 2 ·3,08 · 10²/1,5 = 65800Н = 65,8 кН

 

Задачи 26-30 Задана система трех стержней, поддерживающих абсолютно жесткую балку (рис. 6, схемы 6—10). Стержни имеют одинаковое поперечное сечение, состоящее из двух равнобоких уголков заданных размеров.

Оределить допускаемое значение силы F, приняв [σ] = 160 МПа. Весом балки пренебречь. Данные своего варианта взять из табл. 4.

 

Четвертая задача (задачи 31-40)К решению этой задачи следует приступить после изучения темы "Изгиб". Изгиб — это такой вид нагружения

бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы; такой изгиб называют поперечным: если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым. Изгибающий момент М_и в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на отсеченную часть, относительно центра тяжести сечения: М_и =Σm. Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на отсеченную часть: Q = ΣF. Причем все внешние силы и моменты действуют в главной продольной плоскости бруса и расположены перпендикулярно продольной оси бруса.

Правило знаков для поперечной силы:силам, поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рисунок 8, а), а силам поворачивающим отсеченную часть балки относительно рассматриваемого сечения против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рисунок 8,6).

Правило знаков для изгибающих моментов: внешним моментом изгибающим мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсечённую часть бруса выпуклостью вниз, приписывается знак плюс (рисунок 9, а), а моментам, изгибающим, отсеченную часть бруса выпуклостью вверх, — знак минус

(рисунок 9,б).

Между изгибающим моментом М_x .поперечной силой Q_y и интенсивностью распределенной нагрузки q существуют дифференциальные зависимости:

dM_x/dz=O_v; DQ_v/dz=q

На основе метода сечений и дифференциальных зависимостей устанавливается взаимосвязь эпюр М_x и Q_y, между собой и с внешней нагрузкой, поэтому достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

 

 

Рисунок 8 Рисунок 9

 

Приведем некоторые правила построения эпюр.

Для эпюры поперечных сил:

1 На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра изображается прямой, наклоненной к оси балки.

2 На участке, свободном от распределенной нагрузки, эпюра изображается прямой, параллельной оси балки.

3 В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, поперечная сила не изменяет значения.

4 В сечении, где приложена сосредоточенная сила, значение поперечной силы меняется скачкообразно на значение, равное приложенной силе.

5 В концевом сечении балки поперечная сила численно равна сосредоточенной силе (активной или реактивной), приложенной в этом сечении. Если в концевом сечении балки не приложена сосредоточенная сила, то поперечная сила в этом сечении равна нулю.

Для эпюры изгибающих моментов:

1 На участке, нагруженном равномерно распределенной нагрузкой, эпюра моментов изображается квадратичной параболой. Выпуклость параболы направлена навстречу нагрузке.

2 На участке, свободном от равномерно распределенной нагрузки, эпюра моментов изображается прямой линией.

3 В сечении балки, где приложена сосредоточенная пара сил, изгибающий момент меняется скачкообразно на значение, равное моменту приложенной пары.

4 Изгибающий момент в концевом сечении балки равен нулю, если в нем не приложена сосредоточенная пара сил. Если же в концевом сечении приложена активная или реактивная пара сил, то изгибающий момент в сечении равен моменту приложенной пары.

5 На участке, где поперечная сила равна нулю, балка испытывает чистый изгиб, и эпюра изгибающих моментов изображается прямой, параллельной оси балки.

6 Изгибающий момент принимает экстремальное значение в сечении, где эпюра поперечных сил проходит через нуль, меняя знаки с "+" на "-" или с "-" на "+".

В рассматриваемой задаче требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, а также подобрать размеры поперечного сечения балки, выполненной из прокатного профиля - двутавра.

Условие прочности для балок с сечениями, симметричными относительно нейтральной оси, имеет вид:

σ_max = M_Xmax ./ W_x ≤ [ σ],

где W_x — осевой момент сопротивления сечения.

Для подбора сечения балки (проектного расчета) из условия прочности определяют необходимое значение осевого момента сопротивления: W_x ≥ M_Xmax / [σ].

По наибольшему моменту сопротивления W_x, подбирают соответствующее сечение по сортаменту (см. приложение 1).

Для закрепленной одним концом балки строить эпюры целесообразно со свободного конца (чтобы избежать определения опорных реакций в заделке).

Последовательность решения задачи:

1 Балку разделить на участки по характерным сечениям.

2 Определить вид эпюры поперечных сил на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить поперечные силы в характерных сечениях и построить эпюру поперечных сил.

3 Определить вид эпюры изгибающих моментов на каждом участке в зависимости от внешней нагрузки, вычислить изгибающие моменты в характерных сечениях и построить эпюру изгибающих моментов.

4 Для данной балки, имеющей по всей длине постоянное поперечное сечение, выполнить проектный расчет, т. е. определить W_x в опасном сечении, где изгибающий момент имеет наибольшее по модулю значение.

Пример 5Для заданной консольной балки (поперечное сечение- двутавр, [σ] =160 МПа) построить эпюры Q_y и М_x и подобрать сечение по сортаменту.

Решение:1 Делим балку на участки по характерным сечениям А, В, С (рисунок 7, а).

2 Определяем значения поперечной силы Q_y в характерных сечениях и строим эпюру (рисунок 10,б):

 

Рисунок 10

 

3 Определяем значения изгибающего момента М_х в характерных сечениях и строим эпюру (рисунок 10, в):

Ма = 0

М^пр_В = F₂· AB= 1 · 3 = 3 кН·м

М^лев_В = F₂ · AB + M = 1 · 3 + 12 =1 5 кН·м

М^прс = F₂ ·AC + M - F1 · BC = l · 5 + 12-2 · 2 = 13 кН·м

4 Исходя из эпюры М_х (рисунок 8, в)
М_хтах= 15 кН·м = 15·10⁶ Н·мм

W_х = М_хтах / [σ]=15·10⁶/ 160= 93700 мм³ = 93,7 см³

В соответствии с ГОСТ 8239—72 выбираем двутавр № 16, W_x= 109 см³ (см. приложение 1).

Тогда

σ = 15·10⁶/ 109·10² = 136,7 МПа

Определяем процент загрузки:

∆σ =136,7-160 /160 ·100% = -14% недогрузки, что допускается.

Задачи 31 - 40 Для стальной балки, жестко защемленной одним концом и
нагруженной, как показано на рис. 11 (схемы 1—10), построить эпюры
поперечных сил и изгибающих моментов. Определить из условия прочности
необходимый размер двутавра, считая [σ] = 160 МПа. Данные своего варианта
взять из табл. 5.

 

Таблица 5

 

 

 

 

 

•№зада-чи; № схе­мы на рис. 11	Вари- ант	F1	F2	М	№ зада­чи; № схе­мы на рис.11	Вари­ант	F1	F2	М
кН	кН • м	кН	кН • м
31;1		1 2 3 4 4 5 6 7 7 9	2 2 3 4 4 5 6 6		32;2	15 26 32 42 51 65 77 88 99	1,5 2. 2,5	1,5	6 8 3 6 2 3
33;3	02 14 29 35 49 53 62 74 82 98	2 2,5	1.5 1,5 1,5	2,5	34;4	03 17 28 34 40 63 72 86 91	2,5 3 3,5 6		10 14 16 15 20 30 25 35
35;5	05 16	2 4 8 6 4 6 1 6 3	6 3 1 3 5 2 8 5 6 1	10 12 20 15 18 30 16 32 14	36;6	04 19 20 36 43 54 61 78 89 93	5 6 8 5 4 6 4 1 10	2 3 5 2 5 6
37,7			1,5		38;8
		1,5	2,5
			0,5
		3,5
			1,5
			2,5
39;9					40;10 ;10
								1,5
							2,5
							1,5
								2,5

 

Рисунок 11

 

Пятая задача (задача 41 — 50) Для того чтобы решить пятую задачу, необходимо внимательно изучить тему "Изгиб", методические указания к задаче 4, а также приведенный далее пример.

Последовательность решения задачи та же, что и четвертой. Отличие лишь в том, что пятую задачу начинают решать с определения реакций опор балки и проверки правильности найденных реакций.

Пример 6Для заданной двухопорной балки (рисунок 12, а) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил, изгибающих моментов и определить размеры поперечного сечения (h,b,d) в форме прямоугольника или круга, приняв для прямоугольника h/b= 1,5. Считать [σ] = 160 МПа.

Решение: 1 Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:

М_D = 0; M_D = -M₁+F₂ · CD + M₂+R_В · BD-F1 ·OD=0

R_B = M₁ - F₂ ·CD+F₁ · OD/BD=(20-30 · 10+18 · 15)/ 10=10кН

M_В = 0; M_В = F₁ · OB+M₂-F₂ ·BC-R_D · BD-M₁=0

Rd = (-F₁ ·OB+M₂ –F₂ ·ВС-M₁)/BD=(-18-5+10-30 · 4-20)/10=-22кН

Так как реакция R_D получилась со знаком минус, то изменяем ее первоначальное направление на противоположное. Истинное направление реакции R_D - вниз (рисунок 12, б).

Проверка: Y₀= - F + R_B +F₂ - R_D = - 18+ 10 + 30 - 22 = 0. Условие статики

Y_i = 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно. При построении эпюр используем только истинные направления реакций опор.

2 Делим балку на участки по характерным сечениям О, В, С, D (рисунок 12,6).

3 Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Q_v и строим эпюру слева направо (рисунок 12, в):

Q^npo = -F₁ = -18кН

Q ^ле_B = -F₁ = -18кН

Q"^pb = - F₁ +R_B= -18 + 10 = -8кН

Q^лев с = -F₁ + R_В + F₂ = -18+10+30 = 22кН

Q ^лев_D = - F₁ + R_B +F₂ = 22кН

4 Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего момента М_х и строим эпюру (рисунок 12, г):

Мо = 0

М_В = - F₁ · АВ = - 18 · 5 = - 90кН · м

M^лев_с = - F₁ · ОС + R_B ·BC= -18·9+10·4 = -122кН·м

M^прс =.-F_1· ОС + R_B ·BC + М₂ = -18 ·9+10 · 4+10= -112 кН ·м

M^лев_с = - F₁ · OD+ R_B ·BD + М₂ +F₁ · CD= -18 ·15+10 ·10 + 10 + 30· 6 = 20 кН · м

 

5 Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб по двум вариантам: а) сечение – прямоугольник с заданным соотношением сторон (рисунок 12, е); б) сечение – круг (рисунок 12, д). Вычисление размеров прямоугольного сечения:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 12

Задачи 41-50 Для заданной двухопорной балки (рис. 13, схемы 1 —10)

определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать из условия прочности размеры поперечного сечения прямоугольника (задачи 41,43,45,47,49) или круга (задачи 42,44,46,48,50), приняв для прямоугольника h= 2b. Считать [σ] =150 МПа, данные своего варианта взять из табл. 6.

 

Таблица 6

 

 

 

 

 

№ за-дачи;	Вари­ант	F1	F2	М	№ за-дачи;	Вари ант	F1	F2	М
кН	кН·м	кН	кН·м
№схе-				№схе-
мы на				мы на
рис.13				рис.13
41;1					42;2
43;3					44;4
					■
45;5	05 19	20 15		2 3	46;6	04 18	3 5	2 4	10 8
			1,5	0,6
			3,5	2,4
			2,5	1,6
				0,6
			1,5	2,6
				0,4			8 1 4
47;7	07 11	5 8			48,8	06 10		2,5
								4,5
								3,5
								4,5
								9,5
49;9	09 12		1,5		50; 10		6,5	1,4
							3,5
			3,5
		2,5					1,55J
								8,4
		3,5£					9,5
		1,5
		0,5					6,5
	| 95	4 2,5				5,5	2 12

 

 

 

 

Рисунок 13