Построение эпюр поперечных и продольных сил в рамах. Определение перемещений

Построение эпюр. По суммарной эпюре моментов, ординаты которой отложены со стороны растянутых волокон рамы, строят эпюру поперечных сил. При сложном очертании оси рамы эту эпюру будем находить непосредственно по эпюре моментов.

При этом используем основную схему рамы в виде системы стержней, шарнирно опертых на узлы рамы, а жесткость прикрепления конца каждого стержня рамы к узлу возмещаем моментом, действующим со сто­роны узла на стержень. Таким образом, стержень / — 2 рамы

(рис. 149,а), жестко связанный с узлами / и 2 и подверженный действию равномерно распреде­ленной нагрузки интенсивностью q, рассматриваем как балку, шарнирно опертую на узлы, заменяя при этом жесткое прикрепление концов стержня моментами М₁₂ и М₂₁ (первый индекс в обозначении моментов указывает номер узла, у которого действует момент, а оба индекса соответствуют наименованиям концов стержня). Найдя для простой балки 1 — 2 реакции A₁₂ и В₂₁ из условия равновесия узлов 1 и 2 (рис. 149, б), получаем величины поперечных сил:

Q12=A12; Q21= -B21;

При этом придерживаемся правила знаков для поперечных сил, которое не связано с положением наблюдателя: поперечную силу считаем положительной, если она дает момент от конца стержня на узел по часовой стрелке, и наоборот. Принимаем, например, поперечную силу Q₁₂ положительной, так как она дает момент относительно центра узла 1 по часовой стрелке. Поперечную силу Q_2l, действующую у правого конца стержня, вводим со зна­ком минус, так как она дает момент относительно центра узла 2 против часовой стрелки. Направление силы Q₂₁, уравновешивающей реакцию В₂₁, устанавливаем по направлению предварительно найденной реакции В₂₁. Отложив ординаты спорных поперечных сил Q12и Q21соединив их концевые точки прямой, получим эпюру Q для стержня 1 — 2 в случае действия равномерной нагрузки (ниж­няя схема рис. 149, б).

В случае отсутствия нагрузки на стержне рамы 1 — 2 (рис. 150, а) эпюра моментов очерчена наклонной прямой и реакции А₁₂ и В₂₁, дают пару сил общим моментом (М₂₁+М₂₁); поперечная сила в стержне пос­тоянна и равна (М₁₂+ М₂₁) /I (рис. 150, б). Направление поперечной силы, действую­щей со стороны стержня на узел, в этом случае найти особенно просто: следует у данного узла провести на эпюре момен­тов вектор от очертания этой эпюры к оси стержня (рис. 150, а).

По эпюре поперечных сил Q строим эпюру продольных сил N. Устанавливаем правило знаков: продольную силу, рас­тягивающую стержень, считаем положи­тельной. Для отыскания продольных сил в стержнях обычных каркасных рам по эпюре поперечных сил применяем способ вырезания узлов, известный из теории расчета статически определи­мых ферм. Расчет начинаем с узла, где сходятся лишь два стержня рамы. Зная узловые поперечные силы и нагрузку Р, определяем продольные силы в стержнях из условия равновесия в виде суммы проекций на выбранные оси координат. Затем переходим к следующему узлу рамы, где имеем два новых неизвестных усилия в стержнях, и определяем усилия в них из условий равновесия и т. д.

Для простейшего случая — узел с взаимно перпендикулярными осями стержней (рис. 151, а), —зная направления и величины по­перечных сил Q₁₂ и Q₁₃, получаем для суммы проекций на ось X

откуда

(а)

из равенства нулю суммы проекций на ось Y

откуда

(б)

В выражения (а) и (б) подставляем абсолютные значения узло­вых поперечных сил, направления которых должны быть найдены в соответствии с правилом знаков. ■■

В более общем случае — произвольное направление стержней рамы (рис. 151,б)— получаем по уравнениям проекций ΣX=0 ΣY=0:

Решая эти уравнения, находим N₁₂ и N₁₃. Затем переходим кследующему узлу рамы, где сходятся два новых стержня, и посту­паем аналогично. Если в раме нет ни одного узла, где сходятся лишь два стержня, система будет статически неопределимой в отно­шении продольных cил и необходимо использовать соответствующие уравнения деформаций.