Замкнутые СМО

До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.

В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.

Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s, - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ - интенсивность обслуживания:

ρ=.

Вероятность простоя системы определяется формулой

 

Р0=.

 

Финальные вероятности состояний системы:

 

Pk= при k<n, Pk= при .

 

Через эти вероятности выражается среднее число занятых каналов

 

=P1+2P2+…+n(Pn+Pn+1+…+Ps) или

=P1+2P2+…+(n-1)Pn-1+n(1-P0-P1-…-Pn-1).

 

Через находим абсолютную пропускную способность системы:

 

A=,

 

а также среднее число заявок в системе

 

М=s-=s-.

Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом tобсл=1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?

Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле

 

ρ =/μ =4/2=2, n=3,

Р0===0,158.

 

Вероятность отказа определяем по формуле:

Роткn==

Pотк=0,21.

 

Относительная пропускная способность системы:

 

Робсл=1отк1-0,21=0,79.

 

Абсолютная пропускная способность системы:

 

А=Робсл3,16.

 

Среднее число занятых каналов определяем по формуле:

 

 

1,58, доля каналов, занятых обслуживанием,

q=0,53.

 

Cреднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания: tСМО0,395 мин.

Объединяя все три канала в один, получаем одноканальную систему с параметрами μ=6, ρ=2/3. Для одноканальной системы вероятность простоя:

Р0===0,6,

вероятность отказа:

 

Ротк=ρ Р0==0,4,

 

относительная пропускная способность:

 

Робсл=1отк=0,6,

 

абсолютная пропускная способность:

 

А=Робсл=2,4.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 

tСМОобсл==0,1 мин.

 

В результате объединения каналов в один пропускная способность системы снизилась, так как увеличилась вероятность отказа. Среднее время пребывания заявки в системе уменьшилось.

Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки t=1/μ=0,5 ч. Найти показатели эффективности работы системы.

Для рассматриваемой системы n=3, =4, μ=1/0,5=2, ρ=/μ=2, ρ/n=2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:

 

Р=.

P0= =1/9.

 

Среднее число заявок в очереди находим по формуле:

 

L=.

L==.

 

Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле:

t=.

t==0,22 ч.

Среднее время пребывания заявки в системе:

 

Т=t+0,22+0,5=0,72.

Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность =12 клиентов в час. Среднее время обслуживания tобсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.

Для данной задачи n=3, m=3, =12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:

 

Р0=.

P0=0,012.

 

Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле

 

Роткn+m= .

Pотк=Pn+m0,307.

 

Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:

 

Pобсл=1-Pотк1-0,307=0,693.

 

Абсолютная пропускная способность:

 

А=Робсл12.

 

Среднее число занятых каналов:

 

.

Средняя длина очереди определяется по формуле:

 

L=

L=1,56.

 

Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

 

t=ч.

 

Среднее число заявок в СМО:

M=L+.

Среднее время пребывания заявки в СМО:

 

Т=М/0,36 ч.

Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью =0,5 отказа в час, среднее время ремонта tрем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.

Эта задача рассматривает замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:

 

Р0=.

P0=.

 

Вероятность занятости рабочего Рзан=10. Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P0=0,85μ станков в час.