До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми. Поликлиника, обслуживающая данную территорию, бригада рабочих, закрепленная за группой станков, являются примерами замкнутых систем.
В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта - в самой системе. Каждый рабочий является каналом обслуживания.
Пусть n - число каналов обслуживания, s - число потенциальных заявок, n<s, - интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, μ - интенсивность обслуживания:
ρ=.
Вероятность простоя системы определяется формулой
Р0=.
Финальные вероятности состояний системы:
Pk= при k<n, Pk= при .
Через эти вероятности выражается среднее число занятых каналов
=P1+2P2+…+n(Pn+Pn+1+…+Ps) или
=P1+2P2+…+(n-1)Pn-1+n(1-P0-P1-…-Pn-1).
Через находим абсолютную пропускную способность системы:
A=,
а также среднее число заявок в системе
М=s-=s-.
Пример 1. На вход трехканальной СМО с отказами поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в минуту, время обслуживания заявки одним каналом tобсл=1/μ =0,5 мин. Выгодно ли с точки зрения пропускной способности СМО заставить все три канала обслуживать заявки сразу, причем среднее время обслуживания уменьшается втрое? Как это скажется на среднем времени пребывания заявки в СМО?
Решение. Находим вероятность простоя трехканальной СМО по формуле
ρ =/μ =4/2=2, n=3,
Р0===0,158.
Вероятность отказа определяем по формуле:
Ротк=Рn==
Pотк=0,21.
Относительная пропускная способность системы:
Робсл=1-Ротк1-0,21=0,79.
Абсолютная пропускная способность системы:
А=Робсл3,16.
Среднее число занятых каналов определяем по формуле:
1,58, доля каналов, занятых обслуживанием,
q=0,53.
Cреднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания: tСМО0,395 мин.
Объединяя все три канала в один, получаем одноканальную систему с параметрами μ=6, ρ=2/3. Для одноканальной системы вероятность простоя:
Р0===0,6,
вероятность отказа:
Ротк=ρ Р0==0,4,
относительная пропускная способность:
Робсл=1-Ротк=0,6,
абсолютная пропускная способность:
А=Робсл=2,4.
Среднее время пребывания заявки в СМО:
tСМО=Робсл==0,1 мин.
В результате объединения каналов в один пропускная способность системы снизилась, так как увеличилась вероятность отказа. Среднее время пребывания заявки в системе уменьшилось.
Пример 2. На вход трехканальной СМО с неограниченной очередью поступает поток заявок с интенсивностью =4 заявки в час, среднее время обслуживания одной заявки t=1/μ=0,5 ч. Найти показатели эффективности работы системы.
Для рассматриваемой системы n=3, =4, μ=1/0,5=2, ρ=/μ=2, ρ/n=2/3<1. Определяем вероятность простоя по формуле:
Р=.
P0= =1/9.
Среднее число заявок в очереди находим по формуле:
L=.
L==.
Среднее время ожидания заявки в очереди считаем по формуле:
t=.
t==0,22 ч.
Среднее время пребывания заявки в системе:
Т=t+0,22+0,5=0,72.
Пример 3. В парикмахерской работают 3 мастера, а в зале ожидания расположены 3 стула. Поток клиентов имеет интенсивность =12 клиентов в час. Среднее время обслуживания tобсл=20 мин. Определить относительную и абсолютную пропускную способность системы, среднее число занятых кресел, среднюю длину очереди, среднее время, которое клиент проводит в парикмахерской.
Для данной задачи n=3, m=3, =12, μ=3, ρ=4, ρ/n=4/3. Вероятность простоя определяем по формуле:
Р0=.
P0=0,012.
Вероятность отказа в обслуживании определяем по формуле
Ротк=Рn+m= .
Pотк=Pn+m0,307.
Относительная пропускная способность системы, т.е. вероятность обслуживания:
Pобсл=1-Pотк1-0,307=0,693.
Абсолютная пропускная способность:
А=Робсл12.
Среднее число занятых каналов:
.
Средняя длина очереди определяется по формуле:
L=
L=1,56.
Среднее время ожидания обслуживания в очереди:
t=ч.
Среднее число заявок в СМО:
M=L+.
Среднее время пребывания заявки в СМО:
Т=М/0,36 ч.
Пример 4. Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью =0,5 отказа в час, среднее время ремонта tрем=1/μ=0,8 ч. Определить пропускную способность системы.
Эта задача рассматривает замкнутую СМО, μ=1,25, ρ=0,5/1,25=0,4. Вероятность простоя рабочего определяем по формуле:
Р0=.
P0=.
Вероятность занятости рабочего Рзан=1-Р0. Если рабочий занят, он налаживает μ-станков в единицу времени, пропускная способность системы: А=(1-P0)μ=0,85μ станков в час.