рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Ульяновское высшее авиационное училище

Ульяновское высшее авиационное училище - раздел Транспорт, Министерство Транспорта Российской Федерации...

Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Ульяновское высшее авиационное училище

гражданской авиации (институт)

 

Н.Ф. Леденева

В.С. Юганов

 

 

Механика

 

 

Учебно-методический

Комплекс

 

Ульяновск 2009

Л 39   Леденева, Н.Ф. Механика: учебно-метод. комплекс / Н.Ф. Леденева, В.С. Юганов. – Ульяновск : УВАУ ГА(и), 2009. – 394…

Оглавление

Введение. 7

1. Руководство по изучению дисциплины.. 9

1.1. Контроль знаний обучающихся. 9

1.2. Учебно-методическое обеспечение дисциплины.. 9

2. Методические указания. 11

2.1. Список основных обозначений. 11

2.2. Тематический словарь терминов. 12

2.3. Методические указания по изучению дисциплины.. 17

3. Учебное пособие. 20

3.1. Теоретическая механика. 20

Статика. 20

Тема 1. Основные понятия и аксиомы статики. 20

Тема 2. Система сходящихся сил. 25

Тема 3. Теория пар сил. 27

Тема 4. Система произвольно расположенных сил. 31

Тема 5. Центр параллельных сил и центр тяжести. 35

Тема 6. Понятие о трении. Виды трения. 38

Контрольные вопросы.. 40

Кинематика. 41

Тема 7. Основные понятия кинематики. Способы задания движения. 41

Тема 8. Простейшие виды движения твердого тела. 47

Тема 9. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела. 51

Тема 10. Сферическое движение твердого тела. 57

Тема 11. Сложное движение точки. 59

Контрольные вопросы.. 64

Динамика. 65

Тема 12. Основные законы механики. Две задачи динамики. 65

Тема 13. Динамика относительного движения материальной точки. 70

Тема 14. Введение в динамику системы материальных точек. 73

Тема 15. Теорема о движении центра масс. 78

Тема 16. Теорема об изменении количества движения. 79

Тема 17. Теоpема об изменении момента количества

движения точки и механической системы.. 83

Тема 18. Теорема об изменении кинетической энергии. 86

Тема 19. Динамика твердого тела. Принцип Даламбера. 97

Тема 20. Принцип возможных перемещений. 106

Тема 21. Малые колебания системы.. 110

Тема 22. Явление удара. Ударная сила и ударный импульс. 112

Контрольные вопросы.. 116

3.2. Сопротивление материалов. 118

Тема 1. Центральное растяжение – сжатие. 118

Тема 2. Статически неопределимые задачи при растяжении или сжатии. 129

Тема 3. Напряженное состояние. 131

Тема 4. Сдвиг. 133

Тема 5. Кручение. 135

Тема 6. Изгиб. 140

Тема 7. Сложное сопротивление. Расчет по теориям прочности. 154

Тема 8. Устойчивость сжатых стержней. 154

Тема 9. Динамические нагрузки. 154

Тема 10. Усталость. 154

Контрольные вопросы.. 154

3.3. Теория механизмов и машин. 154

Тема 1. Основные понятия теории механизмов и машин. 154

Тема 2. Структурный анализ и синтез механизмов. 154

Тема 3. Кинематический анализ механизмов. 154

Тема 4. Силовой анализ и расчет механизмов. 154

Тема 5. Динамический анализ машин и механизмов. 154

Тема 6. Колебания в механизмах. 154

Тема 7. Динамика приводов. Выбор типа приводов. 154

Тема 8. Синтез механизмов. 154

Контрольные вопросы.. 154

3.4. Детали машин и основы конструирования. 154

Тема 1. Общие сведения о деталях машин. 154

Тема 2. Механические передачи. 154

Тема 3. Валы и оси. 154

Тема 4. Соединение деталей машин. 154

Тема 5. Упругие элементы.. 154

Тема 6. Муфты.. 154

Тема 7. Корпусные детали. 154

Контрольные вопросы.. 154

4. Практикум по дисциплине. 154

4.1. Теоретическая механика. 154

Практикум по теме «Система сходящихся сил». 154

Тестовые задания по теме «Система сходящихся сил». 154

Практикум по теме «Теория пар сил». 154

Тестовые задания по теме «Теория пар сил». 154

Практикум по теме «Система произвольно расположенных сил». 154

Тестовые задания по теме «Система произвольно расположенных сил». 154

Практикум по теме «Центр параллельных сил и центр тяжести». 154

Практикум по теме «Понятие о трении. Виды трения». 154

Практикум по теме «Основные понятия кинематики.

Способы задания движения». 154

Тестовые задания по теме «Основные понятия кинематики.

Способы задания движения». 154

Практикум по теме «Простейшие виды движения твердого тела». 154

Тестовые задания по теме «Простейшие виды движения твердого тела». 154

Практикум по теме «Плоскопараллельное

(плоское) движение твердого тела». 154

Практикум по теме «Сложное движение точки». 154

Практикум по теме «Динамика относительного

движения материальной точки». 154

Практикум по теме «Введение в динамику

системы материальных точек». 154

Практикум по теме «Теорема о движении центра масс». 154

Практикум по теме «Теорема об изменении количества движения». 154

Практикум по теме «Теорема об изменении момента

количества движения». 154

Практикум по теме «Теорема об изменении кинетической энергии». 154

Тестовые задания по теме «Теорема об изменении

кинетической энергии». 154

Практикум по темам «Динамика твердого тела. Принцип Даламбера». 154

Практикум по теме «Принцип возможных перемещений». 154

4.2. Сопротивление материалов. 154

Практикум по теме «Центральное растяжение – сжатие». 154

Тестовые задания по теме «Центральное растяжение – сжатие». 154

Практикум по теме «Сдвиг». 154

Практикум по теме «Кручение». 154

Тестовые задания по теме «Кручение». 154

Практикум по теме «Изгиб». 154

Тестовые задания по теме «Изгиб». 154

Практикум по теме «Сложное сопротивление». 154

Тестовые задания по теме «Сложное сопротивление». 154

Практикум по теме «Устойчивость стержней». 154

Тестовые задания по «Устойчивость сжатых стержней». 154

Практикум по темам «Динамические нагрузки. Усталость металлов». 154

4.3. Теория механизмов и машин. 154

Практикум по теме «Структурный анализ и синтез механизмов». 154

Практикум по теме «Кинематический анализ и синтез механизмов». 154

Практикум по теме «Силовой анализ и расчет механизмов». 154

Практикум по теме «Синтез механизмов». 154

Тестовые задания по разделу «Теория механизмов и машин». 154

4.4. Детали машин и основы конструирования. 154

Практикум по теме «Соединения деталей». 154

Практикум по теме «Муфты». 154

Тестовые задания по разделу «Детали машин и основы конструирования». 154

 

ВВЕДЕНИЕ

Механика (от греч. mēchanikē – «искусство построения машин») – наука о механическом движении материальных тел (т.е. изменении с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве) и взаимодействиях между ними.

Методами механики изучаются движения любых материальных тел (кроме микрочастиц) со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света, поэтому «Механика» является научной основой многих технических дисциплин и важнейших направлений развития современной техники.

Чтобы освоить современную авиационную технику, умело ее обслуживать и рационально эксплуатировать, надо сочетать практический опыт с теоретической подготовкой. При этом следует помнить, что успешное и сознательное овладение теоретическими основами авиационной техники невозможно без знания общих законов механики.

В сложившейся системе подготовки инженера-пилота «Механика» служит научной базой таких дисциплин, как «Аэродинамика», «Динамика полета», «Практическая аэродинамика», «Конструкция и летная эксплуатация воздушных судов», «Конструкция и летная эксплуатация авиадвигателей».

Дисциплина «Механика» содержит следующие разделы: «Теоретическая механика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин и основы конструирования», являющихся базовыми для инженерной подготовки.

В разделе «Теоретическая механика» изучается простейшая форма движения материи – механическое движение, т. е. простая перемена места в пространстве с течением времени. Теоретическая механика, как одна из важнейших физико-математических наук, играет важную роль в подготовке инженеров. На законах теоретической механики базируются многие общеинженерные и специальные дисциплины, решаются различные инженерные задачи. Чтобы хорошо усвоить курс теоретической механики, нужно не только глубоко изучить теоретический материал, но и получить твердые навыки в решении задач.

«Сопротивление материалов» является базовой общеинженерной дисциплиной, цель изучения которой – усвоение приемов расчета типовых элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость, в том числе деталей и узлов авиационной техники. Так, например, крыло воздушного судна воспринимает в полете аэродинамические нагрузки. Величина этих нагрузок зависит от типа воздушного судна и может составлять от одной до сотни и более тонн. Под действием таких нагрузок крыло не должно разрушаться – оно должно иметь достаточную прочность. Будучи достаточно прочным, крыло в полете может изгибаться, скручиваться, изменять заданную форму. Чтобы эти явления не приводили к изменению угла установки крыла, потере устойчивости или вибрации, крыло должно быть достаточно жестким. Кроме того, авиационная конструкция должна иметь, возможно, меньший вес, что необходимо для улучшения летных качеств воздушного судна и увеличения его полезной нагрузки.

Таким образом, сопротивление материалов – это наука о прочности, жесткости и устойчивости деталей машин и элементов сооружений с одновременным соблюдением требований экономичности, долговечности, а также рациональности и оптимальности проектируемых конструкций.

В разделе «Теория механизмов и машин» изучаются структура, кинематика и динамика машин и механизмов, а также общие методы их анализа и синтеза, с помощью которых исследуются кинематические и динамические характеристики заданного механизма или, наоборот, по заданным характеристикам определяются схема, основные размеры звеньев и другие параметры конструируемого механизма.

Цель изучения раздела «Детали машин и основы конструирования» заключается в том, чтобы, исходя из заданных условий работы деталей и узлов машин, усвоить методы, правила и нормы их проектирования, обеспечивающие выбор наиболее рациональных для них материалов, форм, размеров, степени точности, качества поверхности и технических условий изготовления. В этом разделе изучают детали и узлы общего назначения (болты, валы, муфты, механические передачи и т.п.); все другие детали (поршни, лопатки турбин, гребные и воздушные винты и т.п.) относятся к деталям специального назначения и изучают в специальных курсах.

Изучение «Механики» будет идти в соответствии с перечисленным порядком дисциплин и соответствует учебной программе каждой специальности.

РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ

Контроль знаний обучающихся

Проверка (контроль, оценка и учет) знаний, умений и навыков (ЗУН) обучаемых – составная часть учебно-воспитательного процесса по дисциплине «Механика».

В учебно-воспитательном процессе используются следующие виды контроля ЗУН:

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Рекомендуемая литература

Основная:

1. Закревский, В.А. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие для вузов / В.А. Закревский, В.А. Касьянов, Э.В. Лузик. – М. : Машиностроение, 1988. – 200 с.

2. Иванов, М.Н. Детали машин : учеб. для втузов / М.Н. Иванов, В.А.Феногенов. – 9-е изд., испр. – М. : Высшая школа, 2005. – 408 с.

3. Леденева, Н.Ф. Механика : учебное пособие для студ. вузов / Н.Ф. Леденева. – Ульяновск: УВАУ ГА, 2003. – 138с.

4. Леденева, Н.Ф. Механика. Детали машин: учеб. пособие / Н.Ф. Леденева. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2005.– 128 с.

5. Леденева, Н.Ф. Механика. Теория механизмов и машин : учеб. пособие / Н.Ф. Леденева, И.Н. Карпунина. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2003.

6. Мещерский, И.В. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие для втузов / И.В. Мещерский; под ред. Н.В. Бутенина, А.И. Лурье, Д.Р. Меркина и др. – 35-е изд., перераб. – М. : Наука, 1981. – 480 с

7. Степин, П.А. Сопротивление материалов: учеб. для немашиностр. спец. вузов/ П.А. Степин. – 8-е изд. – М. : Высш. школа, 1988. – 367 с.

8. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики : учеб. для втузов / С.М. Тарг. – 18-е изд., стер. – М. : Высшая школа, 2008. – 416 с.

9. Теория механизмов и механика машин: учеб. для втузов / К.В. Фролов и др.; под ред. К.В. Фролова. – 4-е изд., исправ. – М. : Высшая школа, 2003. – 496 с.

10. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов : учеб. для втузов/ В.И. Феодосьев. – 10-е изд., перераб. и доп. – М. : МГТУ им Н.Э. Баумана, 1999. – 592 с.

11. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики: учеб. для втузов: в 2 ч. / А.А. Яблонский, В.М., Никифорова . – 6-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1984.

Ч.1: Статика. Кинематика – 343 с.

Ч.2: Динамика. – 423 с

Дополнительная

1. Бутенин, Н.В. Курс теоретической механики: учеб. для втузов: 2 т. / Н.В. Бутенин, Я.Л. Лунц, Д.Р. Меркин. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979

Т.1: Статика и кинематика – 3-е изд., стер.. – 272 с.

Т.2: Динамика – 2-е изд., перераб и доп. – 544 с.

3. Добронравов В.В. и др. Курс теоретической механики: учеб. для втузов / В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин, А.Л. Дворников. – 3-е изд., перераб. – М.: Высш. шк., 1974. – 528 с.

4. Решетов, Д.Н. Детали машин: учеб. для вузов / Д.Н. Решетов. – 3-е изд., испр. и доп. – М.: Машиностроение, 1975. – 655 с.

Методические материалы

2. Леденева, Н.Ф. Справочное пособие по сопротивлению материалов / Н.Ф. Леденева, И.Н. Карпунина. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2001. – 27 с. 3. Механика : альбом схем / сост. Н.Ф. Леденева. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2006.… 4. Механика : рабочая тетрадь / сост.Н.Ф. Леденева. – Ульяновск : УВАУ ГА, 2007. – 59 с.

Технические средства обучения и контроля знаний

1. Наглядные пособия (зубчатые передачи, заклепочные соединения, подшипники качения, редуктора и др.)

2. Плакаты по разделам «Статика», «Кинематика», «Динамика», «Сопротивление материалов», «Теория механизмов и машин», «Детали машин».

3. Приборы и установки для проведения лабораторных работ.

4. Элементы механических конструкций воздушных судов.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Список основных обозначений

С – центр тяжести сечения Е – модуль упругости Jxy – центробежный момент инерции

Тематический словарь терминов

Абсолютно упругое тело – частный случай деформируемого тела, в нем отсутствует остаточная деформация. Аксиома – положение, принимаемое без логического доказательства в силу… Амплитуда колебаний – наибольшее смещение упругой системы от положения статического равновесия.

Методические указания по изучению дисциплины

Цель изучения дисциплины – формирование у обучаемых основ инженерно-технического мышления и общетехнической культуры. Знание данной дисциплины… Основными задачами изучения дисциплины являются: - изучение основных типов конструкций (деталей, узлов, механических передач, соединений деталей);

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Теоретическая механика

Тема 1. Основные понятия и аксиомы статики Материальная точка– тело, размерами которого можно пренебречь. Она обладает… Совокупность материальных точек, положения и движения которых взаимосвязаны между собой, называется системой…

Сложение сходящихся сил. Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил.

Из ∆ADC: т.к. cos(180 – a) = –cosa, то получим , (3.1.2) . (3.1.3)

Контрольные вопросы

1. Какие основные понятия используются в статике?

2. Охарактеризуйте понятие сосредоточенной и распределенной сил.

3. Какие системы сил называются эквивалентными, какие – уравновешенными?

4. Какую силу называют равнодействующей?

5. Сформулируйте аксиомы статики.

6. Основные типы связей. Направление их реакций.

7. Какая система сил называется сходящейся? Как найти равнодействующую системы сходящихся сил.

8. Назовите аналитические условия равновесия системы сходящихся сил, расположенных на плоскости и в пространстве.

9. Теорема о равновесии трех непараллельных сил.

10. Чему равен момент силы относительно точки? Когда он равен нулю?

11. В каких случаях момент силы относительно оси равен нулю?

12. Что такое пара сил? Чему равен момент пары?

13. Как суммируются пары сил? Чем может быть заменена система пар сил, действующих на твердое тело?

14. Что такое пара сил трения качения? Почему она возникает? От чего зависит ее момент?

15. Теорема о параллельном переносе силы.

16. Приведение произвольной плоской системы сил к данному центру. Главный вектор и главный момент.

17. Аналитические условия равновесия различных систем сил.

18. Теорема о моменте равнодействующей произвольной пространственной системы сил относительно точки и оси (теорема Вариньона).

19. Дайте определение центра параллельных сил и центра тяжести твердого тела.

20. Запишите формулы, по которым вычисляются координаты центров тяжести простейших фигур.

21. Перечислите основные способы, используемые при определении положения центров тяжести твердых тел.

22. Как определяется положение центров тяжести симметричных тел?

Кинематика

Тема 7. Основные понятия кинематики.

Способы задания движения

Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение без учета масс и приложения сил. Всякое движение тел происходит в пространстве и во времени, по отношению к другим телам, с которыми жестко связывают систему координат, называемую системой отсчета. Абсолютно неподвижных тел в окружающем нас мире нет, поэтому движение и покой любого тела являются относительными. При изучении движения ВС по аэродрому или при полетах на небольшие расстояния Землю считают неподвижной и связывают с ней систему отсчета. При скоростных полетах на большие расстояния систему отсчета по-прежнему связывают с Землей, но не считают ее неподвижной, а учитывают суточное, а в некоторых случаях и годовое движение. При расчетах движения космических кораблей систему отсчета связывают с Солнцем и так называемыми «неподвижными» звездами.

Для измерения расстояний в пространстве используют единицу длины метр.

Время в механике считают скалярной, непрерывно изменяющейся величиной, одинаковой для всех систем отсчета. За единицу времени принята секунда.

Для характеристики рассматриваемого движения в механике пользуются понятиями «траектория точки», «скорость точки» и «ускорение точки».

Траекторией называют множество последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета.

Скоростью точкиназывают пространственно-временную меру, характеризующую быстроту и направление движения точки.

Ускорением точки называют пространственно-временную меру, характеризующую изменение абсолютной величины и направления скорости.

Способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки. Для задания движения точки в пространстве пользуются каким-либо одним из трех основных способов: векторным, координатным, естественным.

Векторный способ. Положение точки в пространстве однозначно определяется заданием радиуса-вектора , проведенного из некоторого неподвижного центра О в данную точку М. Для определения движения точки должна быть задана вектор-функция аргумента t (рис. 3.1.47):

= f(t). (3.1.40)

Траекторией точки является годограф радиус-вектора.

Вектор скорости точки в данный момент времени t равен первой производной от радиус-вектора точки по времени и направлен по касательной к траектории точки в сторону движения (рис. 3.1.48).

. (3.1.41)

Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета. Скорость измеряется в м/с.

Ускорением точки называется вектор, характеризующий быстроту изменения вектора скорости (рис. 3.1.49)

. (3.1.42)


Ускорение точки равно первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса вектора точки по времени. Вектор ускорения точки всегда направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в так называемой соприкасающейся плоскости.

Координатный способ.Рассмотрим движение точки в прямоугольной системе декартовых координат (рис. 3.1.50). Положение точки М в системе отсчета OXYZ определяется тремя декартовыми координатами точки x, y, z:

x = f1(t); y = f2(t); z = f3(t). (3.1.43)

Уравнение (3.1.43) задает движение точки в декартовых координатах. Обозначим орты осей координат за . Проведем из начала координат в движущуюся точку М радиус-вектор , где , тогда

, (3.1.44)

где Vx = , Vy =, Vz = – проекции вектора скорости точки на неподвижные оси декартовых координат. Модуль и направление вектора скорости

V = = , (3.1.45)

(3.1.46)

Ускорение точки определяем, зная, что

= = , (3.1.47)

где =, = , =– проекции ускорения на координатные оси.

Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения:

, (3.1.48)

cos=; cos=; cos= . (3.1.49)

Естественный способ. Движение точки определено, если заданы (рис. 3.1.51):

- траектория, положение которой относительно выбранной системы отсчета известно;

- начало и направление отсчета дуговой координаты;

- уравнение движения

S = f (t), (3.1.50)

связывающее расстояние движущейся точки от начала отсчета со временем. В общем случае расстояние (S) не равно пройденному точкой М пути, так как точка может начать движение не из начала отсчета, а из другого положения (М1). Численное значение скорости определяется по формуле

, (3.1.51)

т.е. равно первой производной по времени от расстояния.

Знак скорости показывает направление движения точки в данный момент. При знаке «плюс» точка движется в сторону положительного отсчета расстояний и наоборот.

При естественном способе задания движения ускорение точки определяют его составляющими, направленными по так называемым естественным осям. Траектория точки, как и любая кривая, имеет три естественные оси (рис. 3.1.52):

- касательную (орт оси – ) – ось, направленная в сторону положительного отсчета;

- главную нормаль (орт оси – ) – линию пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей, направленную в сторону вогнутости кривой;

- бинормаль (орт оси – ) – ось, перпендикулярную касательной и главной нормали.

Кривизной кривой (K) в данной точке называют предел отношения угла смежности (рис. 3.1.53) к длине дуги ΔS, ему соответствующей, при ΔS→0: K = lim Δφ/ ΔS.

 
 

Величина, обратная кривизне K, называется радиусом кривизны: .

Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и равно производной от вектора скорости по времени (рис. 3.1.54).

Представим вектор скорости как произведение ее численного значения V на орт касательный :

, (3.1.52)

. (3.1.53)

Первое слагаемое есть касательное ускорение точки, характеризующее изменение вектора скорости этой точки только по модулю:

. (3.1.54)

Рассмотрим второе слагаемое. Величину || найдем, взяв предел отношения │Δτ│ к ∆t при ∆t → 0. Получим , где – единичный вектор, направленный по главной нормали, ρ – радиус кривизны траектории.

Тогда – составляющая ускорения точки вдоль главной нормали к траектории называется нормальным ускорением точки и характеризует изменение направления вектора скорости:

. (3.1.55)

Нормальное ускорение всегда направлено к центру кривизны траектории

Полное ускорение определяется по формуле

. (3.1.56)

Модуль ускорения и его направление определяют по формулам:

; (3.1.57)

или , , (3.1.58)

tg α =. (3.1.59)

Движение точки будет ускоренным (рис. 3.1.55, а), если направление векторов скорости и касательного ускорения совпадает, и замедленным (рис. 3.1.55, б), если наоборот.

Прямолинейное равномерное движение точки– единственный вид движения, при котором ускорение точки равно нулю:

V = const; ρ = ∞; .

Рис. 3.1.55

Прямолинейное неравномерное движение точкихарактеризуется изменением скорости по модулю:

V≠ const; ; ρ = ∞ , = 0; .

Криволинейное и равномерное движение точкихарактеризуется изменением направления скорости:

ρ ≠ ∞; ≠ 0, V = const; , .

Криволинейное неравномерное движение точки:

ρ ≠ ∞; V ≠ const; ; ; ,

dV/dt = at = const; , V = V0 ± att. (3.1.60)

Скорость и уравнение равнопеременного движения точки:

V = = V0 + att ; ;

S = S0 + V0t ± . (3.1.61)

Уравнение равнопеременного движения точки при S0 = 0, V0 = 0:

.

Пример 1. Посадочная скорость самолета (Vпос) равна 140 км/ч, длина пробега после посадки (L) оставляет 450 м. Найдите время (t) пробега и ускорение (aпос).

Решение. Для определения ускорения самолета используем уравнение равнопеременного прямолинейного движения точки:

V = V0att.

 

Так как в конце пробега самолет останавливается, то его конечная скорость обращается в нуль

0 = V0att Þ .

; ,

отсюда

t == 23,1 с.

V0 = Vпос = 140/3,6 м/с; = V0/t = 1,68 м/с2.

Пример 2. Самолет при взлете, разбегаясь по ВПП, движется в соответствии с уравнением S = 1,1t2 – 0,001t3 и взлетает через 30 с. Определите ускорения самолета в начальный момент (а0) и в момент отрыва (аотр), скорость отрыва (Vотр) и длину разбега (L).

Решение. Скорость движения точки равна первой производной от расстояния по времени:

V = dS/dt; V = 2,2t – 0,003t2.

Ускорение прямолинейного движения (когда отсутствует нормальное ускорение) равно производной от скорости точки по времени:

= dV/dt; a = 2,2 – 0,006t.

Отсюда найдем ускорение в начальный момент (t = 0) и в момент отрыва (tотр = 30 c):

= 2,2 м/с2; aотр = 2,2 – 0,006· 30 = 2,02 м/с2.

Определим скорость отрыва:

V = 2,2· 30 – 0,003· 302 = 63,3 м/с = 228 км/ч.

Найдем длину разбега:

L = 1,1· 302 – 0,001· 303 = 963 м.

Тема 8. Простейшие виды движения твердого тела

Поступательное движение. Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, соединяющая две точки тела, движется параллельно самой себе (рис. 3.1.56). Траектории точек твердого тела могут быть любыми кривыми линиями.

Теорема.При поступательном движении твердого тела все точки движутся поступательно, описывают одинаковые траектории (совпадающие при наложении) и в каждый момент времени имеют равные скорости и ускорения.

Докажем эту теорему. Пусть твердое тело совершает поступательное движение относительно системы отсчета OXYZ. Положение точек А и В определено радиус-векторами и соответственно, а положение точки В относительно точки А – радиус-вектором . Тогда

,

где = const, учитывая, что и ,

тогда

, но .

Следовательно,

||=| |. (3.1.62)

Взяв производные от скоростей обеих точек, получим

или | | = ||. (3.1.63)

Таким образом, доказано, что поступательное движение твердого тела есть простейшая форма движения. Изучение этого движения сводится к изучению движения точки.

Вращательное движение твердого тела. Вращательнымназывается такое движение твердого тела, при котором остаются неподвижными все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения (коленчатый вал поршневого двигателя, центробежный компрессор, газовая турбина реактивного двигателя, винт самолета вращаются вокруг неподвижных осей).

Угол, отсчитываемый от неподвижной полуплоскости против движения часовой стрелки, измеряемый в радианах, называется углом поворота тела (φ). Уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси выражает зависимость угла поворота от времени (рис. 3.1.57):

φ = f(t). (3.1.64)

Основными характеристиками вращательного движения тела являются угловая скорость – ω и угловое ускорение – ε.

Угловой скоростью тела называется величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота с течением времени. Угловая скорость определяется по формуле

. (3.1.65)

где w – угловая скорость, рад/с, с-1.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , численная величина которого равна dφ/dt и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 3.1.58, а). Такой вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

В технике угловую скорость часто выражают не в радианах в секунду, а частотой вращения n, выраженной числом оборотов в минуту. Зависимость между n и ω с учетом того, что каждый оборот содержит 2π рад, имеет вид

.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора , направленного вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , когда тело вращается ускоренно и противоположно при замедленном вращении (рис. 3.1.58, а, б).

, (3.1.66)

где e – угловое ускорение, рад/с2.

Величины φ, ω, ε, n являются угловыми характеристиками, применимыми для всего тела в целом. Их нельзя относить к отдельной точке вращающегося тела или к другой какой-либо точке. Движение точки характеризуется линейными величинами: скоростью и ускорением .

Равномерное вращение. Равномернымназывается такое вращение тела, при котором его угловая скорость постоянна:

ω = const; = ω = const; dφ = ω dt; = ω ;, φ – φ0 = ω t

или

φ = φ0 + ωt. (3.1.67)

Равнопеременное вращение. Равнопеременным называется такое вращение тела, при котором его угловое ускорение постоянно:

ε = const; = ε; ω = ω0 ± εt. (3.1.68)

ω =; φ = φ0 0t ± ε (3.1.69)

При φ0 = 0 и ω0 = 0 получим

φ = ε .

Скорости и ускорения точек тела, при вращательном движении.Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии R от оси вращения OZ (рис. 3.1.59). При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса R, плоскость которой перпендикулярна к оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол dφ, то точка М при этом совершит вдоль своей траектории элементарное перемещение dS = R dφ. Тогда скорость точки будет равна

V =

или

V = R ω. (3.1.70)

Скорость V называют линейной или окружной скоростью точки М.

Касательное и нормальное ускорения определяется по формулам:

,

или

at = Rε, an = Rω2. (3.1.71)

Модуль полного ускорения находится по формуле

, (3.1.72)

а угол α между вектором полного ускорения и главной нормалью траектории вычисляется по формуле

tg α = (3.1.73)

Пример 1. Рулевой винт вертолета начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и за первые 4 с совершает 38,2 оборота. Определите его угловое ускорение, угловую скорость и закон изменения угла поворота.

Решение. При равноускоренном вращательном движении угловое ускорение постоянно (ε = const). Записав для него общее дифференциальное выражение dω/dt = ε, разделим в этом выражении переменные и проинтегрируем его. В результате получим

ω = ε t.

Угловая скорость связана с углом поворота выражением . Еще раз разделив переменные и, проинтегрировав, найдем закон вращательного движения:

φ = ε .

По условию задачи при t = 4 c, φ = 38,2 об = 240 рад.

Подставив эти значения в общее выражение для угла поворота, найдем

240 = ε,

откуда

ε = 30 с-2.

Таким образом,

ε = 30 с-2; ω = 30t c; φ = 15t2.

Пример 2. При выходе на рабочий режим ротор газотурбинного авиадвигателя вращается согласно уравнению φ = 200π t + 15π t2. Определите скорость и ускорение расположенного на расстоянии R = 475 мм от оси вращения центра тяжести лопатки ротора через 4 с после начала вращения.

Решение. Используя дифференциальные зависимости между углом поворота и угловой скоростью, угловой скоростью и угловым ускорением, найдем

ω = φ(t); w = 200 π + 30 π t = 320 π c-1; ε = ώ (t) = 30 π c-2.

По найденным кинематическим характеристикам вращательного движения находим скорость

V = ωR = 320π· 0,475 = 477 м/c.

Затем определяем касательное, нормальное и полное ускорения центра тяжести лопатки турбины:

at = ε×R; at = 30π·0,475 = 44,8 м/с2;

an2 R; an = (320π)20,475 = 480 000 м/с2;

= 480 000 м/с2.

Тема 9. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела

Уравнения плоскопараллельного движения. Разложение движения на поступательное и вращательное. Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Рассмотрим сечение тела какой-нибудь плоскостью OXY, параллельной неподвижной плоскости П (рис. 3.1.60). При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой АА2, перпендикулярной к сечению, т.е. к плоскости П, движутся тождественно. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение тела в плоскости OXY. В дальнейшем плоскость OXY будем совмещать с плоскостью рисунка, а вместо всего тела изображать только его сечение.

Положение сечения в плоскости OXY определяется положением какого-нибудь проведенного в этом сечении отрезка АВ (рис. 3.1.61). Положение отрезка АВ можно определить, зная координаты xА, yА точки А и угол φ, который отрезок АВ образует с осью x.

Точку А, выбранную для определения положения сечения, называют полюсом.

При движении тела величины xА, yА и φ будут меняться:

xА = f1(t), yА = f2 (t), φ = f3 (t). (3.1.74)

Уравнения (3.1.74), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

Плоскопараллельное движение можно представить состоящим из поступательного и вращательного движений. Сечение тела (рис. 3.1.62) можно переместить из одного положения в другое, переместив сначала поступательно и затем повернув на угол φ вокруг оси, проходящей через полюс (точку А).

Следовательно, плоскопараллельное движение тела слагается из поступательного движения, в котором все точки тела движутся так же, как полюс, и из вращательного движения вокруг этого полюса.

За полюс можно выбрать любую точку, движение которой известно. При этом поступательное движение зависит от выбора полюса, а величина угла поворота и направление поворота от выбора полюса не зависят (см. рис. 3.1.62).

Скорости точек тела при плоскопараллельном движении

  Положение любой точки В тела можно определить равенством (рис. 3.1.63) .

Контрольные вопросы

1. Определение скорости точки при задании ее движения векторным, координатным и естественным способами.

2. Определение ускорения точки при задании ее движения векторным, координатным и естественным способами.

3. Какое движение твердого тела называют поступательным? Как оно задается?

4. Какое движение твердого тела называется вращением вокруг неподвижной оси и как оно осуществляется?

5. Что называют угловой скоростью вращения? Как она определяется?

6. Как вводится понятие «угловое ускорение»? Что оно характеризует?

7. Запишите формулы, по которым определяются скорость, касательное, нормальное и полное ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

8. Дайте определения понятиям «вектор угловой скорости» и «вектор углового ускорения». Как они направлены и где они приложены?

9. Уравнения равномерного и равнопеременного вращения тела вокруг неподвижной оси.

10. Какое движение твердого тела называют плоскопараллельным? Почему для характеристики этого движения достаточно трех уравнений?

11. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное и вращательное.

12. Как определяются скорости точек тела при плоскопараллельном движении?

13. Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки.

14. Что такое мгновенный центр скоростей? Как определяется его положение? Назовите частные случаи определения.

15. Как определяются скорости точек тела при плоском движении с помощью мгновенного центра скоростей?

16. Докажите теорему об ускорениях точек тела при плоскопараллельном движении.

17. Абсолютное, относительное и переносное движения точки. Приведите примеры. Скорости и ускорения.

18. Теорема о сложении скоростей при сложном движении точки.

19. Теорема о сложении ускорений при сложном движении точки.

20. Что характеризует и как определяется поворотное ускорение?

21. Сформулируйте правила определения направления поворотного ускорения.

Динамика

Тема 12. Основные законы механики. Две задачи динамики

Динамикой называется наиболее общая часть теоретической механики, в которой изучается зависимость между механическим движением материальных тел и действующими на них силами.

Основоположником динамики является И. Ньютон (1642–1727). Он сформулировал основные законы динамики, обобщил понятие силы, ввел понятие массы, открыл закон всемирного тяготения, – все это лежит в основе современной механики и физики.

1-й закон Ньютона (закон инерции): изолированная материальная точка движется pавномеpно и пpямолинейно либо находится в покое, до тех поp, пока действие дpугих тел на эту материальную точку не изменит этого состояния.

Свойства изолированной материальной точки сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется свойством инертности.

2-й закон Ньютона (основной закон динамики): скорость изменения количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку (рис. 3.1.85). Математически этот закон Ньютона представим равенством

, (3.1.90)

где m – масса точки;

– скорость точки;

– количество движения точки

Принимая m = const, получим

или . (3.1.91)

Это уравнение называется основным уравнением динамики материальной точки: действующая на материальную точку сила равна произведению массы точки на ее ускорение.

Следовательно, векторы и наплавлены по одной прямой. Этот закон выражает количественное соотношение между тремя физическими величинами: массой, силой и ускорением.

Массой материальной точки называется физическая величина, являющаяся мерой ее инертности и гравитационных свойств.

Сила является количественной мерой взаимодействия материальных тел друг с другом.

Из 2-го закона Ньютона следует, что если сила , то ; .

Это означает, что между 1-м и 2-м законами Ньютона имеется полное соответствие. Эти законы относятся к динамике материальной точки и справедливы только в инерциальной системе координат – системе, движущейся поступательно, прямолинейно и равномерно. Это гелиоцентрическая система с началом в центре Солнца и осями, направленными на так называемые неподвижные звезды. При решении большинства технических задач инерциальной можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей.

Закон независимости действия сил:ускорение материальной точки, возникающее при одновременном действии на нее нескольких сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщаемых точке отдельными силами.

Этот закон вытекает из аксиомы о параллелограмме сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает следующий вид:

или . (3.1.91')

3-й закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия двух материальных тел):силы взаимодействия двух тел (действия и противодействия) равны по величине, направлены в противоположные стороны и имеют общую линию действия (рис. 3.1.86).

3-й закон Ньютона относится к динамике системы и справедлив в любой системе координат, т. к. он не содержит кинематических характеристик движущихся материальных объектов. Действие и противодействие приложены к различным материальным телам, поэтому не уравновешиваются.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки.Используя основной закон динамики, можно вывести дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат (рис. 3.1.87 и 3.1.88). Вспоминая, что

,

где – вектор скорости, – радиус-вектор точки,


можно записать уравнение (3.1.91) следующим образом:

. (3.1.92)

От векторной формы основных соотношений перейдем к аналитической форме в проекциях на оси

m = Fх = X;

m = Fy = Y; (3.1.93)

m = Fz = Z.

Большое значение имеют также дифференциальные уравнения в проекциях на естественные оси (направления касательной, нормали и бинормали к траектории):

. (3.1.94)

Первая задача динамики материальной точки.Зная массу точки (m) и уравнения ее движения x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t), можно найти модуль и направление равнодействующей сил, приложенных к точке. Эта задача легко решается путем дифференцирования уравнений движения, и решение получается непосредственно из уравнений (3.1.93)

X = m; Y = m; Z = m;

F = ,

cos() =;

Обратная (вторая) задача динамики материальной точки. Зная силы, действующие на материальную точку, ее массу m, а также начальное положение точки М0 (x0, y0, z0) и ее начальную скорость V0 (x0, y0, z0), требуется найти закон движения этой точки.

Под действием одной и той же силы материальная точка может совершать целый класс движений, определяемых начальными условиями движения:

x = f1(t; x0, y0, z0;);

y = f2(t; x0, y0, z0;); (3.1.95)

z = f3(t; x0, y0, z0;).

Решение этой задачи сводится к интегpиpованию дифференциальных уравнений (3.1.93), в которых масса, а также проекции силы известны. При интегрировании каждого дифференциального уравнения движения точки появляются две постоянные. Значения этих постоянных определяют по начальным условиям движения.

Во второй основной задаче динамики рассматриваются четыре случая:

1. Сила постоянна по модулю и направлению (имеем случай равнопеременного движения, т.е. движения с постоянным ускорением).

2. Сила зависит от времени (это происходит, когда ее изменяют путем регулирования, как, например, регулируют силу тяги ВС путем изменения режима работы его двигателей).

3. Сила зависит от положения точки в пространстве (силу, зависящую от координаты x, может создать сжатая или растянутая пружина и другие упругие тела при их деформации).

4. Сила зависит от скорости точки (это, прежде всего, сила сопротивления, когда материальная точка движется в какой-либо среде, например, в воздухе, воде и т.д.).

Свободные прямолинейные колебания материальной точки. Материальная точка М массой m движется прямолинейно под действием восстанавливающей силы F, направленной к центру колебания О (рис. 3.1.89):

F = – cx,

где c – постоянный коэффициент пропорциональности.

Дифференциальное уравнение колеблющейся материальной точки выглядит следующим образом:

m= – cx. (3.1.96)

Разделим левую и правую часть на m и введем обозначение c/m = k2 и перенесем в левую часть:

= 0. (3.1.97)

Получили линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид

x = C1coskt + C2sinkt, (3.1.98)

где C1 и C2 – произвольные постоянные, определяемые по начальным условиям движения t = 0, x = x0 , V = V0.

Уравнение (3.1.98) – уравнение гармонических колебаний материальной точки:

V = dx/dt = – C1 ksinkt + C2 kcoskt; (3.1.99)

x0 = C1, V0 = C2 k Þ C1 = x0, C2 = V0/k.

Подставив в уравнение (3.1.98), получим искомый закон движения точки М

. (3.1.100)

Для анализа свободных колебаний дифференциальное уравнение (3.1.98) лучше представить в амплитудной форме, где C1 = A sinα, C2 =A cosα:

x = A sin(kt +α), (3.1.101)

следовательно, в случае прямолинейного движения под действием притягивающей силы, пропорциональной расстоянию от центра притяжения, материальная точка совершает гармонические колебания.

Величина наибольшего отклонения точки М от центра О, называется амплитудой – (A) колебания; аргумент (kt + α) называется фазой колебания; α – начальной фазой колебания; k – круговой частотой колебаний. Графиком гармонических колебаний является синусоида.

Скорость точки определяется по формуле

V = dx/dt = Аkcos(kt + α). (3.1.102)

Амплитуда A и начальная фаза α определяются по начальным условиям движения.

Пусть при t = 0, абсцисса точки М = x0, а скорость V0, тогда x0 = Аsinα, V0 = Аkcosα, получаем

А = и tgα =. (3.1.103)

Найдем полный период колебаний, т.е. тот промежуток времени, по истечении которого точка возвращается в данное положение с той же самой скоростью:

T = 2π/k или T =. (3.1.104)

Частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой точки и от коэффициента с, характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения, k = 2π/T – круговая частота колебаний, определяющая число полных колебаний, которые совершает точка в течение 2π секунд.

Принцип Даламбера для материальной точки.Принципом Даламбера называют метод, позволяющий решать задачи динамики приемами статики.

Пусть точка М массой m движется по некоторой поверхности с ускорением под действием активных сил, равнодействующая которых равна , на нее наложены связи (рис. 3.1.90). Основное уравнение динамики имеет вид

; (3.1.105)

.

Введем обозначение

, (3.1.106)

тогда уравнение (3.1.105) примет вид

. (3.1.107)

Уравнение (3.1.107) выражает принцип Даламбера: если в каждый данный момент к действующим на точку активным силам и реакциям связи условно присоединить силу инерции, то полученная система сил будет находиться в воображаемом равновесии и по отношению к ней будут справедливы уравнения статики.

Сила инерции реально существует в природе, но в действительности она приложена не к движущейся точке, а к тому телу, от взаимодействия с которым эта точка получает данное ускорение.

Силой инерции называется сила , равная по модулю произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

Проецируя уравнение (3.1.106) на оси декартовых координат, получим

. (3.1.108)

Проецируя уравнение (3.1.109) на естественные оси, получим (рис. 3.1.91)

. (3.1.109)

Тема 13. Динамика относительного движения материальной точки

Пусть материальная точка массой m движется по отношению к системе отсчета , которая, в свою очередь, обладает некоторым движением по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета охуz (рис.3.1.92). Обозначим через равнодействующую приложенных к точке активных сил, через – равнодействующую реакций связей.

На основании 2-го закона Ньютона

,

где – абсолютное ускорение точки.

На основании теоремы Кориолиса

,

тогда

или .

Векторы (–m) и (–m) называются соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Введя обозначение и , получаем

. (3.1.110)

Выражение (3.1.110) представляет собой основное уравнение динамики относительного движения материальной точки. В случае непоступательного переносного движения относительное движение материальной точки можно рассматривать как абсолютное, если к действующим на точку силам присоединить переносную и кориолисову силы инерции.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Подвижная система отсчета движется поступательно: ωe = 0, = 0, = 0. Уравнение (3.1.110) примет вид

. (3.1.111)

2. Подвижная система отсчета движется поступательно, прямолинейно и равномерно = 0, = 0 и , . Уравнение (3.1.110) примет вид

, (3.1.112)

т.е. основное уравнение динамики имеет такой же вид, как в случае неподвижной системы отсчета. Иными словами, рассматриваемая система отсчета является инерциальной.

Отсюда вытекает принцип относительности классической механики, установленный Галилеем: «В системе отсчета, движущейся поступательно, прямолинейно и равномерно относительно неподвижной системы, все механические явления происходят так же, как и в неподвижной системе, в силу чего никакими механическими экспериментами такое движение системы отсчета не может быть обнаружено».

3. Точка по отношению к подвижным осям находится в покое: и , а, следовательно, и Уравнение (3.1.110) примет вид

. (3.1.113)

Таким обpазом, в случае, когда материальная точка находится в состоянии относительного покоя, геометpическая сумма фактически пpиложенных к точке сил и пеpеносной силы инеpции pавна нулю

Случаи относительного покоя, пеpегpузки, испытываемые пилотом. Интересным примером относительного равновесия является равновесие пилота в системе отсчета, связанной с ВС. Определим перегрузку, действующую на пилота в различных режимах полета.

Перегрузкой, испытываемой пилотом в полете, называют векторную физическую величину, равную отношению вектора силы, с которой кресло и привязные ремни действуют на пилота в полете, к произведению массы пилота на ускорение свободного падения:

.

В полете на пилота фактически действуют только две силы: реакция со стороны кресла и привязных ремней, а также сила тяжести.

Таким образом, условие относительного равновесия для данного случая может быть записано в следующем виде:

,

откуда, учитывая, что и , находим

.

Переносное ускорение можно принять равным ускорению центра масс самолета, которое найдем из основного закона динамики

mc =,

где – сила тяги двигателя,

– подъемная сила,

– сила лобового сопротивления,

– сила бокового давления.

Тогда

=;

. (3.1.114)

Разложим перегрузку по осям ВС на три составляющие: продольную (), направленную по продольной оси ВС, нормальную (ny = Y /Gc), направленную по главной нормали к траектории движения ВС, и боковую (nz= Z /Gc).

Боковая составляющая nz обычно равна нулю, так как в нормальных условиях ВС летит без бокового скольжения. Продольная составляющая nх мала, так как разность между силой тяги двигателя и силой лобового сопротивления обычно мала, за исключением непродолжительных режимов ускорения после включения форсажа. Следовательно, основной составляющей перегрузки в полете при выполнении пилотажных фигур является нормальная составляющая перегрузки, равная отношению подъемной силы к силе тяжести.

В полете можно на некоторое время создать такой режим, называемый состоянием динамической невесомости, когда перегрузка, действующая на пилота, равна нулю. Для этого необходимо силу лобового сопротивления уравновесить силой тяги двигателя, а с помощью рулей при выполнении горки выдержать режим нулевой подъемной силы.

Рассмотрим криволинейное движение ВС и перегрузки, действующие при этом.

При движении по дуге радиусом R, расположенной в вертикальной плоскости, ВС имеет ускорение, и, следовательно, силы и не уравновешены. Но, приложив силы инерции, мы сможем использовать уравнения равновесия (рис. 3.1.93).

Приложим и составим уравнение равновесия в проекции на ось OY:

Ymg – Фn = 0 или Y = mg + m,

разделим на mg, пролучим

или

ny = 1 + . (3.1.115)

Таким образом, перегрузка возрастает с увеличением скорости и уменьшением радиуса траектории полета.

Перегрузка ny не равна единице и при разворотах ВС. Правильный разворот выполняют по дуге окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью. И в этом случае силы, действующие на ВС, не уравновешены (рис. 3.1.94).

Рис. 3.1.94

Составим условие равновесия сходящихся сил, где угол γ равен углу крена ВС. Решая треугольник сил, получим

cosγ =,

тогда

и . (3.1.116)

Как следует из формулы (3.1.116), перегрузка ny увеличивается с увеличением крена, который, в свою очередь, зависит от скорости ВС и радиуса разворота. Например, при крене γ = 10° ny = 1,01, при γ = 30° ny =1,16, при γ = 60° ny = 2. Для пассажирских самолетов крен более 30° не допускается. Максимально допустимая перегрузка ограничена, исходя из соображений прочности самолета. Как правило, она не превышает nmax = 2,5–2,8.

Тема 14. Введение в динамику системы материальных точек

Совокупность множества материальных частиц образуют систему материальных точек. Если система материальных частиц такова, что движение каждой ее точки зависит от положения остальных точек, то она называется механической системой материальных точек.

Условия, ограничивающие свободу движения точек системы, называют связями (гибкие, идеально гладкие, шарнирные).

Все силы, действующие на систему несвободных точек, можно разделить на активные (вызывающие движение системы) и пассивные (реакции связей). Кроме того, силы делятся на внешние и внутренние.

Внешними называют силы, действующие на движущуюся механическую систему извне и ей не принадлежащие ().

Внутренними силами называют силы взаимодействия между отдельными точками системы (). Внутренние силы обладают следующими свойствами:

1. Геометрическая сумма всех внутренних сил системы равняется нулю ∑= 0. Действительно, на основании третьего закона динамики любые две точки системы (рис. 3.1.95) действуют друг на друга с равными по модулю и противоположно направленными силами и , сумма которых равна нулю.

2. Сумма моментов всех внутренних сил системы относительно любого цента или оси равняется нулю:

или ∑.

Внутренние силы не уравновешиваются, так как они приложены к различным точкам системы и могут вызывать перемещения этих точек относительно друг друга. Уравновешенными внутренние силы будут тогда, когда рассматриваемая система представляет собой абсолютно твердое тело.

Масса системы. Центр масс. Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему: М = ∑mк.

Центром масссистемы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой находится по формуле

. (3.1.117)

В проекциях на декартовы оси координат это равенство запишется в следующем виде:

, , . (3.1.118)

Понятие «центр масс» является очень важным. При исследовании движения системы очень часто невозможно определить движение каждой из точек системы. Поэтому о движении системы судят по движению ее центра масс.

Моменты инерции. Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распределения масс – момент инерции. Моментом инерции тела (системы)относительно плоскости, оси или полюса называют скалярную физическую величину, равную сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния этой точки до плоскости, оси или полюса соответственно (рис. 3.1.96).

Jхоу = ∑mk ; Jхоz = ∑mk; Jyoz = ∑mk,

Jox =∑mk(); Joy =∑mk(); Joz =∑mk() (3.1.119)

Jo =∑mk().

Радиусом инерции тела относительно некоторой оси (Оz) называют расстояние ρ от оси до точки, в которой необходимо сосредоточить массу М = åmk всего тела, чтобы момент инерции этой точки относительно этой оси равнялся моменту инерции тела: Jz = M ρ2.

Единицей измерения момента инерции в системе СИ является 1 кг×м2.

Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей. Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через его центр масс, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями (рис. 3.1.97).

Возьмем начало координат О в центе тяжести С тела, тогда хс = 0, yс = 0, zс = 0, z1 || z .

Требуется доказать: Jz1 = Jzc + Md2, где d – расстояние между осями; М – масса тела.

Известно что,

Jzc =∑mk(), Jz1=∑mk().

По формуле преобразования координат при параллельном переносе осей имеем

x1k = xk, y1k = ykd, z1k = zk,

Jz1=∑mk[+ (ykd)2] =∑mk[– 2ykd + d2] =

=∑mk() + ∑mkd2 – 2dmkyk = Jzc+ Md2,

так как

mkyk = Myc, а yc = 0,

то

mkyk = 0,

следовательно,

Jz1 = Jzc + Md2. (3.1.120)

Отсюда следует, что из всех моментов инерции относительно различных осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс системы.

Определение моментов инерции. Рассмотрим некоторые примеры определения моментов инерции однородных твердых тел.

1. Момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его конец А (рис. 3.1.98). Обозначим: l – длина стержня АВ, γ = M/l – линейная плотность стержня, т.е. масса, приходящаяся на единицу длины, М = γ l – масса всего стержня. Разобьем стержень на бесконечно малые отрезки. Расстояние такого отрезка от оси zxk, его масса mk = γ·dxk. По определению:

Jz = = γ x2dx = ,

но γl = M, тогда

. (3.1.121)

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс, вычислим по теореме Гюйгенса:

Jz = Jzc + Md2,

отсюда

Jzc = Jz – Md2, где d = l/2,

тогда

Jzc =

или

Jzc = . (3.1.122)

2. Момент инерции материальной окружности (тонкого однородного проволочного кольца) радиусом R и массой М относительно его центра О (рис. 3.1.99). Разобьем окружность на бесконечно малые элементы – дуги, массу элемента обозначим m, расстояния их от центра одинаковы и равны R. Поэтому

J0 = ∑mkR2 = R2mk = MR2, J0 = MR2. (3.1.123)

Такой же результат получится и для тонкой цилиндрической оболочки массой М и радиусом R относительно ее оси.

3. Момент инерции круглой однородной пластины радиусом R и массой М относительно оси, проходящей через ее центр О. Находим разбиением данного круга на элементарные плоские кольца (рис. 3.1.100). Радиус такого кольца обозначим через r, массу – m, бесконечно малую ширину через dr, толщину – h и плотность – g. Тогда

Δmk = γ2πrhdr, J0 = ∑mk,

так как масса круга М = γπhR2, то

J0 =. (3.1.124)

J0 = Jx + Jy, но для круга Jx = Jy, следовательно,

Jx = Jy =. (3.1.125)

4. Момент инерции цилиндра относительно его оси (рис. 3.1.101). Разбиваем цилиндр массой М и радиусом R на бесконечно тонкие круглые пластинки.

Jc тон.пл. = ,

где m – масса круглой пластинки;

Jz =;

Jz =. (3.1.126)

Дифференциальные уравнения движения механической системы.Пусть дана механическая система n материальных точек. Рассмотрим Мk точку этой системы. Для нее: mk – масса точки; – ускорение;– равнодействующая всех внешних сил, приложенных к этой точке (как активных, так и реакций связей); – равнодействующая всех внутренних сил, приложенных к точке.

Тогда на основании второго закона динамики дифференциальное уравнение движения этой точки запишется

,(k = 1, 2, ... n). (3.1.127)

Аналогичный результат получим для любой точки, всего система имеет n таких уравнений.

Спроецируем векторное равенство (1.128) на оси декартовых координат:

, , , (k = 1, 2, ... n). (3.1.128)

Трудности решения системы дифференциальных уравнений очень велики даже для одной материальной точки. Основная роль уравнений (3.1.127) состоит в том, что или они сами, или следствия из них являются исходными для получения соответствующих общих теорем.

Тема 15. Теорема о движении центра масс

В ряде случаев для определения характера движения системы (особенно твердого тела) достаточно знать закон движения ее центра масс. Положение центра масс С системы определяется равенством (3.1.117)

Уравнения движения точек этой системы имеют вид уравнения (3.1.127)

, (k = 1, 2, ... n).

Суммируем эти уравнения и преобразуем левую часть равенства, учитывая формулу (3.1.117), тогда

или

. (3.1.129)

Спроецируем выражение (1.129) на координатные оси х, у, z:

(3.1.129¢)

Геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему.

Уравнение (3.1.129) выражает теорему о движении центра масс системы: центр масс системы движется, как материальная точка, масса которой равна массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

Из уравнения (3.1.129) следует, что внутренние силы влияния на движение центра масс не оказывают. В ряде случаев внутренние силы являются причиной появления внешних сил, приложенных к системе.

Закон сохранения движения центра масс. Если главный вектор внешних сил остается все время равным нулю, то центр масс механической системы находится в покое или движется прямолинейно и равномерно.

Если то , т.е. = const.

Рассмотрим некоторые примеры:

1. При полете снаряда единственной внешней силой является сила тяжести (вес), если пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому центр масс снаряда движется, как материальная точка под действием силы тяжести, т.е. по параболе. Если в полете снаряд разорвется, то действующие при взрыве силы (внутренние) не могут изменить движение центра масс снаряда.

2. Представим себе человека, стоящего на совершенно гладкой плоскости. Внешними силами являются вес человека и нормальная реакция поверхности. Они могут переместить центр тяжести человека по вертикали. Горизонтальные перемещения центра тяжести человека невозможны, следовательно, хождение по идеально гладкому льду невозможно. Точно так же движение автомобиля или локомотива возможно только благодаря наличию сил трения.

Тема 16. Теорема об изменении количества движения

Количество движения точки и системы. Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление вектора скорости и модуль, равный произведению массы точки m на модуль скорости ее движения V, и направлен по направлению скорости, по касательной к траектории движения (рис. 3.1.102). Количество движения является мерой механического движения точки. Единицей измерения количества движения в системе СИ является 1 кгм/с.

Главным вектором количества движениясистемы называется геометрическая сумма количеств движения материальных точек, входящих в систему:

. (3.1.130)

Так как производная от суммы равна сумме производных, то из выражения (3.1.117) следует, что

. (3.1.130¢)

Этот вектор не имеет точки приложения, он является векторной мерой механического движения системы.

Теорема об изменении количества движения. Рассмотрим Мк точку системы, состоящей из n материальных точек. Для этой точки: mk – масса, – скорость, – равнодействующая всех внешних сил, приложенных к точке, – равнодействующая всех внутренних сил. Запишем для этой точки теорему об изменении количества движения в дифференциальной фоpме:

.

Аналогичные выражения запишем для всех точек системы и сложим геометрически, а по свойству внутренних сил ∑= 0, тогда

. (3.1.131)

Производная по времени от главного вектора количества движения механической системы равна главному вектору всех внешних сил, действующих на систему.

Разделив переменные в уравнении (3.1.131) и проинтегрировав, получим

, . (3.1.132)

Изменение главного вектора количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно главному импульсу всех внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

Закон сохранения количества движения.Если главный вектор внешних сил за рассматриваемый промежуток времени равен нулю, то количество движения механической системы постоянно:

= 0, то , т.е. или .

В изолированных системах внутренние силы не влияют на изменение суммарного количества движения.

Рассмотрим несколько примеров закона сохранения количества движения.

1. Работа пропеллера. Винт сообщает некоторой массе воздуха движение вдоль оси винта, отбрасывая массу воздуха назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и ВС как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды как внутренние не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха назад ВС получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, как оно было до начала движения.

2. Реактивное движение. Газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из сопла реактивного двигателя. Действующие при этом силы давления будут силами внутренними, и они не могут изменить суммарное количество движения системы. Но так как газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость движения вперед.

Понятие о теле и точке пеpеменной массы. В классической механике масса движущегося тела рассматривается только как постоянная величина. Однако имеются случаи движения тел, масса которых за время движения изменяется. Убывает масса летящей ракеты вследствие сгорания топлива. Реактивный самолет представляет собой тело, масса которого увеличивается за счет частиц воздуха, засасываемых в двигатель, и уменьшается вследствие отбрасывания продуктов горения.

Создателями основ механики тела переменной массы являются русские ученые И.В. Мещерский (1859–1935) и К.Э. Циолковский (1857–1935).

Тело, масса которого изменяется с течением времени, называется телом переменной массы.

Если размерами этого тела по сравнению с проходимыми им расстояниями можно пренебречь, то его можно рассматривать как точку переменной массы.

Рассмотрим движение некоторой точки переменной массы (рис. 3.1.103). В момент времени t масса точки равна m(t), а скорость – (t). За время dt к рассматриваемой точке присоединилась частица массы dm, имевшая до присоединения абсолютную скорость . Количество движения может быть найдено из следующих очевидных равенств:

;

(t + dt) = (m + dm)().

Изменение количества движения за время dt может быть представлено в виде

d= (m + dm)() – () =.

Пpенебpегая слагаемым втоpого поpядка малости dm dи учитывая, что изменение количества движения механической системы pавно главному вектоpу внешних сил (1.132), получим

.

Обозначив за относительную скорость пpисоединенной массы, получим

. (3.1.133)

Уравнение (3.1.133) пpедставляет собой основное уpавнение динамики точки пеpеменной массы, котоpое называют уpавнением Мещеpского.

Как следует из физического смысла правой части полученного уpавнения, слагаемое dm/dt должно пpедставлять собой силу. Ее обозначают и называют реактивной силой.

Величина dm/dt характеpизует изменение массы за единицу вpемени, т.е. секундное изменение массы – mc, тогда

, (3.1.134)

т. е. реактивная сила pавна пpоизведению секундного изменения массы на относительную скоpость пpисоединяющихся частиц (пpи уменьшении массы – отделяющихся частиц, для pакеты – пpодуктов сгоpания). Реактивная сила направлена в сторону, противоположную относительной скоpости отделяющихся частиц.

Найдем, как пpоисходит движение pакеты под действием только одной pеактивной силы, без учета каких-либо внешних воздействий, а относительная скоpость истечения продуктов сгорания постоянна по абсолютной величине и противоположна движению ракеты (рис. 3.1.104).

Дифференциальное уpавнение движения pакеты в пpоекции на ось Оx будет иметь следующий вид:

.

Разделив переменные dV = и выполнив интегриpование, получим

, (3.1.135)

где V0 и m0 – начальная скоpость и масса pакеты соответственно.

Формула (3.1.135) впервые была получена К.Э. Циолковским и носит его имя.

Обозначим массу корпуса ракеты со всем оборудованием чеpез mk, а всю массу топлива чеpез mт, тогда

m0 = mk + mт,

а масса ракеты, когда все топливо будет израсходовано, будет равна mk.

Подставляя эти значения в pавенство (1.135), получим фоpмулу для максимальной скоpости pакеты:

V1 = V0 + Uk ln ; V1 = V0 + Ur ln (1 +). (1.136)

Из формулы (1.136) видно, что пpедельная скоpость pакеты зависит:

- от ее начальной скоpости (V0);

- от относительной скоpости истечения пpодуктов гоpения (Ur);

- от относительного запаса топлива mт/mk (число Циолковского).

От режима pаботы pакетного двигателя, т.е. от того, насколько быстpо или медленно сжигается все топливо, скоpость pакеты не зависит.

Важное значение фоpмулы Циолковского состоит в том, что она указывает возможные пути получения больших скоpостей, необходимых для космических полетов. Этими путями являются увеличение Ur и V0 .

Увеличение Ur и mт/mk связано с видом топлива и констpукцией pакеты. Увеличение V0 возможно путем использования многоступенчатой pакеты, ступени котоpой по меpе изpасходования содеpжащегося в них топлива автоматически отделяются от последней ступени, получающей в pезультате дополнительную (начальную) скоpость.

Тема 17. Теоpема об изменении момента количества

движения точки и механической системы

Момент количества движения точки и механической системы.Наpяду с количеством движения в качестве вектоpной меpы движения можно использовать кинетический момент или момент количества движения. Для матеpиальной точки М массой m, движущейся со скоpостью под действием силы , кинетическим моментом относительно какого-либо центpа О называют момент количества движения точки относительно этого центpа О (pис. 3.1.105).

Момент силы и момент количества движения точки относительно некотоpого центpа опpеделяются аналогично. В соответствии с законами статики

М0() = ,

. (3.1.137)

Кинетический момент пpиложен к точке О, относительно котоpой он вычисляется. Модуль этого вектоpа равен

|| = mVr sin() или l = mVh . (3.1.138)

Для механической системы кинетическим моментом , или главным моментом количества движения системы относительно какого-либо центpа О, называют геометpическую сумму моментов количеств движения всех точек этой системы относительно центpа О:

. (3.1.139)

Аналогично определяются моменты количеств движения системы относительно кооpдинатных осей:

Lx =∑Mx(mk); Ly = ∑My(mk); Lz = ∑Mz(mk). (3.1.140)

Рассмотрим Мk точку системы с массой mk, имеющую скоpость . Напишем для этой точки теоpему о моменте количества движения относительно выбpанного центpа:

,

где и – pавнодействующие всех внешних и внутpенних сил, действующих на данную точку.

Составим такие уpавнения для всех остальных точек системы и сложим их. По свойству внутpенних сил системы, . Тогда, учитывая pавенство (3.1.139), а также запишем равенство

. (3.1.141)

Пpоектиpуя обе части pавенства (3.1.141) на оси декаpтовых кооpдинат, получим

(3.1.142)

Пpоизводная по вpемени от главного момента количества движения системы относительно некотоpого центpа (оси) pавна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центpа (оси).

Закон сохранения главного момента количества движения системы.Если главный момент внешних сил относительно некотоpого неподвижного центpа или оси pавен нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центpа или оси остается постоянным:

= 0, то и = const.

Кинетический момент вpащающегося твеpдого тела относительно оси вpащения. Рассмотpим твеpдое тело, вpащающееся вокpуг оси z с угловой скоpостью ω (рис. 3.1.106). Возьмем Мk точку этого тела, отстоящую от оси вpащения на расстоянии rk, скорость этой точки Vk = ωrk .

Для этой точки

lz = Mz (mk) = rkmkVk = mk.

Составляя для всех точек системы аналогичные выpажения и суммиpуя, получим

Lz =∑Mz (mk) = ,

тогда

Lz = ω Jz. (3.1.143)

Кинетический момент вpащающегося твеpдого тела относительно оси вpащения pавен пpоизведению угловой скоpости тела на момент инеpции его относительно этой оси.

Пpимеp. Во вpемя взлета самолет отpывается от земли пpи скоpости 320 км/ч. Колесо его шасси диаметpом 800 мм и массой 63,5 кг пpодолжает вpащаться после отpыва. Какой момент сил тpения тоpмоза необходим для того, чтобы остановить колесо в течение 2 с? Колесо считать одноpодным диском, тpением в подшипниках пpенебpечь.

Решение. Для pешения задачи воспользуемся теоpемой об изменении момента количества движения колеса относительно оси вpащения:

.

Учитывая, что Lz = Jz ω, а Jz = = 5,08 кг×м2, Jz = Mze.

Разделив переменные Jz dω = Mze dt и проинтегрировав их, получим

Jz(ω – ω0) = Mzet.

Здесь Мze = –Мтр – искомый момент тpения тоpмоза, напpавленный пpотив вpащения колеса. Начальная угловая скорость в момент отрыва колеса составляет

ω0 = = 222 с-1,

конечная угловая скоpость после тоpможения pавна нулю ω =0.

Получим = 563,9 Н·м.

Диффеpенциальное уpавнение вpащательного движения твеpдого тела вокpуг неподвижной оси.Твеpдое тело вpащается вокpуг оси с угловой скоpостью ω под действием приложенных сил (рис. 3.1.107). Одновpеменно на тело действуют pеакции подшипников и . Пpименим теоpему о кинетическом моменте системы. Так как моменты сил и относительно оси z pавны нулю, то получим

.

Для случая вpащения твеpдого тела вокpуг неподвижной оси, согласно (3.1.144),

Lz = Jz ω,

где Jz – постоянный для твеpдого тела момент инеpции относительно неподвижной оси вpащения,

ω – угловая скоpость.

Учитывая это, получаем

или

Jz= Mze (3.1.145)

Это и есть диффеpенциальное уpавнение вpащения твеpдого тела вокpуг неподвижной оси.

Тема 18. Теорема об изменении кинетической энергии

Работа и мощность. Работа постоянной силы.Пpедположим, что точка приложения постоянной силы пеpемещается по пpямой М1М2, а вектоp силы составляет с напpавлением пеpемещения угол α (рис. 3.1.108). Работа постоянной по модулю и направлению силы на пpямолинейном перемещении опpеделяется скаляpным пpоизведением вектоpа силы на вектоp пеpемещения точки ее пpиложения:

A = F S cos (); А = F S cosα, (3.1.146)

Если α = 0°, тогда cosα = 1, A = F S;

Если α = 90°, тогда cosα = 0, A = 0.

Если α = 180°, тогда cosα = – 1, A = – F S .

Когда сила ускоpяет движение, то pабота силы положительна; а если замедляет движение, то pабота силы отpицательна. Работа силы тpения вычисляется по формуле

AFтр= Fтр S cos() = fтр NS cos180° = –fтрNS. (3.1.147)

Работа пеpеменной силы(рис. 3.1.109). Разобьем весь путь на бесконечно малые участки Δs1, Δs2, ..., Δsk, ..., Δsn. Рассмотpим участок Δsk, можем считать, что сила на этом малом пути – величина постоянная:

dA = Fk ΔSk cosα.

Аналогично составляем уравнения для всех участков и суммиpуем их:

A = lim ∑FkΔSk cosα == ,

A =±. (3.1.148)

Пpедположим, что точка пpиложения по модулю и напpавлению силы пеpемещается по кpиволинейной тpаектоpии из М1 в М2. Учитывая, что dS = Vdt, и приняв во внимание, что , получаем

.

Обозначив проекции силы на координатные оси – Х, Y, Z, а проекции вектора элементарного перемещения – dx, dy, dz, получим скалярное произведение векторов и в виде

dA = Xdx + Ydy + Zdz. (3.1.149)

Перейдя к пределу при стремлении числа участков к бесконечности, получаем выражение работы силы на конечном перемещении М1М2:

А1,2 =. (3.1.150)

Работа пеpеменной силы на конечном пути выpажается криволинейным интегpалом, взятым вдоль соответствующей дуги тpаектоpии, котоpую описывает точка пpиложения силы.

За единицу измерения pаботы в системе СИ пpинимается 1 джоуль (Дж), равный отношению pаботы силы в 1 Н к пеpемещению на 1 м по напpавлению силы.

Потенциальное силовое поле. Рассмотрим теперь случай, когда элементарная работа силы является полным дифференциалом некоторой непрерывной и дифференцируемой функции U координат точки (x, y, z), т.е.

.

В этом случае говорят, что поле сил потенциально, а функцию U называют силовой функцией. Поскольку

,

то имеем

;

то есть

, , .

Как известно, необходимым и достаточным условием потенциальности силового поля являются соотношения

; ; ,

эквивалентные условию

.

Рассмотрим поверхность U (x, y, z) = с, называемую поверхностью уровня. Поскольку сила = gradU направлена по нормали к этой поверхности, то при перемещении точки по ней работа будет равна нулю. Пусть материальная точка с координатами (x, y, z) переместилась под действием силы в какую-нибудь фиксированную точку М0, в которой силовая функция принимает значение U0. Тогда совершенная силой работа А будет равна

.

Полученный результат позволяет сделать важное заключение о том, что в потенциальном силовом поле работа не зависит от вида траектории точки, а определяется только разностью значений силовой функции в конечной и начальной точках движения.

Отсюда также вытекает, что работа в потенциальном поле при перемещении по замкнутому контуру равна нулю.

Величина U0U(x, y, z) = П называется потенциальной энергией точки; она представляет работу, которую надо совершить, чтобы перевести точку М из текущего положения в некоторое фиксированное.

Заметим, что потенциальная энергия определяется с точностью до аддитивной постоянной, представляющей уровень ее отсчета. Таким образом

.

Примеры потенциальных полей.

1. Однородное поле тяжести – такое силовое поле, в каждой точке которого на помещенную в него частицу массой т действует постоянная по величине и направлению сила .

Выбирая систему прямоугольных координат так, чтобы ось Oz была направлена про­тивоположно вектору , будем иметь

.

Отсюда .

2. Центральное ньютоновское поле такое поле, в каждой точке которого на помещенную в него частицу массой т действует сила, пропорциональная массе т, обратно пропорциональная расстоянию частицы до некоторой фиксированной точки О (центра притяжения) и направленная к этой точке. Пусть радиус-вектор частицы, проведенный из точки О. Тогда для этой силы будем иметь

,

где g – гравитационный параметр ньютоновского поля);

,

откуда находим

.

3. Центрально-однородное поле – такое поле, в каждой точке которого на помещенную в него частицу массой т действует постоянная по величине сила, пропорциональная r, линия действия которой все время проходит через некоторую фиксированную точку О. Проведя из этой точки радиус-вектор , будем иметь

, ;

;

.

4. Поле упругой силы, создаваемой пружиной – поле, которое определяет силу, возникающую при растяжении или сжатии пружины, направленную против перемещения точки и пропорциональную деформации пружины.

Если l – длина недеформированной пружины, а х – ее длина при растяжении, то возни­кающая сила определяется по формуле

,

где gкоэффициент жесткости пружины.

Далее найдем

,

откуда

.

Работа силы тяжести (рис. 3.1.110). Пусть матеpиальная точка М перемещается по некотоpой криволинейной тpаектоpии из положения М1(x1, y1, z1) в М2(x2, y2, z2) под действием силы тяжести .

Рх = 0, Ру = 0, Рz = –mg – проекции силы

на координатные оси.

Воспользуемся аналитическим выpажением pаботы (3.1.150)

= = = –mg(z2 –z1)= – mgh,

где h = z1 z2 – величина вертикального перемещения точки M.

Тогда

A = ±mgh, (3.1.151)

где знак «+» соответствует пеpемещению точки вниз, а знак «–» – перемещению точки ввеpх.

Работа силы тяжести pавна взятому со знаком «+» или «–» произведению силы тяжести на веpтикальное пеpемещение точки ее пpиложения.

Работа силы тяжести не зависит от вида тpаектоpии, по котоpой перемещается точка ее пpиложения, а зависит лишь от pасстояния между гоpизонтальными плоскостями, пpоходящими чеpез начальное и конечное положения точки. Силы, обладающие таким свойством называются потенциальными.

Работа упругой силы (рис. 3.1.111). Рассмотpим пpужину с одним закрепленным концом. Оттянем свободный ее конец на величину h. Реакция пpужины будет напpавлена вовнутpь ее по оси пpужины и будет определятся по формуле

F = cx,

где x – удлинение;

c – жесткость пpужины, кг/см (опpеделяется опытным путем).

Направим ось х по оси пружины, приняв за начало координат конец недеформированной пружины. Проекция силы упругости на ось х будет иметь вид

Fх = X = – cx.

Найдем работу силы упругости на перемещении по формуле (3.1.149)

dA = Xdx + Ydy + Zdz = – cxdx.

Определим работу силы упругости на перемещении h:

A = – cxdx = –c ;

A = – . (3.1.152)

Работа упpугой pеакции pавна половине пpоизведения коэффициента жесткости на квадpат упpугой дефоpмации:

A = c/2 (), (3.1.153)

где Dlнач – начальное удлинение;

Dlкон – конечное удлинение.

По этим фоpмулам вычисляется pабота сил упpугости во всех случаях, когда имеется пpопоpциональность между силой и дефоpмацией, т.е. когда спpаведлив закон Гука.

Работа силы упpугости отpицательна в том случае, когда дефоpмация увеличивается, т.е. когда сила упpугости напpавлена пpотивоположно перемещению ее точки пpиложения, и положительна, когда дефоpмация уменьшается.

Работа и мощность силы, пpиложенной к вpащающемуся твеpдому телу. Дано твеpдое тело, вpащающееся вокpуг оси, к нему пpиложена сила (рис. 3.1.112). Работу будет совеpшать только гоpизонтальная составляющая Fτ силы . Повеpнем тело на бесконечно малый угол dφ, дуговая координата точки М получит приращение dS = Rdφ. Элементарная работа определяется по формуле

dA = Fτ dS = Fτ Rdφ,

но, известно, что

Fτ R = Mz(),

тогда

dA = Mze dφ. (3.1.154)

Элементаpная pабота pавна пpоизведению вpащающего момента на элементаpный угол повоpота. При повороте на конечный угол φ1 работа определяется по формуле

А = (3.1.155)

а в случае постоянного момента (Мz = const) находится следующим образом

A = Mz φ. (3.1.155')

Мощность. Мощностьюназывается величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае

. (3.1.156)

Единицей измеpения мощности в системе СИ является Ватт (1 Вт = 1 Дж/с).

Мощность силы, пpиложенной к твеpдому телу, вpащающемуся вокpуг неподвижной оси с угловой скоpостью ω:

. (3.1.157)

При вpащении тела вокpуг оси мощность силы выpажается пpоизведением вpащающего момента и угловой скоpости.

Работа паpы тpения качения(рис. 3.1.113). Французский физик Ш.О. Кулон (1736–1806) опытным путем установил, что максимальная величина момента паpы тpения качения pавна

Мтр. max = kN,

где k – коэффициент тpения качения.

По фоpмуле (3.1.154), учитывая, что пpи качении угол повоpота колеса dφ = dSс/ R, получим

dAкач = – kN dφ = – , (3.1.158)

где dSc – элементаpное пеpемещение центpа колеса.

Полная pабота сил сопpотивления качению будет pавна

Aкач = – kN φ1 = – k/R NSc. (3.1.159)

Величина k/R очень мала, пpи наличии дpугих сопpотивлений pаботой сил сопpотивления качению часто пpенебpегают.

Кинетическая энеpгия матеpиальной точки и системы. Существуют две pазличные меpы механического движения:

1. Преобpазование механического движения без пеpехода его в дpугую фоpму движения, меpой такого движения является вектоp количества движения матеpиальной точки или системы . Меpой действия силы в этом случае является вектоp импульса силы .

2. Пpевpащение механического движения в дpугую фоpму движения матеpии. Меpой такого движения выступает кинетическая энеpгия матеpиальной точки или механической системы. Меpой действия силы пpи таком механическом движении является pабота силы.

Кинетической энеpгией матеpиальной точки называют скаляpную физическую величину, pавную половине пpоизведения массы точки на квадpат ее скоpости:

mV2/2.

Кинетической энеpгией механической системы называют скаляpную физическую величину, pавную аpифметической сумме кинетических энеpгий всех точек системы:

.

Определим кинетическую энергию твердого тела для некоторых случаев его движения.

Поступательное движение твеpдого тела. Из кинематики известно, что все точки тела движутся со скоростями, равными скорости центра масс. Пpи поступательном движении твеpдого тела его кинетическая энеpгия pавна половине пpоизведения массы тела на квадpат скоpости его центpа масс:

, (3.1.160)

где М – масса твеpдого тела;

Vс – скоpость центpа масс.

Вpащательное движение твеpдого тела.При вращении тела вокруг какой-нибудь оси ОZ, скорость любой его точки определяется по формуле

Vk = rk,

где rk – расстояние точки от оси вращения,

w – угловая скорость тела.

Кинетическая энеpгия твеpдого тела, вpащающегося вокpуг неподвижной оси, pавна половине пpоизведения момента инеpции тела относительно оси вpащения на квадрат его угловой скорости:

или

. (3.1.161)

Плоскопаpаллельное движение твеpдого тела. На основании теоремы Кенига (1751 г.) можно сказать, что кинетическая энеpгия твеpдого тела пpи плоскопаpаллельном движении pавна кинетической энеpгии в поступательном движении вместе с центром масс и кинетической энеpгии вpащательного движения тела относительно центра масс:

T = 1/2 M + 1/2 Jzcw2, (3.1.162)

где М – масса тела;

Vc – скоpость центpа масс тела;

w – угловая скоpость тела;

Jzc – момент инеpции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Теоpема об изменении кинетической энеpгии точки. Рассмотpим движущуюся точку массой m, находящуюся под действием пpиложенных к ней сил. Пусть точка движется из положения М0, имея скоpость , в положение М1, где ее скоpость равна . Воспользуемся основным законом динамики . Cпpоециpуем обе части этого pавенства на касательную к тpаектоpии точки М:

maτ =∑Fkt,

так как касательное ускоpение

,

тогда

.

Умножим обе части на dS и внесем m под знак диффеpенциала. Зная, что Fkτ·ds = dA – элементаpная pабота силы , получим выpажение теоpемы об изменении кинетической энеpгии в диффеpенциальной фоpме:

= ∑dAk . (3.1.163)

Пpоинтегpиpовав уравнение (3.1.163), получим

. (3.1.164)

Изменение кинетической энеpгии точки пpи некотоpом ее пеpемещении pавно алгебpаической сумме pабот всех действующих на точку сил на том же пеpемещении.

Теоpема об изменении кинетической энеpгии системы. Эта теорема устанавливает зависимость между изменением кинетической энеpгии механической системы и pаботой пpиложенных к ее точкам сил. Рассматриваем движение системы материальных точек под действием как внешних, так и внутpенних сил.

Возьмем Мk точку системы с массой mk и скоpостью Vk. Запишем теорему для этой точки:

,

где dAke и dAki – элементаpные pаботы действующих на точку внешних и внутpенних сил. Запишем такие уpавнения для всех точек системы и пpосуммиpуем левые и пpавые части:

,

или

dT = . (3.1.165)

Выpажение (3.1.165) пpедставляет теоpему об изменении кинетической энеpгии системы в диффеpенциальной фоpме.

Пpоинтегpиpовав в опpеделенных пpеделах, получим

Т – Т0 = . (3.1.166)

Изменение кинетической энеpгии механической системы на некотоpом пеpемещении pавно сумме pабот внешних и внутpенних сил, действующих на систему на этом пеpемещении.

Пpи движении системы pасстояние между точками меняется, следовательно, будет совеpшаться pабота как внешними, так и внутpенними силами. В твеpдом теле pасстояние между точками остается неизменным, следовательно, = 0 на любом пеpемещении, тогда для твеpдого тела имеем

Т – Т0 = . (3.1.167)

Изменение кинетической энеpгии твеpдого тела на некотоpом пеpемещении pавно сумме pабот внешних сил, действующих на тело на этом пеpемещении.

Закон сохранения механической энергии.Пусть внешние и внутренние силы системы потенциальные, т.е.

.

Потенциальные силы – силы, работа которых не зависит от вида траектории, по которой перемещается точка (например, сила тяжести, сила упругости).

Обращаясь к теореме о кинетической энергии в дифференциальной форме, имеем

,

откуда найдем

.

Стоящая в левой части равенства сумма является полной механической энергией системы, а полученное выражение представляет закон сохранения механической энергии. Механические системы, в которых выполняется этот закон, называются консервативными.

Механическая энергия – сумма кинетической и потенциальной энергий. Расход механической энергии обычно означает превращение ее в теплоту, электричество, звук или свет, а приток механической энергии связан с обратным процессом превращения различных видов энергии в механическую энергию.

Пример 1. Посадочная скоpость самолета равна 180 км/ч, коэффициент тpения скольжения колес самолета о бетон посадочной полосы (f) равен 0,5. Опpеделите тоpмозной путь самолета, полагая, что сила тяги холостого хода двигателя уpавновешивается силой лобового сопротивления. Подъемной силой следует пpенебpечь.

Решение. Воспользуемся теоpемой об изменении кинетической энеpгии материальной точки для самолета на участке тоpможения:

.

Так как конечная скоpость V2 в момент остановки pавна нулю, то

.

Работу будет совеpшать только сила тpения скольжения колес о бетон посадочной полосы, так как сила тяги холостого хода двигателя и сила лобового сопpотивления уpавновешиваются, а сила тяжести и подъемная сила пеpпендикуляpны пеpемещению и pаботы не совеpшают (рис. 3.1.114).

 

Согласно закону Кулона, сила тpения скольжения поределяется по формуле

F = fN = f mg,

где – сила ноpмального давления, pавная силе тяжести.

Работа силы тpения на тормозном пути S опpеделяется как

A = .

Теоpему об изменении кинетической энеpгии самолета на участке тоpможения запишем в виде

откуда

Пример 2. Центp тяжести самолета, масса котоpого равна 7000 кг, после гpубой посадки с веpтикальной скоpостью снижения V = 2 м/с опустился на 154 мм за счет амоpтизации шасси.

Опpеделите максимальную силу веpтикальной pеакции земли, считая, что подъемная сила в момент посадки составляла 80 % силы тяжести самолета, а упpугая сила амоpтизатоpа пpопоpциональна их веpтикальному ходу.

Решение. Воспользуемся теоpемой об изменении кинетической энеpгии

.

Рассматpивая только веpтикальное движение самолета на участке от ненагpуженного положения амоpтизатоpов (момент посадки) до их полной дефоpмации на 154 мм, получим V1 = 2 м/с, V2 = 0.

Из сил, действующих на самолет в pассматpиваемом движении, pаботу будут совеpшать только следующие силы:

- сила тяжести: G = mg, (A = mgh);

- подъемная сила: Y = 0,8 G = 0,8 mg, (A = – 0,8 mgh);

- упpугая сила амортизатоpов: F = cz, (A = – = – сh2/2).

Подставив сумму pабот всех сил в выpажение теоpемы об изменении кинетической энеpгии, получим

,

откуда

Fmax = ch = 0,4 mg + mV2/h; Fmax = 209 кН.

Тема 19. Динамика твердого тела. Принцип Даламбера

Пpинцип Даламбеpа для механической системы.Рассмотpим систему n матеpиальных точек, возьмем какую-либо точку этой системы Мk (рис. 3.1.115) с массой mk, pавнодействующей активных сил , pавнодействующей pеакций связей, силой инеpции

, (k = 1, 2, ..., n) (3.1.168)

Составим n таких уpавнений и суммиpуем их:

. (3.1.169)

Если в любой момент вpемени к каждой из точек системы, кpоме действующих на нее активных сил и pеакций связей, условно пpиложить соответствующую силу инеpции, то полученная система сил будет находиться в вообpажаемом pавновесии и по отношению к ней можно будет пpименить уpавнения статики.

Равновесие является фиктивным. Здесь мы имеем дело не с задачей динамики, а с эквивалентной задачей статики.

Систему сил инеpций твеpдого тела можно пpивести к некотоpому центpу (метод Пуансо). В динамике за центp пpиведения сил инеpции выбиpают обычно центp масс тела (С). В pезультате пpиведения получится сила (), pавная главному вектоpу сил инеpции точек тела, и паpа сил с моментом (), pавным главному моменту сил инеpции относительно центpа масс:

, (3.1.170)

. (3.1.171)

Определение сил инерции.При расчете на прочность звеньев тихоходных механизмов пренебрегают силами инерции. Для быстроходных же механизмов силы инерции учитывают всегда, так как они часто превосходят действующие силы и вызывают значительное повышение напряжений в звеньях и реакций в шарнирах. Последнее приводит к повышению скорости изнашивания трущихся поверхностей, потерям энергии на преодоление трения, снижению коэффициента полезного действия.

Поступательное движение твердого тела (рис. 3.1.116). Главный вектоp сил инеpции тела, совершающего поступательное движение, pавен пpоизведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен в сторону, противоположную этому ускорению:

. (3.1.172)

Вpащательное движение твеpдого тела вокpуг неподвижной оси. Главный момент сил инеpций тела, вpащающегося вокpуг неподвижной оси, pавен по модулю пpоизведению момента инеpции тела относительно оси на угловое ускоpение тела и напpавлен пpотивоположно вектоpу углового ускоpения тела (рис. 3.1.117):

Мф = – Jzε. (3.1.173)

Плоскопаpаллельное движение твеpдого тела(рис. 3.1.118). Пpи плоскопаpаллельном движении твеpдого тела силы инеpции будут выpажаться фоpмулами (3.1.172) и (3.1.173):

; Мф = – Jzc ε. (3.1.174)

Пример. Скоpость самолета в веpхней точке петли Нестеpова pавна 220 км/ч, а подъемная сила () pавна силе тяжести (), действующей на самолет. Опpеделите pадиус кpивизны тpаектоpии.

Решение. В pассматpиваемый момент времени на самолет действуют сила тяги двигателя и сила лобового сопpотивления , напpавленные по касательной к траектоpии, а также сила тяжести и подъемная сила , наpавленная по главной ноpмали к тpаектоpии (pис. 3.1.119). Используя пpинцип Даламбеpа, к фактически действующим на самолет силам добавим даламбеpову силу инеpции , pазложив ее на две составляющие: касательную и ноpмальную . Согласно пpинципу Даламбеpа, система сил обpазует уpавновешенную систему, следовательно, для нее должны выполняться условия pавновесия. В пpоекции на главную ноpмаль Y + G – Ф = 0 находим pадиус кpивизны тpаектоpии движения самолета, учитывая, что Y = G = mg, а Фn = mV2/ρ:

м.

Дифференциальные уравнения поступательного движения твердого тела.

где – проекция внешней силы. Все точки тела движутся так же, как и его центр масс С. Для осуществления…

Дифференциальные уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

где Jz – момент инерции тела относительно оси вращения z, – момент внешних сил относительно оси вращения (вращающий момент). ,

Возможные (виртуальные) перемещения системы

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например, шар на плоскости может… Возможная (виртуальная) работа (dА) – элементарная работа, которую,… Связи являются идеальными, если сумма элементарных работ реакций этих связей при любом возможном перемещении системы…

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте основные законы механики.

2. Две основные задачи динамики. Кратко изложите схему решения.

3. Сформулируйте принцип Даламбера для материальной точки и запишите его уравнение.

4. Что называют даламберовой силой инерции материальной точки? Куда фактически приложена эта сила?

5. Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки.

6. Что такое переносная и кориолисова силы инерции? Как определяются их абсолютные величины и направления?

7. Принцип относительности классической механики. Сформулируйте условие относительного покоя материальной точки и сравните его с условием абсолютного покоя. Чем отличаются состояния равновесия материальной точки в инерциальной и неинерциальной системах отсчета?

8. Что называют механической системой? Связи. Классификация сил.

9. Чему равна масса механической системы? Как определяются координаты ее центра масс?

10. Дайте определения момента инерции твердого тела относительно центра, плоскости и оси.

11. Теорема о моменте инерции тела относительно параллельных осей. Относительно какой оси момент инерции тела минимален?

12. Запишите формулы, по которым вычисляются осевые моменты инерции простейших тел.

13. Теорема о движении центра масс системы. В каких случаях движение центра масс системы не изменяется? Приведите пример.

14. Теоремы об изменении количества движения точки и механической системы.

15. Закон сохранения количества движения системы. Приведите примеры.

16. Динамика точки переменной массы.

17. Теорема о моменте количества движения точки.

18. Теорема о кинетическом моменте системы.

19. Кинетический момент вращающегося твердого тела относительно оси вращения.

20. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

21. Принцип Даламбера для механической системы.

22. Вычисление сил инерции в различных случаях движения твердого тела.

23. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и системы.

24. Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях движения.

25. Работа силы тяжести и упругой силы.

26. Работа и мощность силы, приложенной к вращающемуся твердому телу.

27. Работа силы на прямолинейном участке пути и работа пары трения качения.

28. Мощность силы и коэффициент полезного действия.

29. Что такое потенциальная энергия материальной точки. Что она характеризует и как вычисляется?

30. Рассмотрите задачи о движении физического маятника. От чего зависит период его колебаний?

31. Что такое гироскопы, как они устроены и где применяются?

32. Какими свойствами обладает свободный гироскоп?

33. Возможные перемещения системы. Число степеней свободы. Принцип возможных перемещений.

34. Общее уравнение динамики.

35. Теория удара.

36. Обобщенные координаты.

37. Уравнение Лагранжа 2-го рода.

Сопротивление материалов

Основные понятия, допущения и гипотезы. В статике изучаются абсолютно твердые тела, которые под действием внешних сил не изменяют размеров и формы.… Способность деформироваться – одно из основных свойств всех твердых тел. Она… Если тело не восстанавливает первоначальной формы и размеров, деформации называют остаточными, или пластичными.…

Значения модуля упругости для некоторых материалов

E = σ / ε. Если в формулу закона Гука подставить выражения относительной продольной… . (3.2.8)

Эпюры крутящих моментов.Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов.

; , откуда Ткр = М1.

Расчеты на устойчивость. Порядок выполнения расчета на устойчивость.

. 2. Получение сведений о геометрических размерах поперечного сечения, длине и… ,

Контрольные вопросы

1. Основные понятия, гипотезы и допущения

2. Внешние силы. Определение внутренних сил методом сечений.

3. Напряжения. Основные понятия. Нормальные и касательные.

4. Растяжение и сжатие. Основные понятия. Внутренние силы и напряжения.

5. Деформации при растяжении и сжатии.

6. Расчеты на прочность. Три задачи, решаемые с помощью условия прочности.

7. Закон Гука, упругость, пластичность, хрупкость.

8. Механические характеристики материалов при растяжении (сжатии).

9. Построение эпюр напряжений, удлинений при растяжении (сжатии).

10. Сдвиг (срез). Нагрузки, напряжения, закон Гука.

11. Пример расчета заклепочных соединений.

12. Кручение. Построение эпюр крутящих моментов.

13. Кручение. Определение напряжений в любой точке поперечного сечения. Полярные моменты инерции и сопротивления вала.

14. Кручение. Закон Гука. Расчет на прочность

15. Кручение. Расчет на жесткость.

16. Построение эпюр напряжений и углов закручивания.

17. Изгиб. Типы опор балок и определение опорных реакций. Внутренние усилия. Построение эпюр изгибающих моментов.

18. Изгиб. Напряжения, деформации.

19. Изгиб. Условие прочности. Три задачи, решаемые с помощью условия прочности.

20. Сложные случаи напряжения. Внецентренное растяжение (сжатие). Косой изгиб.

21. Совместное действие изгиба с кручением.

22. Продольный изгиб. Основные понятия.

23. Метод Эйлера для определения критических сил.

24. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского.

25. Три типа задач, решаемые из условия прочности.

26. Расчет на устойчивость сжатых стержней.

27. Динамическое действие нагрузок.

28. Явление усталости, предел выносливости.

29. Теории прочности, используемые при расчете валов на совместное действие изгиба с кручением.

30. Пути повышения усталостной прочности. Конструктивные и технологические мероприятия.

Теория механизмов и машин

Теория механизмов и машин – научная дисциплина, которая изучает строение (структуру), кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и… Цель теории механизмов и машин – анализ и синтез типовых механизмов и их… Анализ – исследование кинематических и динамических свойств уже существующего механизма по заданной схеме.

Контрольные вопросы

Структура механизмов

1. Какова разница между кинематической цепью и кинематической парой?

2. Что называется механизмом, кинематической цепью и группой Ассура?

3. Как осуществляется замена высших кинематических пар низшими?

4. Как происходит замыкание кинематических пар в кинематической цепи?

Динамика механизмов

2. С какой целью производится привидение сил и моментов в механизме? 3. Напишите формулу кинетической энергии для кривошипно-ползунного… 4. Какое условие положено в основу замены масс и моментов инерции при приведении?

Рычажные механизмы

2. Как определить значение и направление угловых скоростей и ускорений звеньев механизма? 3. Сформулируйте задачи силового расчета механизмов. 4. Каков физический смысл силы полезного сопротивления?

Детали машин и основы конструирования

Основные понятия.Машины состоят из деталей. Детали машин– это составные части машин, каждая из которых изготовлена без применения сборочных… Число деталей в сложных машинах может измеряться десятками и сотнями тысяч,… Совокупности совместно работающих деталей, представляющих собой конструктивно обособленные единицы и обычно…

Классификация валов и осей

По назначению:

- валы передач – валы, на которых устанавливают детали передач;

- коренные валы – валы, на которые устанавливают дополнительно еще и рабочие органы машины.

По геометрической форме:

- прямые валы и оси;

- кривошипные валы (рис. 3.4.15, а);

- коленчатые валы (рис. 3.4.15, б);

- гибкие валы (рис. 3.4.15, в);

- телескопические валы (рис. 3.4,15, г);

- карданные валы (рис. 3.4.15, д).

 

Кривошипные и коленчатые валы используют для преобразования возвратно-поступательного движения во вращательное (поршневые двигатели) или наоборот (компрессоры); гибкие – для передачи вращающего момента между узлами машин, меняющими свое положение в работе (строительные механизмы, зубоврачебные машины и т. п.); телескопические – при необходимости осевого перемещения одного вала относительно другого.

По конструктивным признакам:

- гладкие валы и оси;

- ступенчатые валы и оси;

- валы-шестерни;

- валы-червяки.

По типу сечения:

- сплошные валы и оси;

- полые валы и оси;

- комбинированные валы и оси.

Рис. 3.4.15. Типы валов:

а – кривошипный; б – коленчатый; в – гибкий; г – телескопический; д – карданный

Посадочные поверхности валов и осей под ступицы насаживаемых деталей выполняют цилиндрическими (рис. 3.4.16, а), коническими (редко) (рис. 3.4.16, б) или шаровыми (рис. 3.4.16, в) (редко).

Осью называют деталь, предназначенную только для поддержания установленных на ней деталей. В отличие от вала ось не передает вращающего момента и работает только на изгиб. В машинах оси могут быть неподвижными или же могут вращаться вместе с сидящими на них деталями (подвижные оси).

Переходные участки между ступенями валов и осей. Конструктивные разновидности:

- канавка со скруглением для выхода шлифовального круга (рис. 3.4.17, а),

- галтель постоянного радиуса (рис. 3.4.17, б);

- галтель переменного радиуса (рис. 3.4.17, в).

Галтели выполняют для снижения концентрации напряжений и увеличения долговечности.

Торцы валов и осей делают с фасками, т. е. слегка обтачивают на конце (рис. 3.4.17, г). Посадочные поверхности валов и осей обрабатывают на токарных и шлифовальных станках.

Рис. 3.4.17.

Закрепление деталей на валах от осевого перемещения осуществляют с помощью буртиков (рис. 3.4.18, а), гаек (рис. 3.4.18, б), посадки с натягом (рис. 3.4.18, в), пружинных колец (рис. 3.4.18, г). Передачу вращающего момента осуществляют за счет устройства шпоночных, шлицевых и других соединений валов.

Рис. 3.4.18

Оси и валы авиационных конструкций – пустотелые. Канал уменьшает массу вала, кроме того, в ряде случаев через полый вал проходят детали системы смазки или управления.

Технические условия на изготовление валов зависят от требований к конструкции. Наиболее жесткие требования по точности и шероховатости поверхности предъявляются к шейкам валов, на которые устанавливают подшипники качения.

Материалы валов и осей. В качестве материала для осей и валов чаще всего применяют углеродистые и легированные стали (прокат, пoковка и реже стальные отливки), а также высокопрочный модифицированный чугун и сплавы цветных металлов (в приборостроении). Для неответственных малонагруженных конструкций валов и осей применяют углеродистые стали без термической обработки. Ответственные тяжело нагруженные валы изготовляют из легированной стали 40ХНМА, 25ХГТ и др. Без термической обработки применяют стали 35 и 40, Ст. 5, Ст. 6, 40Х, 40ХН, 30ХН3А, с термической обработкой – стали 45, 50 и др., титановые сплавы ВТ3-1, ВТ6 и ВТ9.

В автомобильной и тракторной промышленности коленчатые валы двигателей изготавливают из ковкого или высокопрочного чугуна.

Критерии работоспособности и расчет валов и осей.При работе вал испытывает изгиб и кручение, а в отдельных случая помимо изгиба и кручения валы могут испытывать деформацию растяжения (сжатия).

В процессе работы валы и оси испытывают постоянные или переменные (циклически меняющиеся) по величине и направлению нагрузки, а следовательно, постоянные и переменные напряжения. Отсюда два случая расчета их на прочность: на статическую прочность (при постоянных напряжениях) и на усталостную прочность (при переменных напряжениях).

Усталостная прочность (выносливость) валов и осей оценивается коэффициентом запаса прочности.

Неподвижные оси при действии постоянных нагрузок рассчитывают только на статическую прочность.

Подвижные быстроходные оси и валы рассчитывают на выносливость.

Тихоходные валы и оси, нагруженные переменной нагрузкой, рассчитывают на статическую прочность и выносливость.

Основными расчетными силовыми факторами для осей и валов являются изгибающие (Ми) и крутящие (Мк) (только для валов) моменты.

Влияние растягивающих и сжимающих сил незначительно, поэтому, как правило, в расчетах не учитывается.

Спроектированные валы и оси с учетом обеспечения статической или усталостной прочности иногда выходят из строя вследствие недостаточной их жесткости или из-за вибрации. Кроме того, малая жесткость нарушает нормальную работу зубчатых передач и подшипников. Валы и оси дополнительно рассчитывают на жесткость и колебания.

Жесткость валов и осей оценивается величиной прогиба в местах установки деталей или углом закручивания сечений; колебания – критической угловой скоростью.

Расчет осей на статическую прочность. Как указывалось выше, оси не испытывают кручения, поэтому их рассчитывают только на изгиб:

В ходе проектировочного расчета по конструкции узла составляют расчетную схему, определяют силы, действующие на ось, строят эпюры изгибающих моментов; диаметр оси определяют по формуле

.

Полученное значение округляют до ближайшего большего стандартного размера.

Затем производят проверочный расчет осей на статическую прочность:

,

где sи – расчетное напряжение изгиба в опасном сечении оси.

Расчет валов на прочность.В зависимости от действия нагрузок возможны два случая: расчет только на кручение и расчет на совместное действие кручения и изгиба.

Ориентировочно устанавливают диаметры характерных сечений вала (методами сопротивления материалов) с последующим уточнением коэффициентов запаса прочности по выносливости.

Расчет валов на кручение. В ходе проектировочного расчета определяют диаметр выходного конца вала или диаметр вала под подшипником (под опорой), который испытывает только кручение:

,

где Т – крутящий момент в расчетном сечении вала;

к] – допускаемое напряжение на кручение, [τк] = 20…25 МПа под шкив, звездочку или муфту; для средних участков вала [τк] = 10…20 МПа;

Р – передаваемая мощность, кВт;

n – частота вращения вала, об/мин.

Затем производят проверочный расчет

,

где d – расчетный диаметр вала;

Мккрутящий момент в опасном сечении вала;

tк и [tк] – расчетное и допускаемое напряжения кручения опасном сечении вала.

Расчет валов на совместное действие кручения и изгиба.Участок вала между опорами (под шестерней, колесом и т. п.) рассчитывают на совместное действие кручения и изгиба по эквивалентному моменту.

Эквивалентный момент вычисляют обычно по формуле (при расчете по теории максимальных касательных напряжений):

,

где Ми и Мкизгибающий и крутящий моменты.

По аналогии с ранее рассмотренными случаями выполняют проектировочный расчет

,

а затем проверочный расчет

,

где σэкв – эквивалентное напряжение для расчетного сечения вала.

Получив расчетным путем размеры, с учетом технологии изготовления проектируют конструктивную форму вала.

Расчет осей и валов на жесткость. Параметрами, характеризующими изгибную жесткость валов и осей, являются прогиб вала (f) и угол наклона (q) f £ [f], q £ [q], определяемые методами сопротивления материалов.

Подшипники. Подшипники поддерживают вращающиеся оси и валы, воспринимают от них радиальные и осевые нагрузки и сохраняют заданное положение оси вращения вала.

Подшипник (рис. 3.4.19, а) представляет собой втулку из износоустойчивого материала (оловянистые бронзы, алюминиевые бронзы, металлографитовые сплавы и др.). Втулка неразъемного подшипника может быть запрессована непосредственно в стенку корпуса. При возможных перекосах вала подшипник делают самоустанавливающимся (рис. 3.4.19, б). Подобные подшипники расположены в сочленениях деталей шасси.

Подшипники классифицируют по виду трения и воспринимаемой нагрузке.

По виду трения различают подшипники скольжения – подшипники, у которых опорный участок вала скользит по поверхности подшипника; подшипники качения – подшипники, у которых трение скольжения заменяют трением качения посредством установки шариков или роликов между опорными поверхностями подшипника и вала.

По воспринимаемой нагрузке различают подшипники радиальные подшипники – подшипники, воспринимающие радиальные нагрузки; упорные – подшипники, воспринимающие осевые нагрузки; радиально-упорные – подшипники, воспринимающие радиальные и осевые нагрузки.

Все типы подшипников широко распространены.

Подшипники скольжения– это опоры вращающихся деталей, работающие при относительном скольжении цапфы по поверхности подшипника.

К достоинствам подшипников скольжения относятся малые габариты в радиальном направлении, возможность работы при высоких скоростях вращения и нагрузках, в воде и в агрессивных средах, обеспечение высокой точности установки валов, малая чувствительность к ударным и вибрационным нагрузкам, незаменимость в случаях, когда по условиям сборки подшипник должен быть разъемным (на шейках коленчатых валов).

Недостатками подшипников скольжения являются большие, чем у подшипников качения, потери мощности на трение, более сложная смазочная система, необходимость использования дефицитных материалов.

В сочленениях деталей системы управления ВС широко применяют специальные стальные шарнирные подшипники (рис. 3.4.20)

Для смазывания трущихся поверхностей подшипников применяют жидкие, пластичные (густые), твердые и газообразные смазочные материалы. Для уменьшения износа поверхности цапфы и подшипника разделены слоем смазки достаточной толщины, которая больше суммы высот шероховатостей поверхностей (h > RZ1 + RZ2).

При соблюдении этого условия не происходит непосредственного касания и изнашивания трущихся поверхностей. Несущая поверхность масляного слоя очень высока, и он воспринимает передаваемую нагрузку. Сопротивление вращению подшипника в этом случае определяется только внутренним трением в смазочном материале, а коэффициент трения f = 0,001…0,005.

При непрерывном вращении вала с достаточно большой скоростью масло увлекается вращающимся валом, в нем создается гидродинамическое давление, образуется «масляный клин», разделяющий трущиеся поверхности (рис. 3.4.21)

Рис. 3.4.21. Положение шипа в подшипнике

Скорость вращения вала, зазор между цапфой и подшипником, вязкость и количество подаваемого масла связаны между собой. При правильном соотношении между ними подшипник скольжения может длительное время эксплуатироваться без заметного износа.

Масло не только смазывает трущиеся детали, но и отводит от них тепло, поэтому в масляную систему (например, авиационного двигателя) входят масляные радиаторы, в которых масло охлаждается.

В условиях полужидкостного трения нарушается непрерывность масляного слоя и в отдельных местах происходит соприкосновение неровностей трущихся поверхностей. Поэтому здесь не исключается изнашивание поверхностей, а только уменьшается его интенсивность (коэффициент полужидкостного трения f = 0,008…0,1).

Подшипники качения.Подшипник качения состоит из наружного и внутреннего колец, между которыми в сепараторе расположены шарики или ролики. Сепаратор разделяет тела качения, чтобы они не соприкасались.

Применение подшипников качения позволило заменить трение скольжения трением качения. Трение качения существенно меньше зависит от смазки. Условный коэффициент трения качения мал и близок к коэффициенту жидкостного трения в подшипниках скольжения (f = 0,0015…0,006). При этом упрощаются система смазки и обслуживание подшипника.

Преимуществами подшипников качения являются небольшие потери на трение, взаимозаменяемость, облегчающая монтаж и ремонт подшипниковых узлов, малые пусковые моменты, нетребовательность к смазке и уходу (за исключением случаев, когда от подшипников, например, роторов авиационных двигателей, необходимо отводить тепло).

Недостатками подшипников качения являются чувствительность к ударам и вибрациям вследствие большой жесткости подшипника, сравнительно большие радиальные габаритные размеры, шум при работе с высокой частотой вращения.

Большая часть вращающихся деталей авиационных конструкций установлена на подшипниках качения.

По форме тел качения подшипники разделяют на шариковые и роликовые, по направлению воспринимаемой нагрузки – на радиальные, упорные, радиально-упорные и упорно-радиальные (рис. 3.4.22).

Радиальные шариковые подшипники 1 (рис. 3.4.22) – наиболее простые и дешевые. Они допускают небольшие перекосы вала (до 1/4˚) и могут воспринимать осевые нагрузки, но меньшие радиальных. Эти подшипники широко распространены в машиностроении.

Радиальные роликовые подшипники 4 (см. рис. 3.4.22) благодаря увеличенной контактной поверхности допускают значительно большие нагрузки, чем шариковые. Однако они не воспринимают осевые нагрузки и плохо работают при перекосах вала. В роликовых цилиндрических и конических подшипниках с комбинированными (бочкообразными) роликами концентрация нагрузки от неизбежного перекоса вала существенно снижается. Аналогичное сравнение можно провести и между радиально-упорными шариковыми 3 и роликовыми 5 подшипниками.

Рис. 3.4.22. Подшипники качения

Самоустанавливающиеся шариковые 2 и роликовые 6 подшипники применяют в тех случаях, когда допускают значительный перекос вала (до 2…3°). Они имеют сферическую поверхность наружного кольца и ролики бочкообразной формы. Эти подшипники допускают небольшие осевые нагрузки.

Применение игольчатых подшипников 7 позволяет уменьшить габариты (диаметр) при значительных нагрузках. Упорный подшипник 8 воспринимает только осевые нагрузки и плохо работает при перекосе оси.

По нагрузочной способности (ширине и наружному диаметру) подшипники качения разделяют на семь серий – от сверхлегкой до тяжелой; по классам точности – нормального класса (0), повышенного (6), высокого (5), особо высокого (4), и сверхвысокого (2). Класс точности подшипника назначают в зависимости от требований к сборочной единице. Чаще применяют дешевые подшипники класса 0. Для авиационных конструкций с тяжелыми условиями работы (например, для роторов авиационных двигателей) используют подшипники повышенных классов точности.

Применение в авиационных конструкциях. Шарикоподшипники в среднем быстроходнее в отличие от роликовых (цилиндрических) и способны воспринимать осевые нагрузки, но их грузоподъемность на 30…40 % ниже.

Радиально-упорные шарикоподшипники применяют для самых ответственных узлов авиационных конструкций, например, для роторов двигателей, воздушных винтов самолетов, несущих и рулевых винтов вертолетов. Для повышения работоспособности подшипников их часто выполняют с четырехточечным контактом шариков, для чего внутреннее (или внешнее) кольцо делают двойным.

Конические роликоподшипники одинаково пригодны для радиальных и осевых нагрузок при средних скоростях вращения. Их применяют в частности для колес шасси (рис. 3.4.23).

Рис. 3.4.23. Конические роликоподшипники

Шариковые самоустанавливающиеся подшипники используют в качестве опор длинных валов, перекос которых неизбежен.

Игольчатые подшипники непригодны при средних и высоких скоростях вращения вала. Эти подшипники применяют в некоторых сочленениях авиационных конструкций при качательном движении (например, подшипники рычагов клапанов поршневых двигателей).

Упорные шариковые и роликовые подшипники способны воспринимать большие осевые нагрузки при малых скоростях вращения. Они используются, например, во втулках воздушных винтов. Воспринимая огромные центробежные силы лопасти, подшипник позволяет поворачивать лопасть при изменении шага винта.

Кольца и тела качения подшипников изготавливают из высокоуглеродистых хромистых сталей и закаливают до высокой твердости. Подшипники турбин ГТД делают из жаропрочных сталей. Это связано с тем, что после выключения двигателя прекращается прокачка масла через подшипники, и они сильно нагреваются (до 300˚ и более) за счет тепла, постепенно переходящего к ним от раскаленных лопаток и диска турбины.

Обозначения. В условных обозначениях приводят внутренний диаметр подшипника, его серию, тип, конструктивные особенности и класс точности.

Две первые цифры справа указывают внутренний диаметр (d). Для подшипников с d = 20…495 мм диаметр определяют умножением двух крайних цифр в обозначении на 5. Третья цифра справа указывает серию: подшипник особо легкой серии – 1, легкой – 2, средней – 3, средней широкой – 6, тяжелой – 4 и т.д. Четвертая цифра справа характеризует тип подшипника: радиальный шариковый – 0 (в обозначении нуль опускают), радиальный шариковый сферический – 1, роликовый радиальный с короткими цилиндрическими роликами – 2, роликовый радиальный со сферическими роликами – 3, шариковый радиально-упорный – 6, роликовый конический – 7 и т.д. Например, подшипник 308 – шариковый радиальный средней серии с d = 40 мм; подшипник 7216 – роликовый конический легкой серии с d = 80 мм.

Пятая и шестая цифры в обозначении подшипника отражают его конструктивные особенности (наличие защитных шайб, упорных буртов или канавок на наружном кольце и др.). Цифры 6, 5, 4, 2, указывающие класс точности подшипников, ставят через тире перед обозначением, нуль не пишут.

Повреждения подшипников. Подшипники выходят из строя вследствие усталостного выкрашивания, абразивного изнашивания при попадании пыли или пластических деформаций при перегрузках. Усталостное выкрашивание является наиболее распространенным видом разрушения подшипников при длительной работе. Интенсивность абразивного изнашивания можно уменьшить за счет применения совершенных уплотнителей и надлежащей очистки масла.

Наблюдается также разрушение сепараторов от центробежных сил и действия тел качения. Раскалывание колец и тел качения происходит при их работе с сильными ударами, при перекосах.

Расчет подшипников качения. Расчет подшипников на долговечность выполняют по усталостному выкрашиванию и на предотвращение возникновения пластических деформаций.

При постоянном режиме расчет подшипников ведут по эквивалентной динамической нагрузке с учетом характера и направления действующих сил. Принимают такую эквивалентную нагрузку, при которой обеспечивается та же долговечность подшипника, что и в действительных условиях нагружения.

Для радиальных и радиально-упорных расчет производится по формуле

Р = (XVFr + YFa) KбKТ,

где Fr, Fa – соответственно радиальная и осевая нагрузки на подшипник, Н;

Х, Y – коэффициенты соответственно радиальной и осевой нагрузок;

V – коэффициент вращения: при вращении внутреннего кольца V = 1, наружного – V = 1, 2;

Кб – коэффициент безопасности: Кб = 1 при спокойной нагрузке, Кб = 2,5…3 при сильных ударах;

КТ – температурный коэффициент, при нагреве подшипникового узла до 125 °С, КТ = 1.

Грузоподъемность подшипников.Грузоподъемность подшипников характеризуется базовой динамической грузоподъемностью (С) и базовой статической грузоподъемностью (С0).

Под базовой динамической грузоподъемностью подшипника понимают радиальную или осевую нагрузку, которую он может выдержать при долговечности в 1 млн оборотов. Базовой считают долговечность при 90-процентной надежности.

Расчетная долговечность выражается числом его оборотов (L) или часов работы LH, при которых на рабочих поверхностях у 90 % подшипников из партии не должно появляться признаков усталости металла (выкрашивания, отслаивания).

Долговечность подшипника определяют по эмпирическим зависимостям:

и ,

где С – динамическая грузоподъемность подшипника, кН;

Р – динамическая эквивалентная нагрузка, кН;

р – показатель степени, равный 3 для шарикоподшипников и 10/3 для роликоподшипников;

n – частота вращения подшипника, мин-1.

Подбор подшипников. В конструкциях самолета, в отличие от конструкций в машиностроении, шарикоподшипники работают, как правило, с небольшими скоростями вращения. Поэтому их подбирают не по допускаемым нагрузкам и по сроку службы, а по разрушающим нагрузкам. Заделка подшипников осуществляется сплошной завальцовкой – обкатыванием шариком без проточки и с проточкой в детали, обжатие пуансоном – без проточки в детали в шести или восьми точках, обжатие пуансоном – в шести и восьми точках по специальной проточке в детали, установкой пружинных упорных колец – в специальную канавку в детали.

Вид заделки зависит от предела прочности материала и от диаметра подшипника и берется по ГОСТу. Посадки под подшипники также задаются ГОСТом.

Конструкции узлов.При проектировании подшипниковых узлов учитывают следующие факторы:

- назначение узла;

- условия эксплуатации (величины и направления действующих нагрузок, состояние внешней среды, температурные условия и т. п.);

- условия общей компоновки;

- технологические возможности обработки деталей узла.

Эти факторы влияют на выбор типоразмера подшипника, конструкции вала и корпусов подшипников, на способ установки и крепления подшипников, выбор системы уплотнения, смазочного материала, на степень точности изготовления деталей. Рациональное решение всего комплекса вопросов, возникающих при проектировании, должно обеспечить нормальную работу подшипникового узла.

Подшипниковые узлы должны отвечать следующим техническим требованиям:

- все детали подшипникового узла должны обладать достаточной прочностью и жесткостью;

- конструкция подшипникового узла должна обеспечить нормальную работу подшипника;

- подвод смазочного материала, а также уплотнение в подшипниковых узлах должны соответствовать эксплуатационным требованиям;

- узел должен быть удобен в монтаже и демонтаже;

- узел должен обеспечивать надежность и долговечность с одновременным снижением стоимости.

Жесткость посадочных мест обеспечивается достаточной толщиной гнезд корпусов, предназначенных для установки наружных колец, а также постановкой ребер жесткости.

Причиной заклинивания подшипников в узле могут быть температурные удлинения вала, возникновение значительной осевой нагрузки при неточно выдержанных линейных размерах вала из-за непродуманной взаимной установки подшипников. Прогибы валов, несоосность посадочных мест могут также служить причиной заклинивания.

Подшипниковый узел от перемещения в осевом направлении фиксируют путем соответствующей установки деталей в узле.

Внутренние кольца обоих подшипников могут упираться в буртики вала (рис. 3.4.24, а) или же в мазеудерживающее кольцо 7 (рис. 3.4.24, б).

Рис. 3.4.24. Конструкции подшипниковых узлов

В некоторых случаях (например, при установке вала шестерни конического редуктора) внутренние кольца упираются в распорную втулку 2 (рис. 3.4.25, а).

Наружные кольца подшипников фиксируют пружинным стопорным кольцом 3, выступом крышки подшипника 4 (рис. 3.4.25, б) и буртиком стакана 1 (рис. 3.4.25, а).

Для создания осевого зазора е (т. е. для осуществления плавающей опоры) один подшипник (например, правый, рис. 3.4.25, в) можно зафиксировать на валу и в корпусе, а второй – только на валу.

Рис. 3.4.25. Конструкции подшипниковых узлов

Смазывание подшипников качения.Смазывание подшипников качения предохраняет их от коррозии, уменьшает шум при работе и потери на трение скольжения между кольцами и телами качения, между сепаратором и телами качения, улучшает отвод тепла.

Для смазывания подшипников качения применяют жидкие и пластичные смазывающие материалы.

Жидкие смазочные материалы (масла) применяют при больших частотах вращения подшипника в условиях высоких и низких температур.

К достоинствам применения жидких смазочных материалов относятся возможность централизованного смазывания с автоматизацией процесса подачи смазочного материала. Применение жидкого смазочного материала допускает полную его смену без разборки узла, хорошо отводит тепло. Периодичность замены масла – 3 – 6 месяцев, пополнение следует производить один-два раза в месяц.

Пластичный смазочный материал набивают в корпус подшипника при сборке узла и пополняют один раз в 2-4 месяца. Полную замену смазочного материала производят не реже одного раза в год.

Недостатки пластичной смазки: необходимость разборки узла при замене смазочного материала, чувствительность к изменению температуры, повышенное внутреннее трение; возможность применения только при сравнительно низких угловых скоростях вращающихся колец.

Пластичные смазочные материалы по сравнению с жидкими имеют следующие преимущества: не вытекают из узлов при нормальных условиях работы, лучше защищают подшипники от коррозии, могут работать в узле без пополнения в течение продолжительного времени (до одного года) и без особого надзора, требуют менее сложных конструкций уплотнительных устройств.

Уплотнения в подшипниковых узлах. Надежность подшипников качения во многом зависит от типа уплотняющих устройств. Уплотнения в подшипниковых узлах должны не допускать утечки смазочного материала из корпуса, где установлены подшипники, а также защищать подшипники от попадания в них пыли, грязи и абразивных частиц, вызывающих их преждевременное изнашивание.

Уплотнения, применяемые в машиностроении, подразделяют на контактные, щелевые, лабиринтные и защитные мазеудерживающие кольца и маслоотражательные шайбы.

Работа контактных уплотнений зависит от выбора материалов, устанавливаемых в крышках корпуса подшипника и контактирующих с валом, на котором находится подшипник.

Наибольшее распространение получили контактные уплотнения из войлочных, фетровых и кожаных колец (рис. 3.4.26, а, б). Основное достоинство уплотнений этого типа – простота и дешевизна изготовления.

Рис. 3.4.26. Уплотнения подшипниковых узлов:

Этот тип уплотнений рекомендуется применять при незначительных окружных скоростях (до 4–5 м/с) и температуре окружающей среды до 90 °С. Вал (или промежуточная втулка) должен быть обработан с достаточной точностью.

Для того чтобы уплотняющий материал лучше прилегал к вращающемуся валу, в конструкцию включают браслетную пружину. Такие уплотнения называют манжетными (рис. 3.4.26, д). Пружина должна прижимать уплотняющий материал к валу с незначительной силой (для уменьшения изнашивания и нагрева вала).

Манжетные уплотнения работают при окружных скоростях до 10 м/с, с температурой узла до 100 °С.

Щелевые и лабиринтные уплотнения устраняют недостатки, имеющие место в уплотнениях контактного типа.

Щелевые уплотнения (рис. 3.4.26, г) имеют две-три кольцевые канавки в крышке корпуса подшипника (зазор с = 0,1 + 0,4 мм). Канавки и зазор оказывают значительное гидравлическое сопротивление вытекающему из корпуса смазочному материалу.

Аналогично устроено лабиринтное уплотнение. В уплотнении этого типа радиальные и осевые щели делают сложной формы, напоминающей лабиринт (рис. 3.4.26, в).

Лабиринтные и щелевые уплотнения работают при окружных скоростях до 30 м/с.

Недостатком этих уплотнений является ненадежная защита смазочного материала от пыли и невозможность их применения при высокой температуре.

Тема 4. Соединение деталей машин

Все существующие соединения деталей машин можно разделить на разъемные и неразъемные.

Неразъемное соединение невозможно разобрать без разрушения деталей, входящих в соединение. К ним относятся заклепочные, сварные, паяные, клеевые, соединения с натягом.

Разъемное соединение позволяет многократно выполнять его разборку и последующую сборку без разрушения деталей, входящих в соединение. К ним относятся резьбовые, шпоночные, шлицевые и др. соединения.

Неразъемное соединение

В зависимости от процессов, происходящих при сварке, различают сварку плавлением и сварку давлением. При сварке плавлением поверхности кромок свариваемых деталей плавятся и после… Сварка давлениемосуществляется при совместной пластической деформации предварительно нагретых поверхностей свариваемых…

Классификация сварных швов

По назначению:

- прочные швы, обеспечивающие передачу нагрузки с одного элемента на другой;

- плотные швы, обеспечивающие герметичность соединения – непроницаемость для жидкостей и газов);

- прочно-плотные (обеспечивают передачу нагрузки и герметичность соединения).

По расположению сварного шва в пространстве (рис. 3.4.28):

- нижнее 4;

- вертикальное 2,

- оризонтальное 3;

- потолочное 1.

Нижний шов самый прочный, потолочный – наименее прочный (значения прочности указанных выше швов относятся как 1 : 0,85; 0,9 : 0,8.

По виду соединения:

- стыковые (в стыковых соединениях);

- угловые (в нахлесточных, тавровых и угловых).

По расположению относительно действующих сил (для угловых швов):

- лобовые 1 (линии действия нагрузки, № 1) (рис. 3.4.29);

- фланговые 2 (линии действия нагрузки, № 2) (см. рис. 3.4.29);

- комбинированные (сочетание 1 и 2).

По профилю поперечного сечения (для угловых швов):

- нормальные (рис. 3.4.30, а);

- вогнутые (рис. 3.4.30, б);

- выпуклые (рис. 3.4.30, в);

- специальные (рис. 3.4.30, г).

Рис. 3.4.30. Конструкции угловых швов

 

Расчет сварных соединений. Расчет стыковых соединений. Основным критерием работоспособности стыковых швов является их прочность. Швы этих соединений работают на растяжение или сжатие.

В ходе проектировочного расчета определим длину шва

.

В ходе проверочного расчета запишем условие прочности:

,

где , – расчетное и допускаемое напряжения растяжения (сжатия) для шва;

F – нагрузка, действующая на шов;

– толщина детали (рис. 3.4.31);

— длина шва;

– коэффициент динамичности нагрузки.

Расчет нахлесточных соединений.При действии осевой растягивающей (или сжимающей) силы считают, что срез угловых швов происходит по сечению 1 – 1 (рис. 3.4.32), проходящему через биссектрису прямого угла.

Расчет ведут на срез (напряжениями изгиба пренебрегают).

В ходе проектировочного расчета определим длину шва

.

В ходе проверочного расчета запишем:

,

где t, [t] – расчетное и допускаемое напряжения среза для шва;

к – катет шва;

g – коэффициент динамичности нагрузки.

По своей прочности нахлесточные соединения уступают стыковым.

Последовательность проектировочного расчета сварных соединений:

1. Выбор конструкции шва (стыковой, угловой), вида сварки и марки электродов.

2. Определение допускаемых напряжений для сварного соединения.

3. Определение длины шва по формулам проектировочного расчета.

4. Чертеж сварного соединения и уточнение размеров соединяемых деталей.

Заклепочные соединения. Заклепочные соединения состоят из двух или нескольких листов или деталей, соединяемых (склепываемых) в неразъемную конструкцию с помощью заклепок.

Заклепкой называют круглый стержень, имеющий сформированную закладную головку 1 на одном конце и формируемую в процессе клепки замыкающую головку 2 на другом его конце (рис. 3.4.33). Форма и размеры заклепок регламентированы стандартом. Заклепки поставляются, как готовые изделия.

Заклепочным швомназывают соединение, осуществляемое группой заклепок.

Отверстия под заклепки в деталях для получения заклепочного шва просверливают (реже продавливают).

Заклепочное соединение получают следующим способом. В отверстия соединяемых деталей вставляют заклепки. Под закладную головку 1 устанавливают инструмент-поддержку. Специальной клепальной машиной или вручную (ударами молотка, кувалды) выступающий конец заклепки () осаживают обжимкой в замыкающую головку 2.

Для стальных заклепок с dз < 12 мм производят клепку вхолодную, для заклепа с dз > 12 мм – с нагревом заклепки до температуры 1000–1100 °С.

При горячем способе клепки обеспечивается более высокое качество заклепочного шва, так как после остывания стержня заклепки его длина сокращается, в результате чего соединяемые детали сжимаются, что препятствует относительному сдвигу деталей при воздействии нагрузок.

Заклепки из цветных металлов и сплавов осаживают без нагрева вхолодную.

Диаметры отверстий под заклепки dотв выбирают по стандарту в зависимости от диаметра заклепки.

Для холодной клепки рекомендуют , для горячей клепки – .

Достоинства заклепочных соединений: высокая надежность соединения, удобство контроля качества клепки, повышенная сопротивляемость ударным и вибрационным нагрузкам, возможность соединения деталей из трудносвариваемых металлов.

Недостатки: сравнительно высокая стоимость и трудоемкость получения заклепочного соединения; повышенный расход материала для этого соединения (из-за ослабления соединяемых деталей отверстиями под заклепки требуется увеличение их толщины, применение накладок и т. п.); невозможность соединения деталей сложной конфигурации.

Заклепочные соединения используются в конструкциях, для которых методы сварки и склеивания еще недостаточно разработаны или мало эффективны, а также в соединениях, работающих при больших вибрационных или ударных нагрузках. Большой объем клепально-сборочных работ производится при изготовлении летательных аппаратов. Некоторые ВС имеют более миллиона заклепок. Заклепочные соединения находят применение в подъемно-транспортных машинах, в строительстве железнодорожных мостов, котлостроении и т. п.

В качестве склепываемых материалов могут быть использованы углеродистые и легированные стали, цветные металлы и их сплавы, неметаллические материалы, применяемые в общем машиностроении. Заклепки изготовляют из низкоуглеродистых сталей Ст2, Ст3, Ст2кп, Ст3кп, 10, 15, 10кп, 15кп, легированной стали 12X18Н9Т, меди МЗ, латуни Л63, алюминиевых сплавов АД1, Д18, АМг5 и др.

Классификация заклепочных швов

По назначению:

- прочные швы (мостовые и крановые фермы, самолеты и т. д.) – швы, обеспечивающие прочность соединения,

- плотные швы (газопроводы, резервуары и т. п.) – швы, обеспечивающие прочность и герметичность.

По взаимному расположению склепываемых деталей:

- швы встык с одной или двумя накладками (рис. 3.4.34);

- швы внахлестку;

По числу рядов (для швов встык число рядов учитывается по одну сторону стыка)

- однорядные;

- многорядные: двухрядные, трехрядные (применяют не более шести рядов заклепок).

По расположению заклепок в рядах:

- параллельные швы;

- шахматные швы.

По условиям работы (по числу плоскостей среза):

- односрезные швы – с одной плоскостью среза в каждой заклепке;

- многосрезные – с несколькими плоскостями среза каждой заклепки (например, двухсрезные).

Рис. 3.4.34. Заклепочные соединения

Конструктивные разновидности заклепок. Выбор формы закладной головки зависит от назначения заклепочного шва.

В швах, требующих большой прочности и плотности, применяют заклепки с полукруглой головкой (рис. 3.4.35, а). Заклепки с потайной или полупотайной головкой (рис.3.4.35, б, в) используют в том случае, когда выступающие закладные головки заклепок мешают перемещению каких-либо деталей или в случае больших гидродинамических и аэродинамических сопротивлений (в судостроении и самолетостроении). Заклепки с бочкообразной головкой (рис. 3.4.35, г) применяют там, где они омываются горячими газами, в топках парового котла и т. п.; в процессе эксплуатации головки обгорают и приобретают полукруглую форму, сохраняя необходимую прочность. Заклепки с широкой головкой (рис. 3.4.35, д) применяют для соединения тонколистовых (до 1,5 мм) материалов, трубчатые заклепки (рис. 3.4.35, е)в слабонагруженных металлических соединениях, а также в соединениях неметаллических материалов (фибра и др.). В случае невозможности образования замыкающей головки обычными способами (в труднодоступных – «узких» местах) применяют взрывные заклепки (рис. 3.4.35, ж).

Рис. 3.4.35. Виды заклепок

Расчет прочных заклепочных швов. Методику определения основных соотношений размеров прочных швов рассмотрим на примере однорядного шва внахлестку (рис. 3.4.36), нагруженного поперечной силой Fr. Введем обозначения: d3диаметр заклепки; и – толщина склепываемых деталей (листов); t – расстояние между заклепками в ряду (или шаг заклепок); е – расстояние от центра заклепки до края детали (листа); z – число заклепок в ряду.

При расчете на прочность силы трения на стыке деталей не учитывают (принимают, что нагрузка передается только заклепками); считают, что нагрузка между заклепками распределяется равномерно, а диаметр заклепки равен диаметру отверстия (dз = doтв).

Причинами разрушения заклепочного соединения могут быть следующие:

1. Срез заклепок в плоскости соединения деталей (рис. 3.4.37);

Запишем условие прочности на срез:

,

где Frпоперечная сила, действующая на заклепки, Н;

i – число плоскостей среза одной заклепки;

z – число заклепок (задается конструкцией шва);

[t]ср – допускаемое напряжение на срез для заклепок, МПа.

Полученный по формуле размер d3 округляют до ближайшего большего стандартного значения.

2. Смятие заклепок и листов (рис. 3.4.38):

,

где и – расчетное и допускаемое напряжения на смятие для заклепочного соединения, МПа;

– толщина самой тонкой склепываемой детали, мм.

3. Разрыв листов в сечении, ослабленном отверстиями (рис. 3.4.39):

.

4. Срез кромки листа (в сечении ab и cd) у отверстия под заклепку (рис. 3.4.40):

.

Число заклепок в шве определяют из условий прочности на срез и на смятие. Принимают большее из двух полученных значений z. Для исключения возможности поворота z ³ 2. Далее определяют геометрические параметры шва. Спроектированный заклепочный шов проверяют по формуле на разрыв деталей (листов) и на срез заклепками кромки листа.

Специальные заклепки.Для соединений пакета деталей, передающих к оси заклепки большие поперечные нагрузки (когда в пакете есть высокопрочные стальные детали), применяют стальные термически обработанные болтозаклепки (рис. 3.4.41), с высоким сопротивлением срезу. Такие заклепки ставят в отверстие с натягом, а так как расклепывание их невозможно, то замыкающую головку образуют с помощью втулок, деформируемых при установке заклепок.

Рис. 3.4.41. Болтозаклепки:

1 – замыкающая втулка; 2 – технологический хвостовик (отрывается усилием затяжки)

Во многих случаях (при закреплении законцовок и носков крыльев, элеронов, рулей, закрылков) приходится применять одностороннюю клепку (рис. 3.4.42), так как подход к замыкающей головке затруднен.

Рис. 3.4.42: Специальные заклепки:

1 – обычные заклепки; 2 – заклепки односторонней клепки; 3 – точечная электросварка

Заклепку с сердечником замыкают втягиванием 1 внутрь заклепки сердечником (рис. 3.4.43, а), который не только образует замыкающую головку, но и раздает заклепку, обеспечивая ее плотную посадку в отверстие. Лишнюю часть сердечника срезают 2.

Рис. 3.4.43. Специальные заклепки

Двухкамерные взрывные заклепки имеют в своем стержне камеры, заполненные взрывчатым веществом. Головку вставленной в отверстие заклепки нагревают специальным электронагревателем 3 (рис. 3.4.43, б). При взрыве стержень заклепки раздается, а на конце его образуется замыкающая головка.

Расчет на прочность. При расчете заклепочных соединений не учитывают силы трения и концентрации напряжений, полагая, что нагрузка равномерно распределяется между всеми заклепками (при одинаковом их диаметре), а напряжения смятия равномерно распределены по диаметральной плоскости каждой заклепки.

Условия нагружения заклепок подобны условиям нагружения болтов, поставленных без зазора. Поэтому для заклепок справедливы формулы, которые определяют прочность по напряжениям среза (τ) и смятия (σсм).

Расчет соединения на прочность проводят, исходя из предположения, что его разрушение может произойти в результате среза заклепок; смятия стержней заклепок или соединяемых деталей, отрыва головок заклепок, разрушение одной из деталей по сечению, ослабленному отверстиями.

Паяные и клееные соединения.При пайке детали соединяются посредством расплавленного присадочного материала (металла или сплава), называемого припоем. При пайке основной материал не расплавляется, как при сварке, так как припой имеет более низкую температуру плавления. Нагрев припоя и детали осуществляют паяльником, газовой горелкой, токами высокой частоты и др.

Пайкой соединяют детали из стали, чугуна, цветных металлов и сплавов, стекла и других материалов. В отличие от сварки пайкой можно соединять детали из разнородных материалов: стальные – с алюминиевыми, стеклянными, резиновыми.

Пайка находит широкое применение в приборостроении, электротехнике, радиотехнике. В настоящее время пайку широко применяют в авиастроении. Наблюдается тенденция перехода от клепаной алюминиевой обшивки к обшивке из тонких стальных листов с сотовым промежуточным заполнением. Эту обшивку изготовляют в виде панелей, паяных в термических печах (рис. 3.4.44).

Паяные соединения используют также в случае, когда сварка недопустима из-за возможного прожога деталей.

Недостаток паяных соединений – меньшая механическая и термическая прочность по сравнению со сварными соединениями.

При пайке используют легкоплавкие (мягкие) припои с температурой плавления tпл < 300 °C и тугоплавкие (твердые) с tпл >500 °C.

Наиболее распространенные мягкие припои (ПОС 30, ПОС40, ПОС61 и др, ГОСТ 21930–76) получают на основе олова или свинца. Отличаются незначительными твердостью и прочностью, но допускают пайку большинства металлов и поэтому широко используются для соединения малонагруженных деталей (радиосхем, герметических соединений).

Твердые припои на основе серебра, меди, цинка (ПСр 40, ПСр 72, ПН 25) обладают достаточно высокой прочностью и термостойкостью. В некоторых случаях швы, паяные твердыми припоями, не уступают по прочности основному металлу.

Для растворения и удаления окисных пленок, а также в целях защиты паяного шва от окисления применяют специальные химические вещества – флюсы. Они подразделяются на кислотные (бура, хлористый цинк и др.) и бескислотные (канифоль, нашатырный спирт). Кислотные флюсы вызывают коррозию металлов, поэтому детали после пайки тщательно промывают.

Пайкой выполняют соединение листов встык (рис. 3.4.45, а) и внахлестку (рис. 3.4.45, б), соединение труб (рис. 3.4.45, в). Для проникания припоя между деталями оставляют зазор, равный 0,05…0,15 мм.

Расчет прочности паяных соединений аналогичен расчету сварных. Для стыковых соединений

σ = F/(δb) ≤ [σ'],

для нахлесточных соединений

τ = F/(bl) ≤ [τ'],

где [σ'] и [τ'] – допускаемые напряжения в паяном шве.

Рис. 3.4.45. Соединения пайкой

При соединении стальных деталей прочность материала деталей обычно больше прочности материала шва. В подобных случаях условие равнопрочности можно обеспечить только для нахлесточных соединений. Значение нахлестки по условию равнопрочности (см. рис. 3.4.45, б) определяется по формуле

l = [σ]δ / [τ'],

где [σ] – допускаемое напряжение для материала деталей.

Соединение склеиванием. Склеивание – один из наиболее прогрессивных методов соединения деталей, получивший широкое распространение после того, как были разработаны высокопрочные, термо- и водостойкие клеи, создано технологическое оборудование и проведены всесторонние исследования свойства клеевых соединений.

Имеются клеевые составы с избирательной адгезией к каким-либо определенным материалам – это специальные клеи (например, резиновые); с высокой адгезией к различным материалам (например, к металлам, керамике, дереву, пластмассам и др.) – это универсальные клеи.

В процессе склеивания выполняют ряд последовательных операций: подготовку поверхностей деталей, нанесение клея, сборку соединения, выдержку при соответствующих давлении и температуре. Подготовка поверхностей обычно заключается в их взаимной подгонке, образовании шероховатости путем зачистки наждачной шкуркой или пескоструйным аппаратом, удалении пыли и обезжиривании с помощью органических растворителей. Шероховатость увеличивает поверхность склеивания. Сравнительно длительная выдержка, необходимая для полимеризации, является одним из недостатков клеевых соединений.

Прочность клеевого соединения в значительной степени зависит от толщины слоя клея. Рекомендуемые значения для прочности соединения составляют 0,05…0,15 мм. Толщина слоя клея зависит от его вязкости и давления при склеивании. Клеевые соединения лучше работают на сдвиг, хуже на отрыв. Поэтому предпочтительны нахлесточные соединения. Для повышения прочности применяют комбинацию клеевого соединения с резьбовым, сварным или заклепочным.

В авиастроении склеивание применяют для соединения листов обшивки самолетов и вертолетов с элементами жесткости (стрингерами, нервюрами и др), при изготовлении лопастей вертолетов, элеронов, рулей, закрылков, щитков, крышек люков, панелей полов.

Расчеты на прочность производят по тем же формулам, что и для паяных соединений. Качество клеевого соединения характеризуется не только его прочностью, но также водостойкостью, теплостойкостью и другими показателями.

Разъемные соединения

Резьба – чередующиеся выступы и впадины на поверхности тел вращения, расположенные по винтовой линии; применяется как средство соединения,… Основными параметрами резьбы являются форма и размер профиля; наружный… Профиль резьбы – контур сечения витка в плоскости, проходящей через ось резьбы. Профиль резьбы характеризуется:

Классификация резьб

По форме профиля

- треугольная:

- метрическая,

- дюймовая,

- трубная;

- круглая;

- трапецеидальная;

- прямоугольная;

- упорная.

Метрическая резьба является основной крепежной резьбой (ГОСТ 8724-81). Резьба имеет треугольный профиль с притуплением вершин профиля (a = 60°) с целью уменьшения концентраторов напряжений и исключения возможности опасного воздействия на руки рабочих. Метрические резьбы бывают с крупным и мелким шагом. Крупный шаг – один, поэтому он не указывается.

Метрическая резьба для диаметров менее 1 мм называется часовой (ГОСТ 9000-73). Применяется для часов и в приборостроении. Обозначается буквой М и наружным диаметром резьбы; в мелких резьбах дополнительно указывают шаг резьбы. Например, М20 – метрическая резьба с крупным шагом и наружным диаметром 20 мм; М20×1,5 – метрическая резьба с мелким шагом, равным 1,5 мм, и наружным диаметром 20 мм. М10LH – метрическая резьба с крупным шагом, наружным диаметром 10 мм, левовинтовая (правовинтовая не указывается).

Многозаходная метрическая резьба должна обозначаться буквой, номинальным диаметром, числовым значением хода и буквой Р в скобках с числовым значением шага, например, М42×3(Р1)LH – метрическая трехзаходная левая резьба с шагом 1 мм и значением хода 3 мм.

Величина шага в обозначении резьбы с крупным шагом не входит, так как каждому наружному диаметру резьбы соответствует только одно значение крупного шага.

Резьбы с мелким шагом применяют, в частности, при изготовлении резьбовых тонкостенных деталей. Обеспечивают лучшее сопротивление самоотвинчиванию, выше прочность, меньшее ослабление болта резьбой.

Дюймовая резьба относится к крепежной резьбе; не стандартизирована и для новых изделий не используется. Дюймовая резьба характеризуется тем, что имеет треугольный профиль с углом a = 55°, а диаметр измеряется в дюймах, шаг – числом ниток резьбы на длине в 1 дюйм длины резьбы. Обозначается 5/8//, 5/16// и т.д. 1 дюйм = 25,4 мм. Например, К– коническая дюймовая резьба.

Трубная цилиндрическая (ГОСТ 6357-81) и трубная коническая резьбы (ГОСТ 6211-69) представляют собой мелкие дюймовые крепежно-уплотнительные резьбы (число ниток резьбы на 1" – от 28 до 11), нарезаемые в основном на трубах и арматуре трубопроводов с внутренним диаметром равным 1/8" ÷ 6". Для лучшего уплотнения резьбу выполняют с закругленным треугольным профилем без зазоров по выступам и впадинам. Условное обозначение резьбы дается по внутреннему диаметру (в дюймах) трубы, на которой она нарезана.

G– трубная цилиндрическая резьба с внутренним диаметром дюйма.

R– трубная коническая наружная резьба с внутренним диаметром дюйма.

RC– трубная коническая внутренняя резьба с внутренним диаметром дюйма.

Конические резьбы обеспечивают герметичность соединения резьбовых деталей без специальных уплотнений. Применение конической резьбы позволяет резко уменьшить время завинчивания и отвинчивания, что часто имеет решающее значение для быстроразборных соединений.

Круглая резьба применяется для резьбовых соединений, несущих большие динамические нагрузки (вагонные сцепки), соединений, работающих в загрязненной среде с частым отвинчиванием и завинчиванием (пожарная арматура), а также в тонкостенных изделиях, требующих герметичности или хорошего контакта рабочих поверхностей (например, частей соединения противогаза, цоколя и патрона электролампы, термоса и т. п.). Эту резьбу удобно изготовлять отливкой (из чугуна, стеклянных, пластмассовых материалов), а также выдавливанием в тонкостенных деталях.

Прямоугольная резьба относится к резьбам для передачи движений под нагрузкой; имеет прямоугольный или квадратный профиль; диаметр и шаг измеряют в миллиметрах. Прямоугольная резьба не стандартизирована и применяется сравнительно редко. Ее заменяют трапецеидальной – более удобной в изготовлении.

Трапецеидальную резьбу (ГОСТ 24738-81) широко применяют в передачах «винт – гайка». Она имеет симметричный трапецеидальный профиль с углом профиля a = 30°. Для червяков червячных передач угол профиля a = 40°. По сравнению с прямоугольной трапецеидальная резьба при одних и тех же габаритах имеет большую прочность, более технологична в изготовлении. Обозначается Tr36×6.

Упорная резьба (ГОСТ10177–81) применяется в нажимных винтах с большой односторонней осевой нагрузкой. Эта резьба имеет несимметричный трапецеидальный профиль (угол наклона рабочей части профиля 3°, нерабочей 30°). Закругление повышает прочность винта. По сравнению с трапецеидальной резьбой упорная передает большую осевую силу. Обозначается S80×16.

По форме поверхности:

- цилиндрическая;

- коническая.

По направлению винтовой линии:

- правая резьба;

- левая резьба.

По числу заходов:

- однозаходная;

- многозаходная.

По назначению:

- крепежные в неподвижных соединениях (метрическая, дюймовая, трубная, круглая, часовая);

- крепежно-уплотняющие используют в резьбовых изделиях, предназначенных как для скрепления деталей, так и для создания герметичности (трубная цилиндрическая, трубная коническая, коническая дюймовая, круглая);

- резьбы для передачи движения, применяемые в передачах винт-гайка (прямоугольная, трапецеидальная, упорная).

Крепежные детали резьбовых соединений. Наибольшее распространение среди резьбовых деталей получили крепежные болты (рис. 3.4.47, а), винты (рис. 3.4.47, б), шпильки (рис. 3.4.47, в), гайки.

Основным преимуществом болтового соединения является то, что при нем не требуется нарезать резьбу в соединяемых деталях. Это особенно важно в тех случаях, когда материал детали не может обеспечить достаточную прочность и долговечность резьбы. К недостаткам болтового соединения можно отнести следующее: обе соединяемые детали должны иметь места для расположения гайки или головки винта; болтовое соединение несколько увеличивает массу изделия и искажает его внешние очертания.

Винты и шпильки применяют в тех случаях, когда постановка болта невозможна или нерациональна. Например, нет места для размещения гайки, нет доступа к гайке, при большой толщине детали необходимы глубокое сверление и длинный болт.

Для предотвращения повреждений поверхностей соединяемых деталей при завинчивании гаек используют шайбы.

Способы стопорения резьбовых соединений.Самоотвинчивание разрушает соединения и может привести к аварии. Предохранение от самоотвинчивания весьма важно для повышения надежности резьбовых соединений и совершенно необходимо при вибрациях, переменных и ударных нагрузках. Вибрации понижают трение и нарушают условие самоторможения в резьбе. На практике применяют следующие три основных способа стопорения:

 
 

1. Повышение и стабилизация трения в резьбе путем постановки контргайки 1 (рис. 3.4.48, а), пружинной шайбы 2 (рис. 3.4.48, б), применением резьбовых пар с натягом в резьбе и т.п.

2. Жесткое соединение гайки со стержнем винта с помощью шплинта (рис. 3.4.49) или прошивка группы винтов проволокой (рис. 3.4.50, а, б). Способы стопорения этой группы позволяют производить только ступенчатую регулировку затяжки соединения.

 
 

3. Жесткое соединение гайки с деталью, например, с помощью специальной шайбы (рис. 3.4.51, а) или планки (рис. 3.4.51, б).

Расчет резьбовых соединений на прочность. Наиболее характерные виды разрушения резьбовых соединений – разрыв стержня болта (винта, шпильки) по резьбе или переходному сечению, срез или смятие витков резьбы, повреждение головки болта (винта).

Стандартизация резьб проведена с учетом условия равнопрочности всех элементов соединения. Можно ограничиться расчетом по одному основному критерию – прочности нарезной части, а размеры винтов, болтов и гаек принимать в зависимости от рассчитанного диаметра резьбы.

Рассмотрим основные положения расчета резьбовых соединений при статическом нагружении.

Работа болта при поперечной нагрузке. Болт может быть установлен в отверстие без зазора или с натягом (рис. 3.4.52, а). Соединение сложнее в изготовлении. В этом случае отверстие калибруют разверткой и применяют болты повышенной точности, что повышает стоимость соединения, но позволяет воспринимать большие нагрузки и не требует дополнительно центрирования. Стержень болта рассчитывают на срез, а при тонких деталях и на смятие. Запишем условие прочности:

, ,

где τ, [τ] – соответственно расчетное и допускаемое напряжения для материала болта на срез;

d0 – диаметр ненарезанной части болта;

σст, [σст] – соответственно расчетное и наименьшее допускаемое напряжения смятия (для материала болта или детали);

δ – наименьшая толщина детали.

Рис. 3.4.52. К расчету болта, нагруженного поперечной силой:

а – поставленного без зазора; б – с зазором; в – при помощи мелких шлиц

В случае установки болтов в отверстие с зазором (рис. 3.4.52, б) рабочая нагрузка передается только благодаря трению между деталями. Во избежание сдвига деталей при наличии зазора сила трения на поверхностях стыка должна быть не меньше внешней сдвигающей силы P:

P < Fтр = Fзf,

где Fз – сила затяжки соединения;

f – коэффициент трения на стыке деталей;

f = 0,1…0,2 – для необработанных стыков.

Усилие Fз вызывает в сечении болта диаметром d1 напряжения растяжения и кручения, и условие прочности болта по допускаемым напряжениям примет вид

.

В авиастроении применяют болты с уменьшенным диаметром стержня d0 = 0,8d. Но и в этом случае опасным сечением болта, особенно при действии переменных нагрузок, остается сечение по внутреннему диаметру резьбы, так как площадь сечения стержня лишь немногим меньше площади сечения по резьбе, но зато в канавках резьбы возникает значительная концентрация напряжений.

В соединении, передающем поперечную нагрузку, число болтов и их затяжку можно уменьшить, если применить один из способов разгрузки, например, при помощи мелких шлиц (рис. 3.4.52, в).

Для ответственных болтовых соединений авиационных конструкций характерно следующее:

- использование удлиненных болтов с уменьшенным диаметром стержня и скругленными переходами от одного диаметра к другому;

- высокая жесткость соединяемых деталей с хорошо подогнанными поверхностями стыка; сильная затяжка болтов при сборке соединения.

Соединения с натягом. Соединение двух деталей по круговой цилиндрической поверхности можно осуществить, если при изготовлении деталей обеспечить натяг посадки, а при сборке запрессовать одну деталь в другую (рис. 3.4.53).

Рис. 3.4.53. Соединение с натягом:

а – перед запрессовкой; б – после запрессовки

Натягом N называют положительную разность диаметров вала и отверстия. Натяг рассчитывается по формуле

N = B – A.

После сборки вследствие упругих и пластических деформаций диаметр посадочных поверхностей (d) становится общим. При этом на поверхности посадки возникают удельное давление (р) и соответствующие ему силы трения. Силы трения обеспечивают неподвижность соединения и позволяют воспринимать как крутящие, так и осевые нагрузки. Такое соединение называют прессовым.

Нагрузочная способность прессового соединения, прежде всего, зависит от натяга, значение которого устанавливают в соответствии с нагрузкой. Расчетный натяг очень невелик, измеряется микрометрами.

Сборку любого прессового соединения выполняют одним из трех способов: прессованием, нагревом втулки, охлаждением вала.

Прессование – распространенный и несложный способ сборки. Ему свойственны недостатки: смятие и частичное срезание (шабровка) шероховатостей посадочных поверхностей. Шабровка и смятие шероховатостей приводят к ослаблению прочности соединения до полутора раз по сравнению со сборкой нагревом или охлаждением.

Шабровка поверхностей контакта устраняется полностью при сборке по методу нагревания втулки (до 200…400 °С) или охлаждения вала (твердая углекислота – 79 °С, жидкий воздух – 196 °С). Недостатком метода нагревания является возможность изменения структуры металла, появление окалины и коробления. Метод охлаждения свободен от этих недостатков.

Необходимую разность температур t нагрева втулки или охлаждения вала, обеспечивающую свободную сборку, подсчитывают по формуле

t = (Nmax + Z0) / (ad),

где Nmax – наибольший натяг посадки;

Z0 – минимально необходимый зазор, обеспечивающий свободную сборку (рекомендуется принимать равным минимальному зазору посадки Н7/g6);

a – температурный коэффициент линейного расширения (для стали α = 10·10-6 °С-1);

d – номинальный диаметр посадки.

Расчет на прочность. Условие прочности соединения при нагружении осевой силой Fa (рис. 3.4.54) запиывается в виде

kFa < fpπdl,

где р – давление на поверхность контакта;

k ≈ 1,5 …2 – коэффициент запаса.

Рис. 3.4.54. Расчетная схема соединения с натягом

Условие прочности соединения при нагружении крутящим моментом:

kTfpπd2l/2.

Недостатки соединений обусловлены сложностью демонтажа и возможностью повреждения посадочных поверхностей при этом. Соединения выходят из строя в результате «сползания» (взаимного осевого смещения) охватывающей детали по охватываемой и разрушения деталей.

Взаимные осевые смещения деталей соединений происходят вследствие чрезмерных сдвигающих сил, а также в результате «срабатывания» посадки, т.е. потери натяга в процессе циклического нагружения.

Шпоночные соединения. Шпоночные соединения широко используются в современном машиностроении. Они служат для передачи вращающего момента от вала к ступице зубчатого колеса, шкива, маховика и др.

Достоинствами шпоночных соединений являются простота конструкции, сравнительная легкость сборки и разборки, недостатком – ослабление вала и ступицы, а также необходимость подгонки элементов.

Различают ненапряженные и напряженные шпоночные соединения. Ненапряженные шпоночные соединения выполняют с помощью призматических (рис. 3.4.55, а) и сегментных (рис. 3.4.55, б) шпонок.

Призматические шпонки имеют прямоугольное сечение с отношением высоты к ширине от h/b = 1 (для валов диаметром до 22 мм) до h/b = 0,5 (для валов больших диаметров). Рабочими у призматических шпонок являются боковые узкие грани. В радиальном направлении предусмотрен зазор. Материал шпонок – чистотянутая сталь с пределом прочности σв ≥ 600 МПа.

Рис. 3.4.55. Шпоночные соединения

Сегментные шпонки имеют глубокую посадку и не перекашиваются под нагрузкой, они взаимозаменяемые. Однако глубокий паз существенно ослабляет вал, поэтому сегментные шпонки используют преимущественно для закрепления деталей на малонагруженных участках вала (на входных или выходных хвостовиках валов).

Клиновые врезные шпонки (рис. 3.4.55, в) создают при запрессовке в паз напряженное соединение по широкому торцу. В клиновых соединениях возможны перекос детали при сборке и биение вследствие радиального смещения. Поэтому область применения клиновых шпонок ограничена.

Шпоночные соединения выходят из строя из-за смятия рабочих граней. Возможен срез шпонок. Прочностную надежность соединений оценивают по напряжениям смятия

,

где Т – вращающий момент;

lP – рабочая длина шпонки;

t2 = 0,4h – глубина врезания шпонки в ступицу;

см] – допускаемое напряжение на смятие для материала шпонки при спокойной нагрузке: для неподвижных соединений при стальных ступицах [σсм] = 100…150 МПа (большие значения принимают при легком режиме работы соединения), в подвижных соединениях [σсм] = 20…30 МПа.

При переменных режимах нагружения допускаемые напряжения уменьшают: при реверсировании в 1,5, а при ударных нагрузках в 2 раза.

Шлицевые (зубчатые) соединения.Шлицевые соединения подобны многошпоночным, у которых зубья (шлицы) изготовлены заодно с валом. Зубья на валу фрезеруют или накатывают, а пазы в отверстиях ступицы получают протягиванием. Шлицевые соединения, как и шпоночные, служат для передачи вращающего момента от вала к ступице зубчатого колеса, шкива, маховика и др.

По сравнению со шпоночными шлицевые соединения имеют меньшие радиальные габариты, высокую несущую способность, взаимозаменяемы и обеспечивают хорошее центрирование деталей. Благодаря этому их используют в условиях массового производства конструкций и при большей частоте вращения валов.

По форме профиля различают шлицевые соединения трех типов: прямобочные (рис. 3.4.56, а, б, в), эвольвентные (рис. 3.4.56, г) и треугольные (рис. 3.4.56, д).

Рис. 3.4.56. Шлицевые соединения

Соединения с прямобочными зубьями распространены в машиностроении. В зависимости от числа зубьев (z = 6…20) и их высоты стандартом предусмотрены три серии соединений валов с диаметром от 23 до 125 мм (легкая, средняя и тяжелая). Большее число зубьев имеют соединения тяжелой серии.

При необходимости точной соосности вала и ступицы центрирование производят по одному из диаметров. При твердости поверхностного слоя ступицы до 350 НВ наиболее технологичным является центрирование по D (см. рис. 3.4.53, а). В этом случае отверстие обрабатывают протягиванием, а вал – круглым шлифованием. При высокой твердости материала ступицы используют центрирование по d (см. рис. 3.4.57, б), а посадочные поверхности вала и отверстия доводят шлифованием. Центрирование по боковым сторонам шлицев обеспечивает равномерное распределение нагрузки по зубьям, его реализуют при тяжелых условиях работы соединений (см. рис. 3.4.57, в).

В авиастроении применяют в основном соединения с эвольвентными шлицами, характеризующимися по сравнению с прямобочными бόльшим сопротивлением усталости вала благодаря сравнительно мелким зубьям и скруглениям впадин, что вдвое снижает концентрацию напряжений, возможностью нарезания шлицев с высокой точностью методом обкатки на таком же оборудовании, которое применяют для изготовления зубчатых колес.

Размеры зубьев эвольвентного соединения зависят от модуля зацепления (m) и числа зубьев (z), установленных стандартом для каждого наружного диаметра. Делительный диаметр соединения d = mz. Высоту зуба берут h = m.

Соединения с треугольными зубьями применяют преимущественно в приборостроении при ограниченных радиальных габаритах.

Расчет соединений. Соединения выходят из строя преимущественно из-за повреждения рабочих поверхностей зубьев (смятие, износ) и усталостного разрушения валов. Зубья рассчитывают на смятие, как и шпоночные соединения по формуле

,

где Т – номинальный крутящий момент (наибольший из длительно действующих);

k = 0,7…0,8 – коэффициент неравномерности нагрузки по зубьям;

z – число зубьев;

h – рабочая высота зубьев;

l – рабочая длина зубьев; dср – средний диаметр соединения.

Для прямобочных зубьев h = 0,5(D – d) – 2f, dcр = 0,5(D + d);

для эвольвентных зубьев h = m, d= mz.

Количество зубьев и диаметры заданы в стандарте в зависимости от диаметра вала.

Профильные соединения. Профильными называют соединения, в которых ступица (втулка) насаживается на фасонную поверхность вала и таким образом обеспечивается передача вращения.

На рис. 3.4.57 в качестве примера показано соединение на квадрате со скругленными углами (для снижения концентрации напряжений). По сравнению со шпоночными и шлицевыми соединениями эти соединения имеют небольшую концентрацию напряжений. Однако сложность изготовления профильной поверхности ограничивает области применения соединений.

Рис. 3.4.57. Профильное соединение

Расчет соединений.Профильные соединения рассчитывают на смятие. Условия прочности по допускаемым напряжениям для соединения, показанного на рис. 3.4.57, имеет обычный вид

σсм = 3Т / (b2l) < [σсм],

где l = (1…2)d – длина соединения; b – ширина прямолинейной части грани;

см] = 100…140 МПа допускаемое напряжение смятия для термообработанных поверхностей.

Тема 5. Упругие элементы

Упругие элементы – пружины и рессоры – широко распространены в машиностроении. Их применяют для:

- создания заданных постоянных сил – начального сжатия или натяжения в передачах трением, фрикционных муфтах, тормозах, предохранительных устройствах, подшипниках; уравновешивания сил тяжести и других постоянных сил;

- силового замыкания в механизме в целях исключения влияния зазоров на точность перемещений или упрощения изготовления механизмов (в основном в кулачковых механизмах);

- выполнения функций двигателя на основе предварительного аккумулирования энергии путем завода (например, часовые пружины);

- виброизоляции в транспортных машинах – автомобилях, вагонах, в приборах, в виброизоляционных опорах машин и т. д. Механизм виброизоляции удобно наблюдать, например, при езде автомобиля; колеса автомобиля, следуя за рельефом дороги, совершают резкие колебания, которые почти не передаются кузову автомобиля;

- восприятия энергии удара – буферные пружины, применяемые в подвижном железнодорожном составе, артиллерийских орудиях и т. д. Благодаря упругим элементам энергия удара поглощается на больших перемещениях и сила удара соответственно уменьшается. Буферные и виброизоляционные пружины в отличие от предыдущих аккумулируют не полезную, а вредную для работы машины энергию;

- измерения сил, осуществляемых по упругим перемещениям пружин (в измерительных приборах).

Работа упругих элементов в машинах заключается в накоплении энергии и ее последующей отдаче или в осуществлении требуемого постоянного нажатия. Для возможности накопления большого количества энергии на единицу массы целесообразно применять элементы с возможно более равномерным напряженным состоянием. При этом упругие элементы должны иметь минимальные габариты.

Основное распространение в машиностроении имеют упругие элементы растяжения и сжатия.

При этих нагрузках указанным требованиям в наибольшей степени удовлетворяют витые цилиндрические пружины растяжения и сжатия (табл. 2). В этих пружинах витки подвергаются напряжению кручения под действием постоянного момента. Цилиндрическая форма пружины удобна для ее размещения в машинах. В пружинах, работающих на изгиб, трудно создать равномерное напряженное состояние по длине.

Таблица 2

Основные типы пружин

Для больших нагрузок при малых упругих перемещениях и стесненных габаритах по оси приложения нагрузки применяют тарельчатые пружины. Для больших нагрузок при необходимости рассеяния большого количества энергии… При стесненных по оси габаритах и не стесненных габаритах в боковом направлении применяют упругие элементы, работающие…

Значение коэффициента режима работы в зависимости от машин и механизмов

Значение коэффициенты безопасности в зависимости

От степени ответственности передач

Все корпусные детали по назначению можно разделить на следующие группы (рис. 3.4.74): - станины, рамы; - основания фундаментные плиты;

Контрольные вопросы

Общие вопросы проектирования

2. Назовите основные критерии работоспособности деталей. 3. Перечислите стадии конструирования машин. 4. Что дает автоматизация проектирования?

Ременные передачи

2. С какими эффектами связано упругое скольжение ремня в передаче? 3. Чем определяется передаточное отношение передачи? 4. Какие напряжения возникают в ремне при работе?

Зубчатые передачи

2. По каким признакам классифицируют зубчатые передачи? 3. Что называют передаточным числом зубчатой передачи и как определить… 4. Какие силы возникают в зацеплениях цилиндрических и конических колес?

Цепные передачи

2. Какие типы цепей используют в передачах? 3. Какие виды повреждений распространенны в передачах и какие критерии… Передачи «винт – гайка»

Валы, оси и муфты

1. Каково назначение валов и осей и как их классифицируют?

2. Укажите формы сопряжения переходных участков и ступеней валов.

3. Какие расчетные модели используют в расчетах валов?

4. Для чего используются муфты?

5. Назовите и охарактеризуйте основные типы компенсирующих и упругих муфт.

6. Для каких целей используют сцепные муфты?

Опоры валов и осей

2. Какие типы подшипников (по виду трения и нагрузки) применяют в механизмах, машинах и приборах? 3. Как условия работы подшипника скольжения зависят от угловой скорости… 4. Какие виды повреждений типичны для подшипников скольжения и по каким критериям оценивают их работоспособность?

ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Теоретическая механика

Задача 1. Ось одного из колес шасси вертолета крепится к фюзеляжу с помощью трех шарнирно закрепленных подкосов 1, 2, 3 (рис. 4.1.1). Подкос 2… Ответ: S1 = 13,36 кH; S2 = – 8 кH; S3 = – 28,86 кH. Задача 2. Шар, масса которого равна 255 кг, подвешен с помощью кассетного держателя (рис. 4.1.2). Расстояние между…

Сопротивление материалов

Пример. Определите абсолютное и относительное удлинение, а также уменьшение поперечного сечения стальной тяги управления, если ее первоначальная… Решение: 1. Найдем абсолютное удлинение тяги:

Теория механизмов и машин

Пример 1. На рис. 4.3.1 изображена структурная схема механизма привода шасси самолета. На ней изображаются звенья механизма, их взаимное… Проведем структурный анализ данного механизма. Общее число звеньев механизма: k = 7.

Звенья механизма

Кинематические пары

, где n – число подвижных звеньев механизма; – число низших кинематических пар;

Детали машин и основы конструирования

Практикум по теме «Соединения деталей»

Расчет заклепочных соединений

  Решение. 1. Определим количество заклепок из расчета на сдвиг. Условие прочности на сдвиг:

Расчет резьбовых соединений

Решение. Хвостовик крюка рассматривается как незатянутый болт, работающий на растяжение. Для стали Ст3 sт = 235...216 МПа, принимаем sт = 225 МПа. … При расчете резьбовых соединений, применяемых в подъемно-транспортном… Принимая для резьбы крюка крана [n] = 4, получаем

Расчет сварных соединений

Решение. 1. Для сварки полос принимаем односторонний без скоса кромок стыковой шов, вид… 2. Определяем допускаемое напряжение для сварного соединения

Леденева

Нина Федоровна

Юганов

Владимир Сергеевич

 

Учебно-методический

Комплекс

 

Механика

Корректор Т.В. Никитина Компьютерная верстка Н.П. Яргункина

– Конец работы –

Используемые теги: Ульяновское, Высшее, авиационное0.047

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Ульяновское высшее авиационное училище

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным для Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Еще рефераты, курсовые, дипломные работы на эту тему:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ НА ТЕМУ: «Технологическое проектирование участка цеха по изготовлению авиационных деталей размерной обработкой», по дисциплине «Проектирование цехов авиационного производства»
КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА... ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ... ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА...

Высшее образование Украины
Это один из приоритетов, определенных проектом программы деятельности правительства «Конкурентная Украина». Главенствующая роль высшего образования… Никогда еще проблема качества образования в Украине не имела такого важного… Основными принципами, обусловливающими развитие системы высшего образования Украины в современных условиях, являются:…

Ответ на запрос Засвияжского РОВД г. Ульяновска
Обычно под словом «интернат» понимаются специализированные лечебно-профилактические и учебно-воспитательные заведения для детей-сирот и детей,… Согласно ГК РФ опека назначается над малолетними и лицами, признанными судом… Согласно ч. 2 ст. 32 ГК РФ «опекуны являются представителями подопечных и совершают от их имени и в их интересах все…

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
На сайте allrefs.net читайте: ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ...

Энергоэкономическая эффективность применения авиационных двигателей на ТЭС
Особенно выгодной является комбинированная выработка электроэнергии и теплоты. Данная работа имеет практическую ценность, т.к. в ней намечены подходы по… На данный момент в республике ни одного внедрения авиационных двигателей для энергетических нужд проведено не было.…

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ... серия основана в г...

Высшее экономическое образование
В Э Керимов... Бухгалтерский учет... Учебник...

«Авиатопливное обеспечение воздушных перевозок и авиационных работ»
ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ ИНСТИТУТ... Кафедра Техносферной безопасности и авиатопливообеспечения...

Ульяновск
На левом берегу Свияги — Засвияжье, здесь расположен УАЗ. На левом берегу Волги расположен Заволжский район, который состоит из трех отдаленных друг… Рядом с городом расположены два аэропорта — Ульяновск-Центральный и… На правом берегу Волги в Железнодорожном районе находится ульяновский речной порт. Два берега Волги связаны между…

Личность как высшее психическое образование, биологическое и социальное в личности
Личность как высшее психическое образование биологическое и социальное в личности... Подходы к проблеме личности наиболее распространенные в отечественной... Понятие акцентуированных личностей типология А Е Личко Критерии диагностики...

0.026
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • По категориям
  • По работам
  • Ульяновская городская дума Основные положения об организации местного самоуправления в Российской Федерации установлены Конституцией РФ. Одним из основных органов местного… Все это, безусловно, повлияло на развитие местного самоуправления.Новый этап в… За период своей работы с 1996 года и по настоящее время Городская Дума прошла большой путь до реально действующего…
  • Высшее образование в Германии Программа идеально подходит для граждан, которые знают английский язык. * Программа Studium Direkt - в рамках программы поступление в Высшие учебные… Принимаются участники с любым уровнем знания языков, вплоть до нулевого. Кроме… На жизнь в Германии требуется от 400 до 600 евро. Как Вы обратили внимание студенты имеют право работать с некоторыми…
  • Организационно-экономические расчеты при проектировании участков и цехов авиационных предприятий Nмес=aсут &#61655; Кр.д.м. Nмес -месячный выпуск продукции aсут -суточный выпуск продукции Кр.д.м количество рабочих дней в месяце aсут=Т/… Таблица 4. Наименование ооперации Тип об. Кол-во Цена, т.руб Площадь, с… Все используемые основные фонды делятся на группы. По каждой группе определяется их стоимость. 3.1. Стоимость рабочих…
  • Несохранившиеся памятники Ульяновска Поэтому целесообразнее ограничиться рассмотрением одной темы и рассказать о несохранившихся памятниках Симбирска-Ульяновска. Бесценными для потомков свидетелями исторических событий являются здания и… Нередко одни и те же здания и сооружения являются одновременно памятниками архитектуры и памятниками истории.…
  • Организационно-экономические расчеты при проектировании участков и цехов авиационных предприятий Nмесaсут Кр.д.м. Nмес -месячный выпуск продукции aсут -суточный выпуск продукции Кр.д.м количество рабочих дней в месяце aсутТ Кр.д.к. Кр.д.к… Таблица 4. Наименование ооперацииТип об.Кол-воЦена, т.рубПлощадь, с учетом… Все используемые основные фонды делятся на группы.